Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tích phân xác định (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $I={\int }_0^{\pi /6}\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x\right)dx=-\frac{\sqrt{3}}{2}{\left[-\cos x\right]}_0^{\pi /6}=\frac{\sqrt{3}}{2}\left(\cos \frac{\pi }{6}-\cos 0\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}-1\right)=\frac{3-2\sqrt{3}}{4}$. Vậy đáp án D, khớp với đáp án nguồn (Mã đề 111, Câu 5: D).

(AI giải đề cho tôi)
Theo công thức Newton–Leibniz, vì $f^{\prime }(x)$ liên tục trên $[a;b]$ nên $\underset{a}{\overset{b}{\int }}{f}^{\prime }(x)\mathrm{d}x=f(b)-f(a)$. Do đó mệnh đề đúng là D. Các phương án khác sai: A dùng $F(x)$ (nguyên hàm của $f$) thay vì $f$; B đúng phải là $f(b)-f(a)$ chứ không phải $f^{\prime }(b)-f^{\prime }(a)$; C đúng phải là $F(b)-F(a)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\mathrm{d}x$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (Câu 9, mã đề 111: D).

(AI giải đề cho tôi)
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y=-x^2+3x-2$, $x=0$, $x=3$ và trục $Ox$ là $S={\int }_0^3\left|-x^2+3x-2\right|dx$ vì hàm số đổi dấu trên $[0;3]$ (cắt trục $Ox$ tại $x=1$ và $x=2$), nên phải lấy giá trị tuyệt đối. Không có hệ số $\pi$ (loại A, D) và không được bỏ dấu giá trị tuyệt đối (loại C). Đáp án khớp với mã đề 1002, Câu 1: B.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: nguyên hàm của cos x là sin x nên tích phân bằng sin b - sin a. b) Sai: ∫₁² -3/x⁴ dx = [1/x³]₁² = 1/8 - 1 = -7/8 ≠ -9/8. c) Đúng: ∫₆⁴ f(t)dt = -∫₄⁶ f = -(∫₀⁶ - ∫₀⁴) = -(-6 - 2) = 8. d) Đúng: ∫₋₂¹ [2 - 5f(x)]dx = 2·3 - 5·(-2) = 16. Khớp đáp án mã đề 1002: DSDD.
a) (AI giải đề cho tôi)
Nguyên hàm của cos x là sin x, nên ∫ₐᵇ cos x dx = sin b - sin a với a < b.
b) (AI giải đề cho tôi)
∫₁² -3/x⁴ dx = [x⁻³]₁² = 1/8 - 1 = -7/8, không bằng -9/8.
c) (AI giải đề cho tôi)
∫₆⁴ f(t)dt = -∫₄⁶ f = -(∫₀⁶ f - ∫₀⁴ f) = -(-6 - 2) = 8.
d) (AI giải đề cho tôi)
∫₋₂¹ [2 - 5f(x)]dx = 2(1-(-2)) - 5(-2) = 6 + 10 = 16.

+ Vẽ đồ thị các hàm số trên cùng 1 hệ trục tọa độ



+ Xác định được hoành độ giao điểm các đồ thị: x= 0, x = 1, x = 5.

+ Diện tích cần tìm

$$S=\underset{0}{\overset{1}{\int }}3x^{2}dx+\underset{1}{\overset{5}{\int }}\frac{3}{x}dx=1+3\ln 5.\text{ (đvdt)}$$

Điểm: 0,25 (vẽ đồ thị); 0,25 (xác định giao điểm); 0,25 + 0,25 (diện tích)

(AI giải đề cho tôi)
Theo công thức tính thể tích vật thể biết diện tích mặt cắt vuông góc với trục $Ox$ là $T(x)$ liên tục trên $[a;b]$: $V={\int }_a^{b}T(x)dx$. Với $a=-1,b=2$ ta được $V={\int }_{-1}^{2}T(x)dx$. Các phương án A, C dùng thừa hệ số $\pi$ (chỉ áp dụng khi quay quanh trục), phương án B dùng bình phương diện tích là sai. Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 1002, Câu 8: D).

