Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tọa độ điểm/vectơ (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\vec{i}=(1;0)$, $\vec{j}=(0;1)$ nên: $\vec{a}=2\vec{i}+3\vec{j}=(2;3)$; $\vec{b}=\frac{1}{3}\vec{i}-5\vec{j}=\left(\frac{1}{3};-5\right)$; $\vec{c}=3\vec{i}=(3;0)$; $\vec{d}=-2\vec{j}=(0;-2)$. a) Đúng. b) Sai, tung độ đúng là $-5$ chứ không phải $5$. c) Sai, hoành độ đúng là $3$ chứ không phải $0$. d) Đúng.
a) Vì $\vec{i}=(1;0)$, $\vec{j}=(0;1)$ nên $\vec{a}=2\vec{i}+3\vec{j}=(2;3)$. Đúng.
b) Ta có $\vec{b}=\frac{1}{3}\vec{i}-5\vec{j}=\left(\frac{1}{3};-5\right)$, không phải $\left(\frac{1}{3};5\right)$. Sai.
c) Ta có $\vec{c}=3\vec{i}=(3;0)$, không phải $(0;3)$. Sai.
d) Ta có $\vec{d}=-2\vec{j}=(0;-2)$. Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Không có đáp án chính thức trong nguồn. a) $\vec{a}=\vec{i}-3\vec{j}=(1;-3)$ → đúng. b) $\vec{b}=\frac{1}{2}\vec{i}+\vec{j}=\left(\frac{1}{2};1\right)$ → đúng. c) $\vec{c}=-\vec{i}+\frac{3}{2}\vec{j}=\left(-1;\frac{3}{2}\right)\ne \left(1;\frac{3}{2}\right)$ → sai. d) $\vec{d}=-4\vec{j}=(0;-4)$ và $\vec{e}=3\vec{i}=(3;0)$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $\vec{a}=\vec{i}-3\vec{j}=(1;-3)$, nên khẳng định đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $\vec{b}=\frac{1}{2}\vec{i}+\vec{j}=\left(\frac{1}{2};1\right)$, nên khẳng định đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $\vec{c}=-\vec{i}+\frac{3}{2}\vec{j}=\left(-1;\frac{3}{2}\right)\ne \left(1;\frac{3}{2}\right)$, nên khẳng định sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $\vec{d}=-4\vec{j}=(0;-4)$ và $\vec{e}=3\vec{i}=(3;0)$, nên khẳng định đúng.

