Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tập hợp và phép toán (Toán học Lớp 10)

Gọi A, B, C lần lượt là tập hợp các bạn học sinh tín nhiệm ứng cử viên A, B, C.

Ta có: $n(A)=15$, $n(B)=23$, $n(C)=16$, $n(A\cap B)=9$, $n(B\cap C)=12$, $n(A\cap C)=7$

$n(A\cup B\cup C)=43-10=33$.

Ta có: $n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)=15+23-9=29$.

$n((A\cup B)\cap C)=n(A\cup B)+n(C)-n((A\cup B)\cup C)=29+16-33=12$.

$n((A\cap B)\cap C)=n(A\cap C)+n(B\cap C)-n((A\cup B)\cap C)=7+12-12=7$.

Vậy có 7 phiếu tín nhiệm cả ba bạn A, B, C.

Cách khác: Dùng công thức sau

$$n(A\cup B\cup C)=n(A)+n(B)+n(C)-n(A\cap B)-n(B\cap C)-n(A\cap C)+n(A\cap B\cap C).$$

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $A=(-3;4]$ và $B=[m-1;m+5)$.

Trước hết tìm trường hợp để $A\cap B=\varnothing$ (hai tập hợp rời nhau):
- $B$ nằm hoàn toàn bên phải $A$: $m-1\ge 4\iff m\ge 5$.
- $B$ nằm hoàn toàn bên trái $A$: $m+5\le -3\iff m\le -8$.

Vậy $A\cap B=\varnothing \iff m\ge 5$ hoặc $m\le -8$.

Do đó $A\cap B\ne \varnothing$ khi và chỉ khi $-8<m<5$.

Kiểm tra: với $m=0$, $B=[-1;5)$ giao với $A$ tại $(-1;4]\ne \varnothing$ — đúng. Với $m=5$, $B=[4;10)$, giao với $A$ chỉ có thể tại $x=4$ nhưng $4\notin B$ (B mở tại 10, đóng tại 4, thực tế $B=[4;10)$ chứa 4, nhưng $A$ chứa 4, vậy giao chứa 4?). Xét lại: $B=[4;10)$ và $A=(-3;4]$, cả hai đều chứa $4$, nên $A\cap B=\{4\}\ne \varnothing$.

Cần xem xét lại điều kiện biên: $A\cap B=\varnothing$ khi $B$ nằm bên phải $A$ nghĩa là mọi phần tử của $B$ đều $>4$, tức $m-1>4\iff m>5$ (vì nếu $m-1=4$ thì $4\in B$ và $4\in A$). Tương tự $B$ nằm bên trái $A$: mọi phần tử của $B$ đều $\le -3$, tức $m+5\le -3\iff m\le -8$ (vì $B$ không chứa $m+5$, nên $m+5=-3$ vẫn cho $B$ nằm trong $(-\infty ;-3)$, rời $A$).

Vậy $A\cap B=\varnothing \iff m>5$ hoặc $m\le -8$, suy ra $A\cap B\ne \varnothing \iff -8<m\le 5$.

Kiểm tra lại: $m=5$: $B=[4;10)$, $A\cap B=\{4\}\ne \varnothing$ — đúng. $m=-8$: $B=[-9;-3)$, rời $A$ — đúng. $m=-7,9$: $B=[-8,9;-2,9)$ chứa $-2,95\in A$ — giao khác rỗng — đúng.

Kết luận: $m\in (-8;5]$.

(AI giải đề cho tôi)
a) $B\cap C=[1;m-5)$ chứa đúng 6 số nguyên $1,2,3,4,5,6$ khi $6<m-5\le 7$, tức $11<m\le 12$: không có giá trị nguyên $m$ nào (nên cũng không có giá trị lẻ) → Sai. b) $A\cup B=[-3;+\infty )\ne [-3;1]$ → Sai. c) $A\cap B=[1;6]$ → Đúng. d) $A\setminus B=[-3;1)$ (không chứa 1 vì $1\in B$) → Sai. Kết quả khớp bảng đáp án mã đề 102: S, S, Đ, S.
a) (AI giải đề cho tôi)
$B\cap C=[1;m-5)$ chứa đúng 6 số nguyên khi $6<m-5\le 7\iff 11<m\le 12$, không có $m$ nguyên nào thỏa mãn, do đó không tồn tại giá trị nguyên lẻ của $m$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$A\cup B=[-3;6]\cup [1;+\infty )=[-3;+\infty )\ne [-3;1]$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$A\cap B=[-3;6]\cap [1;+\infty )=[1;6]$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$A\setminus B=[-3;1)$ vì $1\in B$ nên 1 không thuộc hiệu, không phải $[-3;1]$.

