Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Quy tắc đếm, hoán vị/chỉnh hợp/tổ hợp (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Đa giác đều 15 đỉnh. Đếm tam giác cân: chọn đỉnh đỉnh (apex) có 15 cách, với mỗi đỉnh đỉnh chọn cặp đỉnh đối xứng qua nó khoảng cách $k=1,2,\dots ,7$ nên có 7 cách, tổng $15\times 7=105$ cách đếm (mỗi tam giác cân không đều được đếm đúng 1 lần theo đỉnh đỉnh duy nhất của nó). Tam giác đều nội tiếp phải có 3 đỉnh cách đều nhau 5 cung: các tam giác dạng $\{i,i+5,i+10\}$, có $15/3=5$ tam giác đều phân biệt; mỗi tam giác như vậy bị đếm 3 lần (theo từng đỉnh đỉnh) trong tổng 105. Vậy số tam giác cân nhưng không đều là $105-3\times 5=90$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Đếm số: chữ số đầu có 6 cách (khác 0), ba vị trí sau: 6·5·4, tổng cộng 720 số. Hạng nghìn: mỗi chữ số khác 0 xuất hiện 6·5·4 = 120 lần, tổng đóng góp 120·(2+3+4+5+6+8)·1000 = 120·28·1000 = 3.360.000. Hạng trăm/chục/đơn vị: chữ số khác 0 xuất hiện 5·5·4 = 100 lần, chữ số 0 xuất hiện 6·5·4 = 120 lần (nhưng nhân với 0 nên không đóng góp). Tổng hạng trăm = 100·28·100 = 280.000; hạng chục = 100·28·10 = 28.000; hạng đơn vị = 100·28 = 2.800. Tổng cộng: 3.360.000 + 280.000 + 28.000 + 2.800 = 3.670.800.

(AI giải đề cho tôi) Lưu ý: lời giải AI dưới đây cho kết quả 2646, KHÔNG khớp với đáp án chính thức 5362 in ở trang đáp án (Phần III, Câu 6, MĐ 121). Đáp án chính thức được giữ nguyên; lời giải này chỉ mang tính tham khảo và có thể do vị trí điểm C trên hình bị đọc sai.
Lưới 10×6: A(0,0), B(10,6), C là giao điểm (5,2) theo hình vẽ. Số đường từ A đến C: cần 5 bước phải và 2 bước lên, $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{7}{2}\right)=21$. Số đường từ C đến B: cần 5 bước phải và 4 bước lên, $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{9}{4}\right)=126$. Tổng số đường đi qua C: $21\times 126=2646$.

(AI giải đề cho tôi)
Có 7 chữ số 0, 2, 3, 4, 5, 6, 8 (tổng $28$), lập số có 4 chữ số đôi một khác nhau. Số các số: $6\cdot 6\cdot 5\cdot 4=720$.
- Hàng nghìn: mỗi chữ số khác 0 xuất hiện $A_6^3=120$ lần, tổng hàng nghìn $=28\cdot 120\cdot 1000=\mathrm{3.360.000}$.
- Hàng trăm: chữ số $d\ne 0$ xuất hiện $5\cdot 5\cdot 4=100$ lần; chữ số 0 xuất hiện $6\cdot 5\cdot 4=120$ lần. Tổng hàng trăm $=28\cdot 100\cdot 100=280.000$.
- Tương tự hàng chục: $28\cdot 100\cdot 10=28.000$; hàng đơn vị: $28\cdot 100=2.800$.
Tổng cộng: $\mathrm{3.360.000}+280.000+28.000+2.800=\mathrm{3.670.800}$. Vậy chọn B.

Chọn B

Xét biến cố A "Học sinh đó được 1 điểm"

Để đạt 1 điểm sẽ có các trường hợp sau xảy ra:

TH1: Đúng cả 4 ý của 1 câu hỏi và sai cả 4 ý câu hỏi còn lại hoặc ngược lại có số cách chọn phương án là: $2.C_4^4.C_4^0$.