(AI giải đề cho tôi)
a) $\overrightarrow{AB}=(5-4;1-6)=(1;-5)$ → đúng.
b) Gọi $D(x;0)$, $DA=DB\iff (x-4{)}^2+36=(x-5{)}^2+1\iff x^2-8x+52=x^2-10x+26\iff 2x=-26\iff x=-13$. Vậy hoành độ là $-13$, không phải $13$ → sai.
c) Tâm $I(x;y)$ thỏa $IA=IB$: $-8x-12y+52=-10x-2y+26\iff x=5y-13$; và $IA=IC$: $-8x-12y+52=-2x+6y+10\iff x+3y=7$. Suy ra $8y=20\Rightarrow y=\frac{5}{2},x=-\frac{1}{2}$. Kiểm tra: $I{A}^2=I{B}^2=I{C}^2=\frac{65}{2}$ → đúng.
d) $R^2=I{A}^2={\left(-\frac{1}{2}-4\right)}^2+{\left(\frac{5}{2}-6\right)}^2=\frac{81}{4}+\frac{49}{4}=\frac{65}{2}$, nên $R=\frac{\sqrt{130}}{2}\ne \frac{\sqrt{13}}{2}$ → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $\overrightarrow{AB}=(5-4;1-6)=(1;-5)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $D(x;0)$ với $DA=DB$: $(x-4{)}^2+36=(x-5{)}^2+1\Rightarrow x=-13$, không phải $13$.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Giải $IA=IB$ và $IA=IC$ được $I\left(-\frac{1}{2};\frac{5}{2}\right)$, kiểm tra $I{A}^2=I{B}^2=I{C}^2=\frac{65}{2}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $R^2=\frac{81}{4}+\frac{49}{4}=\frac{65}{2}$ nên $R=\frac{\sqrt{130}}{2}\ne \frac{\sqrt{13}}{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
a) $\overrightarrow{AB}=(8-7;4-(-3))=(1;7)$, $\overrightarrow{AC}=(1-7;5-(-3))=(-6;8)$. Đúng.
b) $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ không cùng phương vì $1\cdot 8-7\cdot (-6)=50\ne 0$, nên $A,B,C$ là ba đỉnh một tam giác. Đúng.
c) $K(8;4)=B$ thuộc đường thẳng $BC$. Ta có $\overrightarrow{AK}=(1;7)$, $\overrightarrow{BC}=(-7;1)$, tích vô hướng $1\cdot (-7)+7\cdot 1=0$ nên $AK\perp BC$. Vậy $K$ là chân đường cao kẻ từ $A$ (trùng với đỉnh $B$ vì $AB\perp BC$). Đúng.
d) $\overrightarrow{AB}=(1;7),\overrightarrow{BC}=(-7;1),\overrightarrow{CD}=(-1;-7),\overrightarrow{DA}=(7;-1)$. Bốn cạnh đều có độ dài $\sqrt{50}$ và các cạnh kề nhau vuông góc ($1\cdot (-7)+7\cdot 1=0$). Vậy $ABCD$ là hình vuông. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}=(8-7;4+3)=(1;7)$, $\overrightarrow{AC}=(1-7;5+3)=(-6;8)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}=(1;7)$ và $\overrightarrow{AC}=(-6;8)$ không cùng phương vì $1\cdot 8-7\cdot (-6)=50\ne 0$, nên $A,B,C$ không thẳng hàng, là ba đỉnh một tam giác.
c) (AI giải đề cho tôi)
$K(8;4)=B$ thuộc đường thẳng $BC$. $\overrightarrow{AK}=(1;7)$, $\overrightarrow{BC}=(-7;1)$, $\overrightarrow{AK}\cdot \overrightarrow{BC}=-7+7=0$ nên $AK\perp BC$. Vậy $K$ là chân đường cao kẻ từ $A$ của tam giác $ABC$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}=(1;7),\overrightarrow{BC}=(-7;1),\overrightarrow{CD}=(-1;-7),\overrightarrow{DA}=(7;-1)$; bốn cạnh đều dài $\sqrt{50}$ và $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}=0$ (tương tự các góc còn lại vuông). Vậy $ABCD$ là hình vuông.