(AI giải đề cho tôi)
Tích phân trên đoạn suy biến ${\int }_a^{a}f(x)dx=0$, không phụ thuộc giá trị $f(a)$, nên khẳng định B sai. A đúng theo tính chất cộng tính của tích phân, C đúng theo tính tuyến tính, D đúng vì tích phân không phụ thuộc biến tích phân ($x$ hay $t$ đều cho cùng giá trị). Đáp án B trùng với đáp án nguồn (mã đề 1002, câu 9: B).

(AI giải đề cho tôi)
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y=3x-2$, $y=x^2$ trên đoạn $[-1;3]$ là $S={\int }_{-1}^3\left|3x-2-x^2\right|dx={\int }_{-1}^3\left|-x^2+3x-2\right|dx$. Khớp với đáp án B (đáp án theo mã đề 1001 là B).

(AI giải đề cho tôi)
a) ${\int }_1^2\frac{-3}{x^3}dx={\left[\frac{3}{2x^2}\right]}_1^2=\frac{3}{8}-\frac{3}{2}=-\frac{9}{8}\ne \frac{9}{8}$, nên ý a) SAI. b) ${\int }_{-3}^1[2-5f(x)]dx=2(1-(-3))-5(-2)=8+10=18$, nên ý b) ĐÚNG. c) ${\int }_a^b\sin xdx=[-\cos x{]}_a^b=\cos a-\cos b\ne \cos b-\cos a$, nên ý c) SAI. d) ${\int }_0^{1}f(x)dx={\int }_0^{4}f(x)dx-{\int }_1^{4}f(x)dx=6-(-5)=11$, do đó ${\int }_1^{0}f(t)dt=-11\ne 11$, nên ý d) SAI. Kết quả khớp bảng đáp án mã đề 1001: S D S S.
a) (AI giải đề cho tôi)
${\int }_1^2\frac{-3}{x^3}dx={\left[\frac{3}{2x^2}\right]}_1^2=\frac{3}{8}-\frac{3}{2}=-\frac{9}{8}\ne \frac{9}{8}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
${\int }_{-3}^1[2-5f(x)]dx=2\cdot 4-5(-2)=18$.
c) (AI giải đề cho tôi)
${\int }_a^b\sin xdx=\cos a-\cos b$, không phải $\cos b-\cos a$.
d) (AI giải đề cho tôi)
${\int }_0^{1}f(x)dx=6-(-5)=11$, nên ${\int }_1^{0}f(t)dt=-11\ne 11$.

+ Vẽ đồ thị các hàm số trên cùng 1 hệ trục tọa độ

[Hình cần kiểm tra lại: p11_f2]

+ Xác định được hoành độ giao điểm các đồ thị: x= 0, x = 1, x = 4.

+ Diện tích cần tìm

$$S=\underset{0}{\overset{1}{\int }}2x^{2}dx+\underset{1}{\overset{4}{\int }}\frac{2}{x}dx=\frac{2}{3}+4\ln 2.\text{ (đvdt)}$$

Điểm: 0,25 (vẽ đồ thị); 0,25 (xác định giao điểm); 0,25 + 0,25 (diện tích)

(AI giải đề cho tôi)
Từ giả thiết $\underset{2}{\overset{5}{\int }}-2f(x)dx=8$, suy ra $-2\underset{2}{\overset{5}{\int }}f(x)dx=8\Rightarrow \underset{2}{\overset{5}{\int }}f(x)dx=-4$. Theo tính chất cộng tính của tích phân: $\underset{0}{\overset{5}{\int }}f(x)dx=\underset{0}{\overset{2}{\int }}f(x)dx+\underset{2}{\overset{5}{\int }}f(x)dx=-2+(-4)=-6$. Vậy đáp án D, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Cạnh hình vuông là $2\sqrt{1-x^2}$ nên diện tích mặt cắt $S(x)={\left(2\sqrt{1-x^2}\right)}^2=4(1-x^2)$, là hàm đa thức liên tục trên $[-1;1]$ → a) Đúng. Thể tích tính theo công thức $V={\int }_{-1}^{1}S(x)dx$ (không có hệ số $\pi$ vì mặt cắt là hình vuông, không phải hình tròn) → b) Sai. $S(x)=4(1-x^2)\ne 2(1-x^2)$ → c) Sai. $V={\int }_{-1}^{1}4(1-x^2)dx=4{\left[x-\frac{x^3}{3}\right]}_{-1}^1=4\left(\frac{2}{3}+\frac{2}{3}\right)=\frac{16}{3}\ne \frac{14}{3}$ → d) Sai. Khớp đáp án nguồn: Đ S S S.
a) (AI giải đề cho tôi)
$S(x)={\left(2\sqrt{1-x^2}\right)}^2=4(1-x^2)$ là hàm đa thức, liên tục trên $[-1;1]$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Mặt cắt là hình vuông nên $V={\int }_{-1}^{1}S(x)dx$, không nhân với $\pi$ (công thức với $\pi$ chỉ dùng cho khối tròn xoay).
c) (AI giải đề cho tôi)
$S(x)={\left(2\sqrt{1-x^2}\right)}^2=4(1-x^2)$, không phải $2(1-x^2)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$V={\int }_{-1}^{1}4(1-x^2)dx=4\left(2-\frac{2}{3}\right)=\frac{16}{3}\ne \frac{14}{3}$.

