Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Thể tích khối tròn xoay (Toán học Lớp 12)

Khi cắt một vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ $x$ với mặt cắt là hình vuông có độ dài các cạnh là $\sqrt{3-x^2}$ ($-\sqrt{3}\le x\le \sqrt{3}$). Thể tích của vật thể đã cho bằng

Một khối bê tông có chiều cao $2$ mét được đặt trên mặt đất. Nếu cắt khối bê tông bởi một mặt phẳng nằm ngang và cách mặt đất $x$ mét ($0\le x\le 2$) thì được mặt cắt là một hình chữ nhật có chiều dài $5$ mét và chiều rộng bằng $(0,5{)}^x$ mét (xem hình dưới). Thể tích của khối bê tông đó bằng bao nhiêu mét khối (Kết quả làm tròn đến hàng phần mười)?

Một kiến trúc sư thiết kế một hồ bơi vô cực có mặt trên của bể bơi nằm trong mặt phẳng $Oxy$ (đơn vị trục là mét). Một cạnh của hồ bơi dài $12\text{ m}$ nằm trên trục $Ox$; hai cạnh bên lần lượt nằm trên trục $Oy$ và đường thẳng $x=12$; cạnh còn lại (mặt vô cực) là một phần đồ thị của hàm số $y=-\frac{1}{18}{x}^2+\frac{2}{3}x+4$. Đáy hồ bơi không phẳng mà độ sâu tại điểm $(a;b)$ được tính theo công thức $h(a)=\frac{1}{4}a+1$ (mét). Thể tích nước tối đa mà hồ bơi có thể chứa là bao nhiêu ${\text{m}}^3$?

Trong không gian $Oxyz$, cho vật thể $T$ giới hạn bởi hai mặt phẳng có phương trình $x=a$ và $x=b$ ($a<b$). Cắt vật thể $T$ bởi một mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ bằng $x$ ($a\le x\le b$), ta được thiết diện có diện tích bằng $S(x)$. Khi $S(x)$ là một hàm liên tục trên đoạn $[a;b]$, thể tích $V$ của vật thể $T$ được tính theo công thức nào sau đây?
[IMAGE_1]

Đồ thị các đường $y=x^2$; $y=-x$; $x=3$ cho bởi hình vẽ dưới đây. Gọi $S_1$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=-x$, trục hoành và hai đường thẳng $x=0,x=3$. Gọi $S_2$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=x^2$, trục hoành và hai đường thẳng $x=0,x=3$.
[IMAGE_1]

Đồ thị các đường $y=x$; $y=-\sqrt{x}$; $x=3$ cho bởi hình vẽ dưới đây. Gọi $S_1$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=x$, trục hoành và hai đường thẳng $x=0,x=3$. Gọi $S_2$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=-\sqrt{x}$, trục hoành và hai đường thẳng $x=0,x=3$.
[IMAGE_1]

Một đường hầm hiện đại được thiết kế với mặt đáy là hình thang $ACDF$ vuông tại $A$ và $C$ ($AF\parallel CD$). Xét một thiết diện bất kì của đường hầm vuông góc với $AC$ là một hình phẳng giới hạn bởi đường cong $(P)$, đoạn $BE$ và đoạn $BG$ như hình vẽ ($G$ thuộc $(P)$). Giả sử $(P)$ là một nhánh của parabol có đỉnh $S$ và hình chiếu của $S$ trên mặt nền là $H$, $E$ là chân của parabol ($E$ thuộc $(P)$ và mặt đáy) thì $SH=2EH$. Một mặt bên đường hầm có dạng mặt phẳng vuông góc với mặt đáy chứa đường thẳng $AC$, gọi $B$ là hình chiếu vuông góc của $G$ xuống mặt phẳng đáy thì $BE=BG$ và $B$ thuộc đoạn $AC$. Biết $AC=20\text{ m}$, $AF=2CD=10\text{ m}$, tìm thể tích đường hầm trên và làm tròn đến hàng đơn vị của ${\text{m}}^3$.

Câu 6. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi các đường $y=x^3+3,y=0,x=0,x=2$. Gọi $V$ là thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay $(H)$ xung quanh trục $Ox$. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Câu 6. Một vật thể dùng để trang trí nội thất có dạng như hình (H1) bên dưới. Đây là một khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng $(R)$ (phần gạch chéo trong hình (H2)) quanh trục $AB$. Hình phẳng $(R)$ được giới hạn bởi các cạnh $AB,AD$ của hình vuông $ABCD$ tâm $I$, độ dài cạnh $4\text{ cm}$ và các cung phần tư $DI,IB$ của các đường tròn bán kính bằng $2\text{ cm}$ với tâm lần lượt là trung điểm của các cạnh $AD,AB$. Thể tích của vật thể (H1) bằng bao nhiêu centimét khối (không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng phần chục)?

