Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tích phân xác định (Toán học Lớp 12)

Để trang trí một bảng gỗ hình chữ nhật có chiều dài $9\text{ dm}$ và chiều rộng $5\text{ dm}$, người ta thiết kế một logo hình con cá. Logo là hình phẳng giới hạn bởi hai parabol với các kích thước được cho trong hình vẽ dưới đây (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là đề xi mét). Sau đó logo được sơn màu xanh với chi phí $20000{\text{ đoˆˋng/dm}}^2$; phần còn lại sơn màu trắng với chi phí $10000{\text{ đoˆˋng/dm}}^2$.
[IMAGE:img_q21_fish]

Số tiền cần dùng để trang trí bảng gỗ trên là bao nhiêu nghìn đồng? (Làm tròn kết quả đến hàng nghìn đồng)

Cho ${\int }_1^{3}f(x)dx=\frac{2}{3}$; ${\int }_1^{3}g(x)dx=\frac{3}{4}$. Khi đó ${\int }_1^3[f(x)-g(x)]dx$ có giá trị bằng

Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi hai đường $y=x^3-x$ và $y=x-x^2$ bằng

Cho tích phân $I={\int }_0^{\sqrt{8}}\sqrt{16-x^2}dx$ và đặt $x=4\sin t$. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Biết ${\int }_1^2[2f(x)-1]dx=3$. Khi đó ${\int }_1^{2}f(x)dx$ bằng

Tính tích phân $I={\int }_0^1\frac{4}{2x+1}dx$.

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và thỏa mãn ${\int }_0^{1}f(x)dx=2$ và ${\int }_0^{3}f(x)dx=6$. Tính tích phân $I={\int }_{-1}^{1}f(|2x-1|)dx$.

${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\sin xdx$ bằng

Nếu ${\int }_{-1}^{4}f(x)dx=3$ và ${\int }_{-1}^{0}f(x)dx=2$ thì ${\int }_0^4[4e^{2x}+3f(x)]dx$ bằng

Nếu ${\int }_0^{1}f(x)dx=-2$ và ${\int }_0^{1}g(x)dx=1$ thì ${\int }_0^1[2020f(x)+2021g(x)]dx$ bằng

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol $y=x^2+x-1$ và đường thẳng $y=(m+1)x+2$ có giá trị nhỏ nhất bằng

Một resort muốn đắp đồi trượt cỏ cho trẻ em. Đường trượt được thiết kế bắt đầu từ vị trí $A$ cao $3\text{ m}$ thoải dần theo dạng một parabol $(P_1)$ có đỉnh ngay vị trí bắt đầu trượt và được kết nối với một parabol $(P_2)$ tại $N$ cách vị trí ban đầu $4\text{ m}$ theo phương ngang. Về mặt kỹ thuật, để đường trượt mượt mà thì vị trí kết nối này phải đảm bảo hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm kết nối của cả hai parabol trên phải bằng nhau. Parabol $(P_2)$ có đỉnh ở vị trí kết thúc $B$ có cao độ bằng $0$ và cách vị trí ban đầu $10\text{ m}$ theo phương ngang. Hình bên dưới thể hiện mặt cắt bên của đồi trượt cỏ.
[IMAGE:img_q18_hill]

Biết đồi trượt rộng $5\text{ m}$, tính số mét khối đất đắp thành đồi trượt.

Tích phân ${\int }_1^2(x^2+1)dx$ bằng

Cho ${\int }_0^{2}f(x)dx=4$ và ${\int }_0^{2}g(x)dx=3$ thì ${\int }_0^2[3f(x)-2g(x)]dx$ bằng

Biết $F(x)=\sin 2x$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên $\mathbb{R}$. Giá trị của ${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}[2+f(x)]dx$ bằng

Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$. Đồ thị của hàm số $y=f(x)$ như hình vẽ:

Giá trị của biểu thức ${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{f}^{\prime }(4\sin x-2)\cos xdx+\frac{1}{4}{\int }_0^2{f}^{\prime }(x+2)dx$ bằng

Cho hàm số $f(x)=a{x}^4+b{x}^2+1$ ($a\ne 0;a,b\in \mathbb{R}$) mà đồ thị hàm số $f^{\prime \prime }(x)$ và đồ thị hàm số $f(x)$ có một điểm chung duy nhất và nằm trên trục $Oy$ (hình vẽ), trong đó $\pm x_1$ là nghiệm của $f(x)$ và $\pm x_2$ là nghiệm của $f^{\prime \prime }(x)$, ($x_1,x_2>0$). Biết $x_1=3x_2$, tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị $f(x)$, $f^{\prime \prime }(x)$ và trục $Ox$.

Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên đoạn $[a;b]$. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f(x)$, trục hoành và hai đường thẳng $x=a$, $x=b$ được tính theo công thức

Cho $f(x)$ là hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$, biết $f(x)=16x^3-15x^2+2x{\int }_1^{2}f(t)\text{d}t-21$. Giá trị của $f(2)$ bằng bao nhiêu?

Người ta lát gạch trang trí một mảnh sân hình chữ nhật có kích thước $28\text{ m}\times 16\text{ m}$ như hình vẽ bên dưới, trong đó $(P_1),(P_2)$ là hai parabol đối xứng trục với nhau qua trục đối xứng vuông góc với chiều dài của mảnh sân, $(C)$ là đường tròn có tâm trùng với tâm của mảnh sân và lần lượt có duy nhất một điểm chung với các parabol đó (tham khảo hình vẽ). Chi phí cho phần lát gạch là $240$ nghìn đồng một mét vuông. Trong trường hợp hình tròn $(C)$ có diện tích lớn nhất thì chi phí lát gạch là bao nhiêu triệu đồng? (kết quả làm tròn tới hàng phần chục)
[IMAGE:img_q20_courtyard]