Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tích phân xác định (Toán học Lớp 12)

Ta có: $I=\underset{1}{\overset{e}{\int }}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}\right)dx=\left(\ln |x|+\frac{1}{x}\right){|}_1^e$ $=\left(1+\frac{1}{e}\right)-(0+1)=\frac{1}{e}$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất tích phân: $\underset{0}{\overset{3}{\int }}f(x)\mathrm{d}x=\underset{0}{\overset{1}{\int }}f(x)\mathrm{d}x+\underset{1}{\overset{3}{\int }}f(x)\mathrm{d}x$. Suy ra $\underset{1}{\overset{3}{\int }}f(x)\mathrm{d}x=5-(-1)=6$. Vậy chọn đáp án D, trùng với đáp án nguồn (Mã đề 101, câu 5: D).

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ: A(0;2), B(2;2), C(3;0), D(5;-1), E(5;0).
a) Hình thang OABC có hai đáy OA = 2, BC = 3 (khoảng cách từ B(2;2) đến C(3;0) theo phương ngang là 3) và chiều cao 2, diện tích = ((2+3)/2)·2 = 5. Tam giác CDE có đáy CE = 2, chiều cao = 1 (tung độ D), diện tích = (2·1)/2 = 1. Cả hai đúng.
b) Trên [0;3] đồ thị nằm trên trục Ox nên ∫₀³ f(x)dx = diện tích OABC = 5. Đúng.
c) Trên [3;5] đồ thị nằm dưới trục Ox nên ∫₃⁵ f(x)dx = -diện tích CDE = -1. Do đó ∫₀⁵ f(x)dx = 5 + (-1) = 4. Đúng.
d) ∫₃⁵ f(x)dx = -1 (vì f(x) ≤ 0 trên [3;5]), không phải 1. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Diện tích hình thang OABC = ((2+3)/2)·2 = 5; diện tích tam giác CDE = (1/2)·2·1 = 1.
b) (AI giải đề cho tôi)
Trên [0;3] f(x) ≥ 0 nên ∫₀³ f(x)dx = diện tích hình thang OABC = 5.
c) (AI giải đề cho tôi)
∫₀⁵ f(x)dx = 5 + (-1) = 4 vì phần [3;5] nằm dưới trục Ox.
d) (AI giải đề cho tôi)
Trên [3;5] f(x) ≤ 0 nên ∫₃⁵ f(x)dx = -diện tích tam giác CDE = -1, không phải 1.

(AI giải đề cho tôi)
Tích phân: ${\int }_1^2\left(x+\frac{1}{x}\right)dx={\left[\frac{x^2}{2}+\ln x\right]}_1^2=(2+\ln 2)-\left(\frac{1}{2}+0\right)=\frac{3}{2}+\ln 2$. Vậy $a=2$, $b=3$, $c=2$ (phân số tối giản), tổng $a+b+c=2+3+2=7$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo hình vẽ, trên đoạn $[-1;1]$ đồ thị $y=f(x)$ nằm trên trục hoành nên $f(x)\ge 0$, do đó diện tích phần này là ${\int }_{-1}^{1}f(x)dx$. Trên đoạn $[1;2]$ đồ thị nằm dưới trục hoành nên $f(x)\le 0$, diện tích phần này là $-{\int }_1^{2}f(x)dx$. Vậy $S=\underset{-1}{\overset{1}{\int }}f(x)dx-\underset{1}{\overset{2}{\int }}f(x)dx$.

(AI giải đề cho tôi)
Trên $[2;3]$, hiệu hai hàm: $6x^2-30x+36-(2x+1)=6x^2-32x+35$. Phương trình $6x^2-32x+35=0$ có nghiệm $x=\frac{16\pm \sqrt{46}}{6}\approx 1,54$ và $3,80$, nên trên $[2;3]$ biểu thức luôn âm (tại $x=2$: $-5<0$). Diện tích $S={\int }_2^3-(6x^2-32x+35)dx=-{\left[2x^3-16x^2+35x\right]}_2^3=-(15-22)=7$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất tích phân: ${\int }_5^{18}f(x)dx={\int }_5^{8}f(x)dx+{\int }_8^{18}f(x)dx$. Suy ra ${\int }_5^{8}f(x)dx=-20-16=-36$. Vậy đáp án B.

$${\int }_0^{\frac{\pi }{6}}\sin x\cdot \sin 7xdx=\frac{1}{2}{\int }_0^{\frac{\pi }{6}}(\cos 6x-\cos 8x)dx(0,25)$$ $$=\left(\frac{1}{12}\sin 6x-\frac{1}{16}\sin 8x\right){|}_0^{\frac{\pi }{6}}=\frac{\sqrt{3}}{32}(0,25)$$ Nếu HS chỉ ghi đáp án mà không giải thì không có điểm.