TH2: Mỗi câu hỏi đúng 3 ý và sai 1 ý có số cách chọn phương án là: $C_4^3.C_4^3$.

Vậy: $n\left(A\right)=2.C_4^4.C_4^0+C_4^3.C_4^3=18$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 20a) Số chia hết cho 5 phải có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5.
- Tận cùng 0: hàng trăm chọn từ 1..7 (7 cách), hàng chục chọn từ các chữ số còn lại (6 cách) → $7\times 6=42$ số.
- Tận cùng 5: hàng trăm khác 0 và khác 5 (6 cách), hàng chục khác hai chữ số đã chọn (6 cách) → $6\times 6=36$ số.
Tổng: $42+36=78$ số.
Câu 20b) Tam thức $f(x)=(m-1)x^2-2x-1$ âm với mọi $x\in \mathbb{R}$ khi và chỉ khi $a=m-1<0$ và $\Delta <0$. Ta có $\Delta =(-2{)}^2-4(m-1)(-1)=4+4(m-1)=4m$. Điều kiện: $m-1<0\iff m<1$ và $4m<0\iff m<0$. Kết hợp được $m<0$. Vậy $m\in (-\infty ;0)$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Chọn và sắp $3$ chữ số khác nhau từ $\{1;2;3;4\}$: $A_4^3=4\cdot 3\cdot 2=24$. Mệnh đề ĐÚNG.
b) Số lẻ có ba chữ số khác nhau từ $\{0;1;2;3;4;5\}$: chữ số hàng đơn vị có $3$ cách $(1;3;5)$, hàng trăm có $5$ cách (khác $0$ và khác chữ số đơn vị), hàng chục có $4$ cách. Tổng $3\cdot 5\cdot 4=60\ne 40$. Mệnh đề SAI.
c) Số có ba chữ số khác nhau chia hết cho $5$ từ các chữ số $0$–$8$: nếu tận cùng $0$ thì $8\cdot 7=56$ số; nếu tận cùng $5$ thì hàng trăm có $7$ cách (khác $0$ và $5$), hàng chục có $7$ cách, được $49$ số. Tổng $56+49=105\ne 144$. Mệnh đề SAI.
d) Số chẵn có bốn chữ số khác nhau từ $\{0;1;2;3;4;5;6\}$: tận cùng $0$ thì $6\cdot 5\cdot 4=120$ số; tận cùng $2;4;6$ thì hàng trăm có $5$ cách, hàng chục có $5$ cách, được $3\cdot 25=75$ số. Tổng $120+75=195\ne 1170$ (kể cả trường hợp cho phép chữ số lặp thì được $4\cdot 6\cdot 7\cdot 7=1176$, vẫn khác $1170$). Mệnh đề SAI.
a) (AI giải đề cho tôi)
$A_4^3=24$ cách.
b) (AI giải đề cho tôi)
Đếm đúng là $3\cdot 5\cdot 4=60$, không phải $40$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Đếm đúng là $56+49=105$, không phải $144$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Đếm đúng là $120+75=195$ (hoặc $1176$ nếu cho phép lặp), không phải $1170$.

(AI giải đề cho tôi)
Đếm các số chẵn 4 chữ số, chữ số khác nhau, lấy từ $\{0,1,\dots ,8\}$, không lớn hơn 4568.

**Chữ số đầu là 1, 2, 3 (số < 4000):**
- Chữ số đầu = 1: chữ số cuối chẵn có 5 cách (0,2,4,6,8); hai chữ số giữa: $7\cdot 6=42$ cách. Tổng $5\cdot 42=210$.
- Chữ số đầu = 3: tương tự 210.
- Chữ số đầu = 2: chữ số cuối chẵn còn 4 cách (0,4,6,8); hai chữ số giữa $7\cdot 6=42$. Tổng $4\cdot 42=168$.
Tổng: $210+210+168=588$.