(AI giải đề cho tôi)
Cho $A(3;-5),B(1;0)$.
a) Trung điểm $AB$: $I\left(\frac{3+1}{2};\frac{-5+0}{2}\right)=\left(2;-\frac{5}{2}\right)\ne \left(2;\frac{5}{2}\right)$ → sai.
b) $\overrightarrow{AB}=(-2;5)$ nên $\overrightarrow{OC}=-3\overrightarrow{AB}=(6;-15)$, tức $C(6;-15)$ → đúng.
c) $D$ đối xứng với $A$ qua $C$: $\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{CD}$ nên $D=2C-A=(12-3;-30+5)=(9;-25)\ne (9;25)$ → sai.
d) Chia đoạn $AB$ theo tỉ số $k=-3$: $M=\frac{A+kB}{1+k}$, $x_M=\frac{3+(-3)(1)}{-2}=0$, $y_M=\frac{-5+(-3)(0)}{-2}=\frac{5}{2}$, tức $M\left(0;\frac{5}{2}\right)\ne \left(\frac{3}{2};\frac{5}{4}\right)$ → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Trung điểm của $AB$ là $I\left(2;-\frac{5}{2}\right)$, không phải $\left(2;\frac{5}{2}\right)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}=(-2;5)$, $-3\overrightarrow{AB}=(6;-15)$ nên $C(6;-15)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$D=2C-A=(9;-25)$, không phải $(9;25)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với $k=-3$: $M=\frac{A-3B}{-2}=\left(0;\frac{5}{2}\right)$, không phải $\left(\frac{3}{2};\frac{5}{4}\right)$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 40: Cho $A(-1;1),B(2;1),C(-1;-3)$.
a) $\overrightarrow{AB}=(3;0)$, $\overrightarrow{AC}=(0;-4)$. Vì $3\cdot (-4)-0\cdot 0=-4\ne 0$ nên hai vecto không cùng phương, ba điểm không thẳng hàng, là ba đỉnh tam giác. Đúng.
b) Tam giác vuông tại $A$ với $AB=3$, $AC=4$, diện tích $S=\frac{3\cdot 4}{2}=6\ne 12$. Sai.
c) $ABCD$ là hình bình hành khi $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$. Gọi $D(x;y)$: $\overrightarrow{DC}=(-1-x;-3-y)=(3;0)\Rightarrow x=-4,y=-3$, tức $D(-4;-3)$. Đúng.
d) $N(0;y)$: $N{B}^2=4+(y-1{)}^2$, $N{C}^2=1+(y+3{)}^2$. Cho bằng nhau: $4+y^2-2y+1=1+y^2+6y+9\Rightarrow 5-2y=10+6y\Rightarrow y=-\frac{5}{8}$. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}=(3;0)$ và $\overrightarrow{AC}=(0;-4)$ không cùng phương nên ba điểm không thẳng hàng, là ba đỉnh của một tam giác.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tam giác vuông tại $A$ với $AB=3$, $AC=4$ nên $S=\frac{3\cdot 4}{2}=6\ne 12$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ khi $D=(-4;-3)$, khi đó tứ giác $ABCD$ là hình bình hành.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với $N(0;y)$, giải $NB=NC$: $4+(y-1{)}^2=1+(y+3{)}^2\Rightarrow y=-\frac{5}{8}$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{AB}=(6-2;0-(-4))=(4;4)$ và $\overrightarrow{AC}=(m-2;4-(-4))=(m-2;8)$. Ba điểm $A,B,C$ thẳng hàng khi và chỉ khi $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ cùng phương, tức $4\cdot 8-4(m-2)=0\iff 32-4m+8=0\iff 4m=40\iff m=10$. Thử lại: với $m=10$, $C(10;4)$, đường thẳng qua $A(2;-4)$ và $B(6;0)$ có phương trình $y=x-6$, thay $x=10$ được $y=4$ — đúng. Kết quả khớp với đáp số nguồn: 10.

(AI giải đề cho tôi)
Hai vectơ bằng nhau khi các tọa độ tương ứng bằng nhau: $m^2+3=5m-3$ và $2m=m^2$. Phương trình thứ nhất: $m^2-5m+6=0\iff m=2$ hoặc $m=3$. Phương trình thứ hai: $m^2-2m=0\iff m=0$ hoặc $m=2$. Giao của hai họ nghiệm là $m=2$. Kiểm tra: $\vec{u}=(7;4)=\vec{v}$. Đáp số: $2$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{AB}=(2-(m-1);5-2m-2)=(3-m;3-2m)$ và $\overrightarrow{AC}=(m-3-(m-1);4-2)=(-2;2)$. Ba điểm $A,B,C$ thẳng hàng khi và chỉ khi $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ cùng phương, tức định thức bằng 0: $(3-m)\cdot 2-(3-2m)\cdot (-2)=6-2m+6-4m=12-6m=0\Rightarrow m=2$. Thử lại với $m=2$: $A(1;2),B(2;1),C(-1;4)$; $\overrightarrow{AB}=(1;-1)$, $\overrightarrow{AC}=(-2;2)=-2\overrightarrow{AB}$, đúng thẳng hàng. Kết quả khớp với đáp số đã cho: $m=2$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta cần tìm $m,n$ sao cho $\vec{c}=m\vec{a}+n\vec{b}$, tức là $(7;2)=m(2;1)+n(3;4)=(2m+3n;m+4n)$.