$$\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{3}}{\int }}\sin x.\cos 5xdx=\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{3}}{\int }}(\sin 6x-\sin 4x)dx$$ $$=\left(\frac{-1}{12}\cos 6x+\frac{1}{8}\cos 4x\right){|}_0^{\frac{\pi }{3}}=-\frac{3}{16}$$ Nếu HS chỉ ghi đáp án mà không giải thích không có điểm. (Điểm: 0,25 + 0,25)

(AI giải đề cho tôi)
Ta có ${\int }_3^{1}f(x)dx=6$ nên ${\int }_1^{3}f(x)dx=-6$. Theo tính chất cộng tính của tích phân: ${\int }_0^{3}f(x)dx={\int }_0^{1}f(x)dx+{\int }_1^{3}f(x)dx=-4+(-6)=-10$. Vậy đáp án là C.

(AI giải đề cho tôi)
Trên đoạn $[0;1]$, ta có $x^2+5\ge 6x$ (vì $x^2-6x+5=(x-1)(x-5)\ge 0$ với $x\in [0;1]$). Diện tích là $$S={\int }_0^1\left(x^2+5-6x\right)dx={\left[\frac{x^3}{3}+5x-3x^2\right]}_0^1=\frac{1}{3}+5-3=\frac{8}{3}.$$ Vậy đáp án A.

$S={\int }_0^4|2x-3|dx={\int }_0^{1,5}(3-2x)dx+{\int }_{1,5}^4(2x-3)dx=2,25+6,25=8,5$.
Chọn đáp án B

a) Ta có $\int 4^{x}dx=\frac{4^x}{\ln 4}+C$.

b) Ta có $\int \sin xdx=-\cos x+C$.

c) Ta có ${\int }_0^{\pi /2}[f(x)+g(x)]dx=\left(\frac{4^x}{\ln 4}-\cos x\right){|}_0^{\pi /2}=\frac{\sqrt{4\pi }-1}{\ln 4}+1$ nên $a+b=0$.

d) ${\int }_a^{b}2g(x)dx=-2\cos x{|}_a^b=-2\cos b+2\cos a=2(\cos a-\cos b)$.

Chọn đáp án a đúng | b sai | c sai | d đúng.
a) Ta có $\int 4^{x}dx=\frac{4^x}{\ln 4}+C$.
b) Ta có $\int \sin xdx=-\cos x+C$.
c) Ta có ${\int }_0^{\pi /2}[f(x)+g(x)]dx=\left(\frac{4^x}{\ln 4}-\cos x\right){|}_0^{\pi /2}=\frac{\sqrt{4\pi }-1}{\ln 4}+1$ nên $a+b=0$.
d) ${\int }_a^{b}2g(x)dx=-2\cos x{|}_a^b=-2\cos b+2\cos a=2(\cos a-\cos b)$.

$\underset{0}{\overset{2}{\int }}f(x)dx-\underset{0}{\overset{2}{\int }}2dx=10-2x{|}_0^2=10-4=6$.
Chọn đáp án (D)

(AI giải đề cho tôi)
Vì $F$ là một nguyên hàm của $f$ nên $F^{\prime }(x)=f(x)$. Theo công thức Newton - Leibniz: ${\int }_1^{2}f(x)\mathrm{d}x=F(2)-F(1)=5-9=-4$. Vậy đáp án là C, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1033, câu 5: C).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ nên theo định lý Newton - Leibniz: ${\int }_1^{2}f(x)\mathrm{d}x=F(2)-F(1)=5-9=-4$. Vậy đáp án là A. Kết quả này trùng với đáp án nguồn (đề 1022, câu 11: A).

(AI giải đề cho tôi)
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $y=x^2+1$, trục hoành và hai đường thẳng $x=1$, $x=2$ là $$S={\int }_1^2(x^2+1)dx=\left(\frac{x^3}{3}+x\right){|}_1^2=\left(\frac{8}{3}+2\right)-\left(\frac{1}{3}+1\right)=\frac{10}{3}\approx 3,3.$$ Kết quả khớp với đáp án nguồn 3,3.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có ${\int }_0^5[f(x)+5]dx={\int }_0^{5}f(x)dx+{\int }_0^{5}5dx=3+5\cdot (5-0)=3+25=28$. Vậy đáp án A, khớp với đáp án nguồn (đề 104, câu 8 = A).

(AI giải đề cho tôi)
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y=x^2+2$, trục hoành và hai đường thẳng $x=1$, $x=3$ là $S={\int }_1^3(x^2+2)dx=\left(\frac{x^3}{3}+2x\right){|}_1^3=\left(9+6\right)-\left(\frac{1}{3}+2\right)=15-\frac{7}{3}=\frac{38}{3}\approx 12,7$. Kết quả khớp với đáp án nguồn 12,7.