Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tọa độ điểm/vectơ (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Máy bay chuyển động thẳng đều từ A(600;200) đến B(200;500) trong 3 giờ. Sau 1 giờ, máy bay đi được 1/3 quãng đường, nên M = A + (1/3)(B − A). Vecto AB = (−400; 300), nên M = (600 − 400/3; 200 + 100) = (1400/3; 300). Vậy a/3 = 1400/3 ⇒ a = 1400 và b = 300, do đó a − b = 1400 − 300 = 1100, khớp với đáp án nguồn.

1) Tứ giác $ABCD$ là hình bình hành $\iff \overrightarrow{CD}=\overrightarrow{BA}\iff \{\begin{array}{l}{x}_D+1=-6\\ y_D-4=-2\end{array}$. — 0,25 điểm. $\iff \{\begin{array}{l}{x}_D=-7\\ y_D=2\end{array}\Rightarrow D(-7;2)$ — 0,25 điểm.
2) Vì $\Delta$ vuông góc $d:-x+2y+5=0$ nên PTTQ của $\Delta$ có dạng $2x+y+c=0$ — 0,25 điểm. Mà $M(-1;4)\in \Delta$ nên ta có $2.(-1)+4+c=0\iff c=-2$ — 0,25 điểm. Vậy PTTQ của $\Delta$ là $2x+y-2=0$.

(AI giải đề cho tôi)
Với $A(5;3)$ và $B(6;7)$, ta có $\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A;y_B-y_A)=(6-5;7-3)=(1;4)$. Vậy đáp án A, khớp với đáp án nguồn (mã đề 210, câu 8: A).

(AI giải đề cho tôi)
Với $A(5;3)$ và $B(7;8)$, ta có $\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A;y_B-y_A)=(7-5;8-3)=(2;5)$. Vậy đáp án B, khớp với bảng đáp án (Câu 12, mã đề 110: B).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $A(3;1)$, $B(-1;1)$ nên $AB$ nằm trên đường thẳng $y=1$ (nằm ngang), do đó đường cao từ $C$ là đường thẳng $x=2$. Vecto $\overrightarrow{BC}=(3;3)$ có hệ số góc của $BC$ bằng $1$, nên đường cao từ $A$ vuông góc với $BC$ có hệ số góc $-1$: $y-1=-(x-3)\iff y=-x+4$. Giao với $x=2$ ta được $y=2$. Vậy trực tâm $H(2;2)$, chọn đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Tọa độ vectơ $\overrightarrow{AB}=B-A=(-1-2;3-1)=(-3;2)$. Vậy đáp án đúng là C.

(AI giải đề cho tôi)
Trạm phát phải cách đều ba trạm nên là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $MNP$. Tìm trung trực của $MN$: trung điểm $(1;2)$, $MN$ có hệ số góc $-2$ nên trung trực có hệ số góc $\frac{1}{2}$: $y-2=\frac{1}{2}(x-1)\iff y=\frac{x+3}{2}$. Trung trực của $MP$: trung điểm $\left(-\frac{5}{2};\frac{3}{2}\right)$, $MP$ có hệ số góc $-\frac{1}{3}$ nên trung trực có hệ số góc $3$: $y-\frac{3}{2}=3\left(x+\frac{5}{2}\right)\iff y=3x+9$. Giải hệ: $\frac{x+3}{2}=3x+9\iff x=-3,y=0$. Vậy trạm phát tại $I(-3;0)$. Kiểm tra: $IM=\sqrt{5^2+0^2}=5$, $IN=\sqrt{3^2+4^2}=5$, $IP=\sqrt{4^2+3^2}=5$. Khoảng cách cần tìm là $5$ km, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Trục $Oy$ đi qua gốc tọa độ và có hướng trùng với chiều dương của trục tung, nên một vectơ chỉ phương của nó là $\vec{j}=(0;1)$. Vectơ $\vec{i}=(1;0)$ là vectơ chỉ phương của trục $Ox$; các vectơ $(1;-1)$ và $(1;1)$ có hoành độ khác 0 nên không song song với trục $Oy$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (Mã đề 102, Câu 5: B).

(AI giải đề cho tôi)
Trục $Ox$ là trục hoành, nên một vectơ chỉ phương của nó có dạng $(k;0)$ với $k\ne 0$. Trong các đáp án, chỉ có $\vec{i}=(1;0)$ thỏa mãn. $\vec{j}=(0;1)$ và $\vec{n}=(0;-1)$ là vectơ chỉ phương của trục $Oy$; $\vec{n}=(1;1)$ không song song với trục $Ox$. Vậy đáp án đúng là A, trùng với đáp án nguồn (Mã đề 101, Câu 5: A).

(AI giải đề cho tôi)
Trung điểm $I$ của đoạn $AB$ với $A(2;-3)$, $B(4;7)$ là $I\left(\frac{2+4}{2};\frac{-3+7}{2}\right)=I(3;2)$. Kết quả khớp với đáp án D và với bảng đáp án mã đề 1002 (Câu 11: D).

(AI giải đề cho tôi)
Véc tơ $\overrightarrow{AB}=(8-5;12-8)=(3;4)$, độ dài $AB=\sqrt{3^2+4^2}=5$ m. Robot đi 5 m trong 5 phút nên vận tốc ban đầu $v=1$ m/phút. Khi quay đầu, vận tốc mới là $1,5$ m/phút; sau 8 phút robot đi được $1,5\cdot 8=12$ m theo hướng ngược lại, tức theo véc tơ đơn vị $\left(-\frac{3}{5};-\frac{4}{5}\right)$. Suy ra $\overrightarrow{BC}=12\left(-\frac{3}{5};-\frac{4}{5}\right)=(-7,2;-9,6)$, nên $C(a;b)=(8-7,2;12-9,6)=(0,8;2,4)$. Vậy $a+b=3,2$ và $5(a+b)=16$, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1002, Phần III Câu 3 = 16).