**Chữ số đầu là 4 (số từ 4000 đến 4568):**
- Chữ số thứ hai $\in \{0,1,2,3\}$ (số < 4500): hai chữ số cuối chỉ cần chẵn, khác nhau, khác 2 chữ số đầu.
- $s=0$: chữ số cuối $\in \{2,6,8\}$ → $3\cdot 6=18$.
- $s=1$: chữ số cuối $\in \{0,2,6,8\}$ → $4\cdot 6=24$.
- $s=2$: $3\cdot 6=18$.
- $s=3$: $4\cdot 6=24$.
Tổng 84.
- Chữ số thứ hai = 5 (dạng $45xy\le 4568$, cần $x\le 6$): $x\in \{0,1,2,3,6\}$:
- $x=0$: $y\in \{2,6,8\}$ → 3; $x=1$: 4; $x=2$: 3; $x=3$: 4; $x=6$: $y\in \{0,2,8\}$ → 3.
Tổng $3+4+3+4+3=17$.
Tổng chữ số đầu 4: $84+17=101$.

**Kết quả:** $588+101=689$ số.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 7:
a) Số có 4 chữ số khác nhau: chữ số đầu có 9 cách (khác 0), chữ số thứ hai có 9 cách, thứ ba có 8 cách, thứ tư có 7 cách. Vậy có $9\cdot 9\cdot 8\cdot 7=4536$ số.
b) Số lẻ có 4 chữ số khác nhau: chữ số cuối có 5 cách (1,3,5,7,9); chữ số đầu có 8 cách (khác 0 và khác chữ số cuối); hai chữ số giữa có $8\cdot 7$ cách. Vậy có $5\cdot 8\cdot 8\cdot 7=2240$ số.
c) Số có 3 chữ số chia hết cho 5: chữ số cuối là 0 thì có $9\cdot 9=81$ số; chữ số cuối là 5 thì có $9\cdot 8=72$ số. Vậy có $81+72=153$ số.
d) Số có 4 chữ số khác nhau chia hết cho 5: nếu chữ số cuối là 0 thì có $9\cdot 8\cdot 7=504$ số; nếu chữ số cuối là 5 thì chữ số đầu có 8 cách, hai chữ số giữa có $8\cdot 7$ cách, tức $8\cdot 8\cdot 7=448$ số. Vậy có $504+448=952$ số.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi số đơn mỗi học sinh nộp là 1, 2 hoặc 3 (mỗi học sinh nộp ít nhất 1 đơn vì phải tham gia ít nhất một CLB). Tổng số đơn là 155 với 70 học sinh, nên số đơn 'thừa' (vượt 1 đơn mỗi người) là $155-70=85$. Mỗi học sinh đăng kí cả 3 CLB đóng góp 2 đơn thừa; học sinh đăng kí 2 CLB đóng góp 1 đơn thừa. Để số học sinh đăng kí cả 3 CLB ít nhất, ta cho tối đa học sinh khác đăng kí 2 CLB (mỗi người 1 đơn thừa). Gọi $x$ là số học sinh đăng kí cả 3 CLB thì $2x\ge 85$ (vì tối đa mỗi học sinh còn lại đóng 1 đơn thừa), suy ra $x\ge 42,5$, tức $x\ge 43$. Kiểm tra khả thi: 43 em đăng kí 3 CLB (86 đơn thừa... thực tế 43 em đóng $2\cdot 43=86$ đơn thừa, thừa 1 đơn so với 85, điều chỉnh: 42 em đăng kí 3 CLB đóng 84 đơn thừa, còn 1 đơn thừa do 1 em đăng kí 2 CLB, tức 42 em 3 CLB + 1 em 2 CLB + 27 em 1 CLB: đơn $=42\cdot 3+1\cdot 2+27\cdot 1=155$, học sinh $=70$). Vậy cần ít nhất 43 học sinh đăng kí cả 3 CLB.