Suy ra hệ phương trình:
$$\{\begin{array}{l}2m+3n=7\\ m+4n=2\end{array}$$

Từ phương trình thứ hai: $m=2-4n$. Thay vào phương trình thứ nhất:
$$2(2-4n)+3n=7\Rightarrow 4-8n+3n=7\Rightarrow -5n=3\Rightarrow n=-\frac{3}{5}.$$

Khi đó $m=2-4\left(-\frac{3}{5}\right)=2+\frac{12}{5}=\frac{22}{5}$.

Kiểm tra: $2\cdot \frac{22}{5}+3\cdot \left(-\frac{3}{5}\right)=\frac{44-9}{5}=7$ ✓ và $\frac{22}{5}+4\cdot \left(-\frac{3}{5}\right)=\frac{22-12}{5}=2$ ✓.

Vậy $m+n=\frac{22}{5}-\frac{3}{5}=\frac{19}{5}=3,8$, khớp với đáp số nguồn 3,8.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $A(0;0),B(a;0),C(a;a),D(0;a)$. Khi đó $M$ trung điểm $AB$ nên $M\left(\frac{a}{2};0\right)$; $N$ đối xứng $C$ qua $D$ nên $N=2D-C=(-a;a)$.
a) Tam giác $MAD$ vuông tại $A$ nên $M{D}^2=A{D}^2+A{M}^2=a^2+\frac{a^2}{4}=\frac{5a^2}{4}$. Đúng.
b) $M{N}^2={\left(-a-\frac{a}{2}\right)}^2+a^2=\frac{9a^2}{4}+a^2=\frac{13a^2}{4}\Rightarrow MN=\frac{a\sqrt{13}}{2}$. Đúng.
c) $MD=\frac{a\sqrt{5}}{2}\ne \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Sai.
d) $\left|\overrightarrow{MN}\right|=MN=\frac{a\sqrt{13}}{2}\ne \frac{a\sqrt{3}}{12}$. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tam giác MAD vuông tại A: MD² = AD² + AM² = a² + a²/4 = 5a²/4.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với M(a/2;0), N(−a;a): MN² = 9a²/4 + a² = 13a²/4 nên MN = a√13/2.
c) (AI giải đề cho tôi)
MD = a√5/2, không bằng a√3/2.
d) (AI giải đề cho tôi)
|MN| = a√13/2, không bằng a√3/12.

(AI giải đề cho tôi)
Tọa độ vectơ $\overrightarrow{AB}=B-A=(10-5;8-2)=(5;6)$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Tọa độ vectơ $\overline{MN}=N-M=(-3-2;4-(-2))=(-5;6)$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Tọa độ trọng tâm: $x_G=\frac{0+2+1}{3}=1$, $y_G=\frac{5+0+(-1)}{3}=\frac{4}{3}$. Vậy $G\left(1;\frac{4}{3}\right)$, tương ứng phương án D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì tín hiệu đến ba thiết bị cùng một thời điểm và tốc độ truyền âm không đổi nên $EO=EM=EN$. Vậy $E$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $OMN$. Tam giác $OMN$ có $OM=1$, $MN=3$, $ON=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}$, kiểm tra $O{M}^2+M{N}^2=1+9=10=O{N}^2$ nên vuông tại $M$. Tâm đường tròn ngoại tiếp là trung điểm cạnh huyền $ON$: $E=\left(\frac{0+1}{2};\frac{0+3}{2}\right)=(0,5;1,5)$. Suy ra $9x+y=9\cdot \frac{1}{2}+\frac{3}{2}=\frac{12}{2}=6$.