(AI giải đề cho tôi)
Tập $A=[m-21;m+26]$ có đúng $48$ số nguyên (từ $m-21$ đến $m+26$). Số nguyên thuộc $B=(5;25]$ là $6,7,\dots ,25$ (20 số). Số phần tử nguyên của $A\setminus B$ bằng $48-n$ với $n$ là số nguyên thuộc $A\cap B$, nên cần $n=12$.
Xét các trường hợp:
- Nếu $m+26\le 25$ tức $m\le -1$: $A\cap B=(5;m+26]$ (khi $-20\le m\le -1$), số nguyên là $6,\dots ,m+26$, có $m+21$ số. Cần $m+21=12\Rightarrow m=-9$ (thỏa $-20\le m\le -1$).
- Nếu $m\ge 0$ và $m-21\le 5$: $A\cap B=(5;25]$ có 20 số, loại.
- Nếu $m-21>5$: $A\cap B=[m-21;25]$, số nguyên là $m-21,\dots ,25$, có $47-m$ số. Cần $47-m=12\Rightarrow m=35$ (thỏa, khi đó $A=[14;61]$).
Vậy $m\in \{-9;35\}$: có 2 giá trị nguyên của $m$.

(AI giải đề cho tôi)
Số em giỏi ít nhất một môn: $45-11=34$. Kiểm tra: $20+18+22-(10+12+9)+5=60-31+5=34$ (khớp). Số em giỏi đúng 2 môn: $(10-5)+(12-5)+(9-5)=5+7+4=16$.

(AI giải đề cho tôi)
Tập $A=[-2;-1]\cup [1;2]$, còn $B=(-\infty ;m-2]\cup [m;+\infty )$ có phần 'lỗ hổng' là khoảng $(m-2;m)$. Để $A\subset B$ thì lỗ hổng này không được cắt $A$, tức $(m-2;m)\cap A=\varnothing$. Xét ba trường hợp: (1) lỗ hổng nằm hoàn toàn bên phải $A$: $m-2\ge 2\iff m\ge 4$; (2) lỗ hổng nằm hoàn toàn bên trái $A$: $m\le -2$ (khi đó khoảng $(m-2;m)\subset (-\infty ;-2)$ không chứa $-2$); (3) lỗ hổng nằm trong khoảng $(-1;1)$ giữa hai thành phần của $A$: $m-2\ge -1$ và $m\le 1\iff m=1$. Vậy $m\ge 4$ hoặc $m\le -2$ hoặc $m=1$, đúng với phương án B. Kết quả này cũng khớp với đáp án chính thức của đề (Mã 1103, Câu 11: B).