Đặt

$$T=\left\{(a_1;a_2;a_3)|a_1,a_2,a_3\in A;a_1<a_2<a_3;a_2-a_1\ge 2,a_3-a_2\ge 2\right\}$$

Với mỗi bộ $(a_1;a_2;a_3)$, xét tương ứng với mỗi bộ $(b_1;b_2;b_3)$ cho bởi

$$b_1=a_1,b_2=a_2-1,b_3=a_3-2.$$

Lúc này ta có: $0\le b_1<b_2<b_3\le 7$ [0.5]

Và tương ứng này là tương ứng 1-1 do:

+ Với mỗi bộ $(a_1;a_2;a_3)$ cho tương ứng một bộ $(b_1;b_2;b_3)$ bởi công thức $b_1=a_1,b_2=a_2-1,b_3=a_3-2$.

+ Ngược lại, với mỗi bộ $(b_1;b_2;b_3)$ cho tương ứng một bộ $(a_1;a_2;a_3)$ bởi công thức $a_1=b_1,a_2=b_2+1,a_3=b_3+2$.

Đặt $B=\{0;1;2;3;4;5;6;7\}$. Tập các bộ $(b_1;b_2;b_3)$ là các tập con có 4 phần tử của $B$. [0.5]

Vậy số tập con $(a_1;a_2;a_3)$ cần tìm là $C_8^3=56$.

Chú ý. Mọi cách giải khác đúng được điểm tối đa.

1. Do trong mỗi số cần lập chữ số đứng liền sau lớn hơn chữ số đứng liền trước nên mỗi số đó không thể chứa số 0 và có 5 chữ số khác nhau.
Với mỗi cách chọn 5 chữ số khác nhau lấy từ tập hợp các chữ số $\{1;2;3;\dots 9\}$ có duy nhất một cách xếp 5 chữ số đó thành số tự nhiên có 5 chữ số thỏa mãn yêu cầu bài toán (xếp theo thứ tự tăng dần).
Do đó số các số tự nhiên có 5 chữ số mà trong mỗi số cần lập chữ số đứng liền sau luôn lớn hơn chữ số đứng liền trước là $C_9^5=126$ số.

2. Cách 1.
Gán hệ trục $Oxy$ vào bàn cờ vua sao cho vị trí ban đầu của quân vua là gốc tọa độ, mỗi ô trên bàn ứng với một điểm có tọa độ $(x;y)$. Mỗi bước di chuyển của quân vua từ điểm $(x;y)$ đến điểm có tọa độ $(x+x_0;y+y_0)$ trong đó $x_0;y_0\in \{-1;0;1\};x_0^2+y_0^2\ne 0$. Ví dụ: nếu $x_0=1;y_0=0$ thì quân vua di chuyển đến ô bên phải, $x_0=-1;y_0=-1$ thì di chuyển xuống ô đường chéo.
Giả sử tọa độ ban đầu là $(0;0)$, thế thì sau 3 bước đi thì tọa độ của quân vua là $(x_1+x_2+x_3;y_1+y_2+y_3);x_1,x_2,x_3,y_1,y_2,y_3\in \{-1;0;1\}$. Để về vị trí ban đầu thì $\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2+x_3=0\\ y_1+y_2+y_3=0\end{array}$.
Suy ra các bộ $\{x_1;x_2;x_3\}$ và $\{y_1;y_2;y_3\}$ là một hoán vị của $\{-1;0;1\}$.
Mà $\{x_1;x_2;x_3\}$ có 6 cách chọn, với mỗi cách chọn $\{x_1;x_2;x_3\}$ có 4 cách chọn $\{y_1;y_2;y_3\}$ vì $(x_i;y_i),i=\overline{1;3}$ không đồng thời bằng 0.
Do đó số kết quả thuận lợi cho biến cố bằng 24 và xác suất cần tìm là $p=\frac{24}{8^3}=\frac{3}{64}$.