(AI giải đề cho tôi)
Tâm đường tròn đường kính AB là trung điểm của AB: $I=\left(\frac{1+(-5)}{2};\frac{-3+7}{2}\right)=(-2;2)$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Đèn chiếu sáng toàn bộ công viên tam giác khi I nằm trong tam giác; vị trí tối ưu (đề bài chuẩn) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC, vì đó là điểm cách đều ba cạnh (xa cạnh nhất có thể). Cạnh: $BC=7$, $CA=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}$, $AB=\sqrt{4^2+3^2}=5$. Tọa độ tâm nội tiếp: $I=\frac{aA+bB+cC}{a+b+c}$ với $a=BC=7,b=CA=4\sqrt{2},c=AB=5$.
$x_I=\frac{7\cdot 0+4\sqrt{2}\cdot 4+5\cdot 4}{12+4\sqrt{2}}=\frac{16\sqrt{2}+20}{4(3+\sqrt{2})}=\frac{4\sqrt{2}+5}{3+\sqrt{2}}=\frac{(4\sqrt{2}+5)(3-\sqrt{2})}{7}=\frac{7\sqrt{2}+7}{7}=1+\sqrt{2}$.
$y_I=\frac{7\cdot 3+4\sqrt{2}\cdot 0+5\cdot 7}{12+4\sqrt{2}}=\frac{56}{4(3+\sqrt{2})}=\frac{14}{3+\sqrt{2}}=\frac{14(3-\sqrt{2})}{7}=6-2\sqrt{2}$.
Vậy $I(1+\sqrt{2};6-2\sqrt{2})$. Kiểm tra: $1+\sqrt{2}\approx 2,41\in (0;4)$, $6-2\sqrt{2}\approx 3,17$ nằm trong tam giác (thỏa $y\ge 3-\frac{3}{4}x$ và $y\le 3+\frac{3}{4}x$... thực tế $y=3,17$ giữa hai cạnh AB, AC tại $x\approx 2,41$: cạnh AB cho $y=3-\frac{3}{4}\cdot 2,41\approx 1,19$, cạnh AC cho $y=3+\frac{3}{4}\cdot 2,41\approx 4,81$, đúng nằm giữa).

(AI giải đề cho tôi)
M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Trung trực của AB: trung điểm (-11;1), vecto AB=(2;-14) nên phương trình 2(x+11)-14(y-1)=0, tức x-7y+18=0. Trung trực của BC: trung điểm (-2;-2), vecto BC=(16;8) nên 2(x+2)+(y+2)=0, tức 2x+y+6=0. Giải hệ: x-7y+18=0 và 2x+y+6=0 cho M(-4;2). Bán kính R=MA=√((-4+12)²+(2-8)²)=√(64+36)=10 m. Chi phí mỗi nhà: 10 × 30 = 300 nghìn đồng (khớp đáp án nguồn 300).

(AI giải đề cho tôi)
M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Trung trực của AB: trung điểm $(-11;1)$, hệ số góc $AB=\frac{-6-8}{-10+12}=-7$ nên trung trực có hệ số góc $\frac{1}{7}$: $y-1=\frac{x+11}{7}$. Trung trực của BC: trung điểm $(-2;-2)$, hệ số góc $BC=\frac{2+6}{6+10}=\frac{1}{2}$ nên trung trực có hệ số góc $-2$: $y+2=-2(x+2)\Rightarrow y=-2x-6$. Giải hệ: $-2x-7=\frac{x+11}{7}\Rightarrow -14x-49=x+11\Rightarrow x=-4$, $y=2$. Vậy $M(-4;2)$, $R=MA=\sqrt{8^2+(-6{)}^2}=10$ m. Tổng chiều dài ống $3\cdot 10=30$ m, tổng chi phí $30\cdot 30=900$ nghìn đồng, mỗi nhà trả $\frac{900}{3}=300$ nghìn đồng. Khớp đáp án nguồn (300).