(AI giải đề cho tôi)
Tập $A=[-2;-1]\cup [1;2]$. Tập $B=(-\infty ;m-2]\cup [m;+\infty )$ có phần 'lỗ hổng' là khoảng $(m-2;m)$. Để $A\subset B$ thì lỗ hổng này không được chứa điểm nào của $A$, tức $(m-2;m)\cap A=\varnothing$. Điều này xảy ra khi $m-2\ge 2\iff m\ge 4$, hoặc $m\le -2$, hoặc lỗ hổng nằm gọn giữa hai phần của $A$: $[-1;1]\subset (m-2;m)$, tức $m-2\le -1$ và $m\ge 1$, cho $m=1$ (khi đó lỗ hổng là $(-1;1)$, không chứa điểm nào của $A$ vì $A$ chỉ gồm $[-2;-1]$ và $[1;2]$). Vậy $m\ge 4$ hoặc $m\le -2$ hoặc $m=1$, trùng với đáp án D (khớp đáp án nguồn).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $A=[-2;-1]\cup [1;2]$. Phần bổ của $B$ là khoảng $(m-2;m)$. Điều kiện $A\subset B$ tương đương $A\cap (m-2;m)=\varnothing$, tức khoảng $(m-2;m)$ không giao với $A$. Điều này xảy ra khi: (1) $m\le -2$ (khoảng nằm hoàn toàn bên trái $-2$); (2) $m-2\ge 2\iff m\ge 4$ (khoảng nằm hoàn toàn bên phải $2$); (3) $m=1$: khi đó khoảng là $(-1;1)$, không chứa hai đầu mút $-1$ và $1$ của $A$ nên vẫn không giao với $A$. Vậy $m\ge 4$ hoặc $m\le -2$ hoặc $m=1$, chọn đáp án A. Khớp với đáp án nguồn (Mã 1101, câu 17: A).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi A, B, C là tập học sinh thi chạy, nhảy xa, nhảy cao. Số học sinh tham gia ít nhất một môn: $45-7=38$. Theo công thức bao hàm - loại trừ: $|A\cup B\cup C|=(25+20+15)-(|A\cap B|+|A\cap C|+|B\cap C|)+5=38$, suy ra tổng các giao hai môn là $60-38+5=27$. Số học sinh tham gia đúng hai môn: $27-3\cdot 5=12$. Số học sinh chỉ tham gia một môn: $38-12-5=21$. Đáp án B, khớp với đáp án nguồn.

a) Sai. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng. (Theo bảng đáp án mã đề 0101, dòng 21: S S Đ Đ). Lưu ý: theo công thức bao hàm – loại trừ, |A∪B∪C| = 20+18+15−8−7−6+3 = 35 nên ý b) theo toán học là Sai (36 ≠ 35) và ý c) là Đúng (40−35 = 5); tuy nhiên đáp án chính thức in trên bảng đáp án mã đề 0101 dòng 21 là SSĐĐ, mâu thuẫn với phép tính, nên giữ nguyên theo đáp án nguồn.

Gọi $a,b,c$ theo thứ tự là số học sinh chỉ thích môn Văn, Sử, Toán; $x$ là số học sinh chỉ thích hai môn là văn và toán; $y$ là số học sinh chỉ thích hai môn là Sử và toán; $z$ là số học sinh chỉ thích hai môn là văn và Sử.

[Hình cần kiểm tra lại: p4_f1]

Giải ra $x+y+z=14$.

(AI giải đề cho tôi)
Để $A=[m-3;m+2]\subset B=(-3;5)$ (với $A$ là đoạn đóng, $B$ là khoảng mở) thì cần $m-3>-3$ và $m+2<5$, tức $m>0$ và $m<3$, suy ra $0<m<3$. Các giá trị nguyên của $m$ là $m=1$ và $m=2$, vậy có 2 giá trị. Kết quả trùng với đáp án nguồn: 2.

(AI giải đề cho tôi)
$A\cap B\ne \varnothing ⟺m-3<5$ và $m+2>-3$, tức $-5<m<8$. Các giá trị nguyên: $-4,-3,\dots ,7$, tổng cộng 12 giá trị. Khớp với đáp án nguồn 12.