Cách 2.
Nhận xét để quân vua trở về vị trí xuất phát sau 3 bước thì sau bước II quân vua phải ở một trong 8 ô xung quanh ô ban đầu.
Trường hợp 1. Sau bước I quân vua ở 1 trong 4 ô chung cạnh với ô ban đầu.
Từ đây quân vua có 4 cách đi cho bước II (đi ngang hoặc đi chéo).
Ở bước III, quân vua chỉ có 1 cách đi về vị trí xuất phát.
Vậy số cách đi ở TH1: $4\times 4\times 1=16$ cách.
Trường hợp 2. Sau bước I quân vua ở 1 trong 4 ô chung đỉnh với ô ban đầu.
Từ đây quân vua chỉ có 2 cách đi cho bước II (đi ngang hoặc đi dọc).
Ở bước III, quân vua chỉ có 1 cách đi về vị trí xuất phát.
Vậy số cách đi ở TH2: $4\times 2\times 1=8$ cách.
Xác suất cần tìm: $p=\frac{16+8}{8^3}=\frac{3}{64}$.

(AI giải đề cho tôi)
Số chia hết cho 5 nên chữ số tận cùng là 0 hoặc 5. TH1: tận cùng là 0, chọn và xếp 4 chữ số từ 6 chữ số còn lại: $A_6^4=6\cdot 5\cdot 4\cdot 3=360$ số. TH2: tận cùng là 5, chữ số đầu khác 0 nên có 5 cách chọn, sau đó chọn 3 chữ số từ 5 chữ số còn lại: $5\cdot A_5^3=5\cdot 5\cdot 4\cdot 3=300$ số. Tổng: $360+300=660$ số.

(AI giải đề cho tôi)
Hộ có 5 bi xanh, 4 bi đỏ, 3 bi vàng.
a) Chọn 3 bi cùng màu xanh: $C_5^3=10$ cách → đúng.
b) Chọn 3 bi cùng màu: xanh $C_5^3=10$, đỏ $C_4^3=4$, vàng $C_3^3=1$, tổng $10+4+1=15$ cách, không phải 14 → sai.
c) Chọn 3 bi đủ 3 màu: $5\cdot 4\cdot 3=60$ cách, không phải 12 → sai.
d) Chọn 4 bi với số bi xanh bằng số bi đỏ: trường hợp 1 xanh, 1 đỏ, 2 vàng: $5\cdot 4\cdot C_3^2=60$; trường hợp 2 xanh, 2 đỏ: $C_5^2\cdot C_4^2=10\cdot 6=60$; không thể 0 xanh 0 đỏ vì chỉ có 3 bi vàng. Tổng $60+60=120$ cách → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$C_5^3=10$ cách.
b) (AI giải đề cho tôi)
$C_5^3+C_4^3+C_3^3=10+4+1=15\ne 14$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Chọn 1 bi mỗi màu: $5\cdot 4\cdot 3=60\ne 12$.
d) (AI giải đề cho tôi)
(1 xanh, 1 đỏ, 2 vàng): $5\cdot 4\cdot C_3^2=60$; (2 xanh, 2 đỏ): $C_5^2{C}_4^2=60$; tổng $120$ cách.

(AI giải đề cho tôi)
Từ các chữ số 0,1,2,3,5,6,8,9: có 4 chữ số chẵn (0,2,6,8) và 4 chữ số lẻ (1,3,5,9). Số cần lập có 4 chữ số khác nhau và tận cùng là chữ số chẵn.
- Trường hợp 1: chữ số tận cùng là 0. Chọn chữ số hàng nghìn: 7 cách (khác 0). Chọn 2 chữ số còn lại từ 6 chữ số còn lại: $A_6^2=30$ cách. Số số: $7\times 30=210$.
- Trường hợp 2: chữ số tận cùng là 2, 6 hoặc 8: có 3 cách. Chữ số hàng nghìn: khác 0 và khác chữ số tận cùng nên còn 6 cách. Hai chữ số còn lại: $A_6^2=30$ cách. Số số: $3\times 6\times 30=540$.
Tổng số số chẵn có 4 chữ số khác nhau là $210+540=750$.