(AI giải đề cho tôi)
Từ $\vec{c}=m\vec{a}+n\vec{b}$ ta có hệ: $2m+3n=7$ và $m+4n=2$. Từ phương trình thứ hai $m=2-4n$, thay vào: $2(2-4n)+3n=7\Rightarrow 4-5n=7\Rightarrow n=-0,6$, suy ra $m=2-4(-0,6)=4,4$. Vậy $m+n=4,4-0,6=3,8$. Khớp với đáp án nguồn D.

(AI giải đề cho tôi)
ABCD là hình bình hành nên $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$, tức $A+C=B+D$, suy ra $D=A+C-B=(-3+5-1;1+3-4)=(1;0)$. Kiểm tra: $\overrightarrow{AB}=(4;3)$, $\overrightarrow{DC}=(5-1;3-0)=(4;3)$, đúng. Vậy chọn D, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1002, câu 8: D).

(AI giải đề cho tôi)
Trung điểm $I$ của đoạn $AB$ với $A(2;-3)$, $B(4;7)$ là $I\left(\frac{2+4}{2};\frac{-3+7}{2}\right)=I(3;2)$. Kết quả khớp với đáp án D trong bảng hướng dẫn chấm (mã đề 1001, câu 10: D).

(AI giải đề cho tôi)
Từ $\vec{c}=m\vec{a}+n\vec{b}$ ta có hệ: $2m+3n=7$ và $m+4n=2$. Từ phương trình thứ hai $m=2-4n$, thay vào: $2(2-4n)+3n=7\Rightarrow 4-5n=7\Rightarrow n=-0,6$, suy ra $m=2-4(-0,6)=4,4$. Vậy $m+n=4,4-0,6=3,8$, khớp với đáp án B trong bảng chấm.

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai. Trung điểm I của AB là I(2; 1/2). Vectơ chỉ đường trung tuyến CI là CI = I − C = (−1; −1/2), nên vectơ pháp tuyến của CI là (1/2; −1) tỉ lệ với (1; −2), không phải (9; −4). b) Đúng. AB = (−2; 9), AC = (0; 5) nên AB + 2AC = (−2; 19), độ dài = √(4 + 361) = √365. c) Đúng. AB = B − A = (1−3; 5−(−4)) = (−2; 9). d) Sai. BC = (2; −4) nên vectơ pháp tuyến của (d) là (2; 1) (vì (2;1)·(2;−4)=0... thực tế VTCP của BC là (1; −2), pháp tuyến (2; 1)). Đường thẳng qua A(3; −4): 2(x−3) + 1(y+4) = 0 ⟺ 2x + y − 2 = 0, khác 2x + y + 2 = 0 (thay A vào 2x+y+2 = 4 ≠ 0).
a) (AI giải đề cho tôi)
I là trung điểm AB: I(2; 1/2). Vectơ chỉ phương của CI là (−1; −1/2), vectơ pháp tuyến tỉ lệ (1; −2), không phải (9; −4).
b) (AI giải đề cho tôi)
AB = (−2; 9), AC = (0; 5), AB + 2AC = (−2; 19), độ dài = √(4+361) = √365.
c) (AI giải đề cho tôi)
AB = (1−3; 5+4) = (−2; 9).
d) (AI giải đề cho tôi)
BC có VTCP (1; −2), đường qua A(3; −4) song song BC: x − 2y − 11 = 0, tức 2x − 4y − 22 = 0; phương trình 2x + y + 2 = 0 không đi qua A (2·3 + (−4) + 2 = 4 ≠ 0) nên sai.

(AI giải đề cho tôi)
Hình minh họa robot đi từ A đến B thực tế tồn tại ở trang 3 của đề, nên token hình không phải bị bịa. Lời giải: $\overrightarrow{AB}=(5-8;8-12)=(-3;-4)$, $|AB|=\sqrt{9+16}=5$ m. Robot đi 5 m trong 5 phút nên vận tốc ban đầu $v=1$ m/phút. Khi quay đầu, véctơ chỉ phương là $\frac{-\overrightarrow{AB}}{|AB|}=\left(\frac{3}{5};\frac{4}{5}\right)$, vận tốc mới $1,5$ m/phút. Trong 8 phút đi được $s=1,5\times 8=12$ m, displacement $=12\left(\frac{3}{5};\frac{4}{5}\right)=(7,2;9,6)$. Vậy $C=B+(7,2;9,6)=(12,2;17,6)$, tức $a=12,2$, $b=17,6$ và $5(b-a)=5\times 5,4=27$, khớp đáp án nguồn (27) ở bảng Phần III, mã đề 1001, Câu 2.

(AI giải đề cho tôi)
ABCD là hình bình hành nên $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$, tức $B-A=C-D$, suy ra $D=A+C-B$. Với $A(-3;1)$, $B(1;4)$, $C(5;3)$: $x_D=-3+5-1=1$, $y_D=1+3-4=0$. Vậy $D(1;0)$, khớp đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{AB}=(-1;-5)$, $\overrightarrow{AC}=(-5;-2)$. Suy ra $-2\overrightarrow{AB}=(2;10)$, $3\overrightarrow{AC}=(-15;-6)$, nên $\overrightarrow{AE}=(2-15;10-6)=(-13;4)$. Do đó $E=A+\overrightarrow{AE}=(-11;6)$, tức $x_E=-11$, $y_E=6$. Vậy $x_E\cdot y_E=-66$.