(AI giải đề cho tôi)
Tách tích phân: $I={\int }_{-1}^{2}2x\mathrm{d}x-2{\int }_{-1}^{2}f(x)\mathrm{d}x+3{\int }_{-1}^{2}g(x)\mathrm{d}x$. Ta có ${\int }_{-1}^{2}2x\mathrm{d}x=x^2{|}_{-1}^2=4-1=3$; $-2\cdot (-2)=4$; $3\cdot 1=3$. Vậy $I=3+4+3=10$, khớp với đáp án nguồn (Câu 2: 10).

(AI giải đề cho tôi)
Theo hình vẽ, trên đoạn $[-1;1]$ đồ thị $y=f(x)$ nằm phía trên trục $Ox$ nên diện tích phần đó là ${\int }_{-1}^{1}f(x)dx$. Trên đoạn $[1;4]$ đồ thị nằm phía dưới trục $Ox$ nên $f(x)\le 0$ và diện tích phần đó là $-{\int }_1^{4}f(x)dx$. Vậy $S={\int }_{-1}^{1}f(x)dx-{\int }_1^{4}f(x)dx$, tương ứng đáp án A, trùng với đáp án nguồn (Câu 4: A).

(AI giải đề cho tôi)
Với $f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2-2x& x\ge 2\\ x-2& x<2\end{array}$:
a) Trên $[1;2]$ có $x<2$ nên $f(x)=x-2$, do đó ${\int }_1^{2}f(x)dx={\int }_1^2(x-2)dx$. Đúng.
b) Trên $[2;3]$ có $x\ge 2$ nên $f(x)=x^2-2x$, do đó ${\int }_2^{3}f(x)dx={\int }_2^3(x^2-2x)dx$. Đúng.
c) Sai vì trên đoạn $[1;2]$ phải dùng $f(x)=x-2$ (nguyên hàm $\frac{x^2}{2}-2x$ chỉ dùng cho $x\ge 2$); đúng phải là ${\int }_1^{3}f(x)dx={\left(\frac{x^2}{2}-2x\right)|}_1^2+{\left(\frac{x^3}{3}-x^2\right)|}_2^3$.
d) ${\int }_1^2(x-2)dx=\left(\frac{x^2}{2}-2x\right){|}_1^2=(2-4)-(\frac{1}{2}-2)=-\frac{1}{2}$; ${\int }_2^3(x^2-2x)dx=\left(\frac{x^3}{3}-x^2\right){|}_2^3=(9-9)-(\frac{8}{3}-4)=\frac{4}{3}$. Tổng $=-\frac{1}{2}+\frac{4}{3}=\frac{5}{6}$. Đúng. Kết quả khớp đáp án nguồn: Đ Đ S Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Trên $[1;2]$ có $x<2$ nên $f(x)=x-2$, do đó ${\int }_1^{2}f(x)dx={\int }_1^2(x-2)dx$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Trên $[2;3]$ có $x\ge 2$ nên $f(x)=x^2-2x$, do đó ${\int }_2^{3}f(x)dx={\int }_2^3(x^2-2x)dx$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Sai vì trên $[1;2]$ phải dùng $f(x)=x-2$; nguyên hàm $\frac{x^2}{2}-2x$ chỉ áp dụng cho $x\ge 2$. Đúng phải là ${\int }_1^{3}f(x)dx={\left(\frac{x^2}{2}-2x\right)|}_1^2+{\left(\frac{x^3}{3}-x^2\right)|}_2^3$.
d) (AI giải đề cho tôi)
${\int }_1^2(x-2)dx=-\frac{1}{2}$ và ${\int }_2^3(x^2-2x)dx=\frac{4}{3}$, tổng $=\frac{5}{6}$.