(AI giải đề cho tôi)
Dùng bù - trừ (bao hàm - loại trừ). Tổng số cách chọn 5 học sinh từ 18: $C_{18}^5=8568$. Số cách chọn không có khối 12: $C_{10}^5=252$; không có khối 11: $C_{11}^5=462$; không có khối 10: $C_{15}^5=3003$. Số cách chọn chỉ từ hai khối (bị trừ hai lần, cần cộng lại): chỉ khối 11 và 10: $C_7^5=21$; chỉ khối 12 và 10: $C_8^5=56$; chỉ khối 12 và 11: $C_3^5=0$ (không đủ 5 người). Vậy số cách để mỗi khối có ít nhất 1 học sinh là: $8568-252-462-3003+21+56+0=4928$.

a) Xếp 5 bạn nữ trước: 5! cách, tạo 6 khoảng trống, chọn 5 trong 6 khoảng cho 5 bạn nam: $A_6^5$ cách. Tổng: $5!\cdot A_6^5=120\cdot 720=86400\ne 8640$ nên ý a) Sai. (Theo bảng đáp án mã đề 102: SSĐĐ.)
b) Chọn 3 nam và 3 nữ: $C_5^3\cdot C_5^3=10\cdot 10=100\ne 120$ nên ý b) Sai. (Theo bảng đáp án mã đề 102: SSĐĐ.)
c) $C_{10}^5=252$ nên ý c) Đúng. (Theo bảng đáp án mã đề 102: SSĐĐ.)
d) $10!=3628800$ nên ý d) Đúng. (Theo bảng đáp án mã đề 102: SSĐĐ.)

(AI giải đề cho tôi)
Mỗi dãy 4 ghế phải xen kẽ lớp A và lớp B, và hai học sinh đối diện nhau khác lớp. Xét theo cột (4 cặp ghế đối diện): nếu dãy 1 có mẫu ABAB thì dãy 2 phải là BABA, hoặc ngược lại. Vậy có 2 cách chọn mẫu lớp cho 8 ghế (2 mẫu toàn bàn: ABAB/BABA hoặc BABA/ABAB). Sau khi mẫu lớp cố định, có đúng 4 vị trí cho 4 học sinh lớp A và 4 vị trí cho 4 học sinh lớp B. Xếp 4 học sinh lớp A vào 4 vị trí: $4!=24$ cách; xếp 4 học sinh lớp B vào 4 vị trí: $4!=24$ cách. Tổng: $2\cdot 4!\cdot 4!=2\cdot 24\cdot 24=1152$ cách. Kết quả trùng với đáp án nguồn 1152 (mã đề 102, câu 5).

(AI giải đề cho tôi)
Câu 4 (mã đề 101): a) Xếp 5 nữ: $5!=120$ cách, tạo 6 khoảng trống; chọn 5 trong 6 khoảng xếp 5 nam: $C(6,5)\cdot 5!=720$ cách. Tổng $120\cdot 720=86400\ne 8640$ nên Sai. b) Chọn 3 nam và 3 nữ: $C(5,3)\cdot C(5,3)=10\cdot 10=100\ne 120$ nên Sai. c) $10!=3628800$ nên Đúng. d) $C(10,5)=252$ nên Đúng. Khớp bảng đáp án SSĐĐ của mã đề 101.
a) Xếp 5 bạn nữ thành hàng dọc có $5!=120$ cách, tạo ra 6 khoảng trống (kể cả hai đầu). Chọn 5 trong 6 khoảng để xếp 5 bạn nam có $C(6,5)\cdot 5!=6\cdot 120=720$ cách. Tổng: $120\cdot 720=86400$ cách, không phải 8640 cách nên khẳng định Sai.
b) Chọn 3 nam và 3 nữ: $C(5,3)\cdot C(5,3)=10\cdot 10=100$ cách, không phải 120 cách nên khẳng định Sai.
c) Xếp 10 bạn khác nhau thành một hàng ngang có $10!=3628800$ cách nên khẳng định Đúng.
d) Chọn 5 bạn từ 10 bạn: $C(10,5)=252$ cách nên khẳng định Đúng.