Bút viết của một bảng vẽ điện tử được để trong một chiếc giá là một khối tròn xoay có mặt cắt qua trục là một hình phẳng có hình dạng và các kích thước gắn với hệ trục tọa độ $Oxy$ như hình vẽ dưới đây:

Biết biên của mặt cắt gồm hai nửa đường tròn đường kính $AB,CD$ và một cung của parabol đỉnh $O$, nhận $Ox$ là trục đối xứng; cho $AB=CD=3\text{ cm}$, $OI=1\text{ cm}$, $AD=3\text{ cm}$, $MN=2\text{ cm}$, đơn vị trên hệ trục là $1\text{ cm}$.

Chiếc mũ rộng vành được mô hình hóa khi cho hình phẳng $(H)$ được giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f(x)=\{\begin{array}{ll}\sqrt{1-x^2}& \text{khi }-1\le x\le 0\\ x^3+1& \text{khi }0<x\le 1\end{array}$, trục $Ox$ và các đường thẳng $x=-1$, $x=1$ quay xung quanh trục $Ox$ (tham khảo hình vẽ). Biết đơn vị trên mỗi trục là $\text{dm}$.

Một xưởng gỗ sản xuất các thùng gỗ đựng rượu vang có hình dáng là một khối tròn xoay (như hình vẽ). Thùng có chiều cao $10\text{ dm}$. Hai mặt đáy phẳng song song và bằng nhau có đường kính $6\text{ dm}$. Thân thùng phình ra ở giữa, biết đường kính lớn nhất ở chính giữa thân thùng là $8\text{ dm}$. Đường cong bao quanh thân thùng có dạng là một phần của đường Parabol. Tính thể tích của thùng rượu này (đơn vị: ${\text{dm}}^3$), làm tròn kết quả đến hàng đơn vị.

Một chiếc cối đá có lòng cối là một paraboloid tròn xoay (có mặt cắt qua trục là một parabol như hình bên), với miệng cối là đường tròn có đường kính $40\text{ cm}$ và chiều sâu lòng cối là $30\text{ cm}$. Biết rằng thể tích của lòng cối bằng $a\pi {\text{ (cm}}^3\text{)}$, giá trị $a$ bằng bao nhiêu?

Gọi $D$ là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=x^4$, trục hoành và hai đường thẳng $x=0,x=1$. Quay $D$ quanh trục $Ox$ ta được khối tròn xoay có thể tích bằng:

Thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $y=x^2$, trục hoành và hai đường thẳng $x=0,x=2$ quanh trục hoành là

Câu 10. Thể tích khối tròn xoay giới hạn bởi hàm số $y=f(x)$ liên tục trên đoạn $[a;b]$, trục hoành và hai đường thẳng $x=a,x=b$ khi xoay quanh trục $Ox$ được xác định bởi công thức nào sau đây?

Một cơ sở thủ công mỹ nghệ ở Khánh Hòa sản xuất các chân đế kim loại để trưng bày quả cầu pha lê trong cửa hàng lưu niệm. Ban đầu, người ta đúc một khối kim loại hình trụ đặc có đường kính đáy 12 cm và chiều cao 10 cm. Sau đó, để đặt vừa quả cầu pha lê, người thợ khoét ở mặt trên của khối trụ một phần của khối cầu bán kính 5 cm. Phần của khối cầu nhô lên khỏi mặt trên của khối trụ 4 cm như hình minh họa. Biết thể tích kim loại còn lại của chân đế sau khi khoét là $m\pi {\text{ cm}}^3$. Giá trị của $m$ là bao nhiêu?

Xét hình phẳng $(H)$ là miền giới hạn bởi các đoạn thẳng $AB,AC$ và một phần parabol $(P)$ như hình vẽ. Biết $A$ trùng gốc tọa độ, $B(2;2),C(-2;2)$. Parabol $(P)$ có đỉnh $I(0;6)$ và qua 2 điểm $B,C$.



Các mệnh đề sau đúng hay sai?

Tính thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường cong $y=\sqrt{e^x-x}$, $y=0$, $x=1$, $x=2$ xung quanh trục $Ox$ là:

Cho hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi đồ thị $y=3x-x^2$ và trục hoành. Thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi cho $(H)$ quay quanh trục hoành bằng