(AI giải đề cho tôi)
Tách tích phân: $I={\int }_{-1}^{2}x\mathrm{d}x+2{\int }_{-1}^{2}f(x)\mathrm{d}x-3{\int }_{-1}^{2}g(x)\mathrm{d}x$. Ta có ${\int }_{-1}^{2}x\mathrm{d}x={\frac{x^2}{2}|}_{-1}^2=2-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$. Do đó $I=\frac{3}{2}+2\cdot 2-3\cdot (-1)=\frac{3}{2}+4+3=\frac{17}{2}=8,5$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (Câu 2: 8,5).

(AI giải đề cho tôi)
Từ giả thiết ${\int }_2^5-2f(x)dx=8$ suy ra $-2{\int }_2^{5}f(x)dx=8$, tức ${\int }_2^{5}f(x)dx=-4$. Theo tính chất cộng tích phân theo khoảng: ${\int }_0^{5}f(x)dx={\int }_0^{2}f(x)dx+{\int }_2^{5}f(x)dx=-2+(-4)=-6$. Vậy đáp án D, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ, trên đoạn $[-1;1]$ đồ thị $y=f(x)$ nằm trên trục hoành nên ${\int }_{-1}^{1}f(x)dx\ge 0$; trên đoạn $[1;4]$ đồ thị nằm dưới trục hoành nên ${\int }_1^{4}f(x)dx\le 0$. Do đó diện tích là $S={\int }_{-1}^{1}f(x)dx-{\int }_1^{4}f(x)dx$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (A).

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất tích phân: ${\int }_1^{2}f(x)dx=F(2)-F(1)=5-2=3$.
a) ${\int }_2^{1}3f(x)dx=-3{\int }_1^{2}f(x)dx=-3\cdot 3=-9$. Đúng.
b) ${\int }_1^{2}f(x)dx=-{\int }_2^{1}f(x)dx$ là tính chất đổi cận của tích phân. Đúng.
c) Theo công thức Newton-Leibniz, ${\int }_1^{2}f(x)dx=F(2)-F(1)$, nên hiệu $F(2)-F(1)$ được gọi là tích phân từ 1 đến 2 của $f(x)$. Đúng.
d) ${\int }_1^{2}f(t)dt=F(2)-F(1)=3\ne 5$. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
${\int }_2^{1}3f(x)dx=-3{\int }_1^{2}f(x)dx=-3[F(2)-F(1)]=-3(5-2)=-9$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tính chất đổi cận: ${\int }_1^{2}f(x)dx=-{\int }_2^{1}f(x)dx$ luôn đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
Theo Newton-Leibniz, ${\int }_1^{2}f(x)dx=F(2)-F(1)$, nên hiệu này chính là tích phân từ 1 đến 2 của $f(x)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
${\int }_1^{2}f(t)dt=F(2)-F(1)=5-2=3\ne 5$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa tích phân: ${\int }_a^{b}f(x)dx=-{\int }_b^{a}f(x)dx$ (A đúng), ${\int }_a^{a}f(x)dx=0$ (B đúng), và theo công thức Newton–Leibniz ${\int }_a^{b}f(x)dx=F(x){|}_a^b=F(b)-F(a)$ (D đúng). Khẳng định C sai vì ${\int }_a^{b}f(x)dx=F(x){|}_a^b=F(b)-F(a)$, không phải $f^{\prime }(b)-f^{\prime }(a)$; hơn nữa $f$ chỉ liên tục nên chưa chắc có đạo hàm. Khớp với đáp án nguồn (mã đề 2463, câu 4: C).