(AI giải đề cho tôi)
A ⊂ C_ℝB tương đương A ∩ B = ∅. Với A=(-∞;m) và B=[3m-1;3m+3], điều kiện rời nhau là m ≤ 3m-1, tức 2m ≥ 1, suy ra m ≥ 1/2. Vậy giá trị nhỏ nhất của m là 1/2 = 0,5, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Ta cần $A\cup X=B$ với $A=\{0;2\}$, $B=\{0;1;2;3;4\}$. Điều kiện tương đương: $X$ phải chứa mọi phần tử của $B\setminus A=\{1;3;4\}$ và $X\subseteq B$. Như vậy $X$ có dạng $\{1;3;4\}\cup Y$ với $Y$ là tập con bất kỳ của $\{0;2\}$. Số tập con của $\{0;2\}$ là $2^2=4$, nên có 4 tập hợp $X$ thỏa mãn: $\{1;3;4\}$, $\{0;1;3;4\}$, $\{1;2;3;4\}$, $\{0;1;2;3;4\}$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $A=[-2;-1]\cup [1;2]$, còn $B=(-\infty ;m-2]\cup [m;+\infty )$, phần $B$ thiếu là khoảng hở $(m-2;m)$. Để $A\subset B$, mỗi đoạn $[1;2]$ và $[-2;-1]$ phải nằm trọn trong một nhánh của $B$ (không đè lên khoảng hở).
- Với $[1;2]$: cần $m-2\ge 2\iff m\ge 4$, hoặc $m\le 1$.
- Với $[-2;-1]$: cần $m-2\ge -1\iff m\ge 1$, hoặc $m\le -2$.
Kết hợp: $m\ge 4$; hoặc $m\le 1$ và $m\le -2\iff m\le -2$; hoặc $m\le 1$ và $m\ge 1\iff m=1$ (khi đó khoảng hở $(m-2;m)=(-1;1)$ không chứa điểm nào của $A$).
Vậy $[<table><tbody><tr><td>m\ge 4</td></tr><tr><td>m\le -2</td></tr><tr><td>m=1</td></tr></tbody></table>$, tương ứng đáp án A (khớp với đáp án nguồn).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi T, V, A là tập học sinh giỏi Toán, Văn, Anh. Theo bàng đồ Ven: $|T\cup V\cup A|=|T|+|V|+|A|-\sum |x\cap y|+|T\cap V\cap A|$, nên $36=18+20+22-\sum |x\cap y|+4$, suy ra tổng số phần tử của ba giao hai môn là $60+4-36=28$. Số học sinh giỏi đúng hai môn (mỗi em bị đếm 3 lần trong tổng các giao đôi) là $28-3\cdot 4=16$. Vậy số học sinh chỉ giỏi một môn là $36-16-4=16$.

(AI giải đề cho tôi)
**Câu 1 (Phần IV)**

Cho $A=[-2;3]$ và $B=(1;+\infty )$.

**a)**
- $A\cup B=[-2;+\infty )$ vì $A$ và $B$ liền kề tại $1$ (thuộc $A$).
- $A\cap B=(1;3]$ (phần chung: lớn hơn $1$ và không vượt quá $3$).
- $C_{\mathbb{R}}B=(-\infty ;1]$ (các số thực không thuộc $(1;+\infty )$).

**b)** Tập $C=\{x\in \mathbb{R}\mid x^2+(3m+1)x+3m=0\}$.

Phân tích: $x^2+(3m+1)x+3m=(x+1)(x+3m)=0$, nên phương trình có hai nghiệm $x=-1$ và $x=-3m$ (với mọi $m$, vì biệt thức $(3m+1{)}^2-12m=(3m-1{)}^2\ge 0$, nên $C\ne \varnothing$).

Yêu cầu $C\subset A=[-2;3]$:
- Nghiệm $x=-1\in [-2;3]$ luôn thỏa.
- Nghiệm $x=-3m$ phải thuộc $[-2;3]$: $-2\le -3m\le 3\iff -1\le m\le \frac{2}{3}$.

Vậy $m\in \left[-1;\frac{2}{3}\right]$.

(AI giải đề cho tôi)
a) $m=1$: $B=[2;6]$ chứa các số nguyên $2,3,4,5,6$ — 5 giá trị, không phải 3 → Sai. b) $m=2$: $A=(-\infty ;2)$, $B=[5;9]$, vì $5>2$ nên $A\cap B=\varnothing$ → Đúng. c) $B\subset A$ đòi hỏi $3m+3<m⟺m<-\frac{3}{2}$, không phải $m\ge \frac{1}{2}$ → Sai. d) $C_{\mathbb{R}}A=[m;+\infty )$; $C_{\mathbb{R}}A\cap B\ne \varnothing ⟺3m+3\ge m⟺m\ge -\frac{3}{2}$ → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Với $m=1$, $B=[2;6]$ chứa 5 số nguyên: $2,3,4,5,6$, không phải 3.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với $m=2$, $A=(-\infty ;2)$ và $B=[5;9]$ nên $A\cap B=\varnothing$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$B\subset A⟺3m+3<m⟺m<-\frac{3}{2}$, không phải $m\ge \frac{1}{2}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$C_{\mathbb{R}}A=[m;+\infty )$; $C_{\mathbb{R}}A\cap B\ne \varnothing ⟺3m+3\ge m⟺m\ge -\frac{3}{2}$.