Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tọa độ điểm/vectơ (Toán học Lớp 10)

a) $G\left(\frac{5}{3};\frac{1}{3}\right)$ là trọng tâm tam giác $ABC$ nên đúng. b) $\overrightarrow{AB}=(2;-7),\overrightarrow{AC}=(0;-7)$; do $\frac{0}{2}\ne \frac{-7}{-7}$ nên $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$ không cùng phương, ba điểm không thẳng hàng, nên sai. c) Đường thẳng qua $C(1;-2)$ với vecto chỉ phương $\vec{u}=\overrightarrow{AB}=(2;-7)$ có PTTS $\{\begin{array}{l}x=1+2t\\ y=-2-7t\end{array}$ nên đúng. d) $ABCD$ là hình bình hành khi $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\iff D(-1;5)$, không phải $D(1;5)$, nên sai.
a) Do $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ nên $G\left(\frac{5}{3};\frac{1}{3}\right)$ suy ra mệnh đề đúng.
b) Ta có: $\overrightarrow{AB}=(2;-7),\overrightarrow{AC}=(0;-7)$. Do $\frac{0}{2}\ne \frac{-7}{-7}$ nên $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$ không cùng phương. Vì vậy ba điểm $A,B,C$ không thẳng hàng suy ra mệnh đề sai.
c) Đường thẳng $d$ qua $C(1;-2)$ và có vecto chỉ phương $\vec{u}=\overrightarrow{AB}=(2;-7)$ có PTTS: $\{\begin{array}{l}x=1+2t\\ y=-2-7t\end{array}$ suy ra mệnh đề đúng.
d) Giả sử $D(x;y)$. Ta có: $\overrightarrow{AB}=(2;-7),\overrightarrow{DC}=(1-x;-2-y)$. Tứ giác $ABCD$ là hình bình hành nếu $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\iff \{\begin{array}{l}2=1-x\\ -7=-2-y\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=-1\\ y=5\end{array}$. Vậy $D(-1;5)$ suy ra mệnh đề sai.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\vec{i},\vec{j}$ là hai vectơ đơn vị trên các trục tọa độ, nên $\vec{u}=3\vec{i}-4\vec{j}$ có tọa độ $\vec{u}=(3;-4)$. Đáp án A, khớp với bảng đáp án (Câu 10, mã đề 1106: A).

Đáp án: - 1.
$A\left(a;b\right)\in Oy\Rightarrow A(0;b)$. Tam giác ABC cân tại A ta có $A{B}^2=A{C}^2\iff b=-1$
Vậy $A(0;-1)$, ta có $a+b=-1$.

Đáp án: - 1.
$A\left(a;b\right)\in Oy\Rightarrow A(0;b)$. Tam giác ABC cân tại A ta có $A{B}^2=A{C}^2\iff b=-1$
Vậy $A(0;-1)$, ta có $a+b=-1$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\vec{i}=(1;0)$ và $\vec{j}=(0;1)$ nên $\vec{u}=3\vec{i}-4\vec{j}=(3;0)-(0;4)=(3;-4)$. Vậy tọa độ của $\vec{u}$ là $(3;-4)$, khớp với đáp án nguồn C.

(AI giải đề cho tôi)
Tứ giác $ABDC$ là hình bình hành theo thứ tự đỉnh $A,B,D,C$ nên hai đường chéo $AD$ và $BC$ cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. Trung điểm của $BC$ là $\left(\frac{4+2}{2};\frac{1-7}{2}\right)=(3;-3)$. Gọi $D(x;y)$, trung điểm $AD$ là $\left(\frac{x-3}{2};\frac{y+3}{2}\right)=(3;-3)$, suy ra $x-3=6\Rightarrow x=9$ và $y+3=-6\Rightarrow y=-9$. Vậy $D(9;-9)$, tương ứng đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Độ dài đoạn thẳng $AB=\sqrt{(4-1{)}^2+(6-2{)}^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Trọng tâm $G=\frac{A+B+C}{3}=\frac{A+2M}{3}$ vì $M$ là trung điểm $BC$. Suy ra $\overrightarrow{GA}=2\overrightarrow{GM}$, tức $A=3G-2M$. Với $G\left(\frac{2}{3};0\right)$, $M(1;-1)$: $x_A=3\cdot \frac{2}{3}-2\cdot 1=2-2=0$, $y_A=3\cdot 0-2\cdot (-1)=2$. Vậy $A(0;2)$, chọn đáp án D.

Chọn đáp án (D)

Tọa độ trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$ với $A(x_A;y_A)$, $B(x_B;y_B)$, $C(x_C;y_C)$. Khi đó $G=\left(\frac{x_A+x_B+x_C}{3};\frac{y_A+y_B+y_C}{3}\right)$. Do đó trong trường hợp này, $G=\left(\frac{-2+3+5}{3};\frac{5+1+(-3)}{3}\right)=(2;1)$. Chọn đáp án (C).

(AI giải đề cho tôi)
Câu 14: Với A(2;3), B(-2;5), C(4;3).
a) $\overrightarrow{AB}=(-2-2;5-3)=(-4;2)$ → Đúng.
b) $\overrightarrow{OA}=2\vec{i}+3\vec{j}$, không phải $3\vec{i}+2\vec{j}$ → Sai.
c) Trung điểm BC: $\left(\frac{-2+4}{2};\frac{5+3}{2}\right)=(1;4)\ne (0;4)$ → Sai.
d) Trọng tâm: $\left(\frac{2-2+4}{3};\frac{3+5+3}{3}\right)=\left(\frac{4}{3};\frac{11}{3}\right)\ne (1;4)$ → Sai.
Kết quả khớp đáp án nguồn (Mã B: a-Đ, b-S, c-S, d-S).
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}=(-2-2;5-3)=(-4;2)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{OA}=2\vec{i}+3\vec{j}$, không phải $3\vec{i}+2\vec{j}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trung điểm BC là $\left(\frac{-2+4}{2};\frac{5+3}{2}\right)=(1;4)$, không phải $(0;4)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Trọng tâm là $\left(\frac{2-2+4}{3};\frac{3+5+3}{3}\right)=\left(\frac{4}{3};\frac{11}{3}\right)$, không phải $(1;4)$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 14: a) $\overrightarrow{AB}=(-3-1;4-2)=(-4;2)$ → Đúng. b) $A(1;2)$ nên $\overrightarrow{OA}=\vec{i}+2\vec{j}$ → Đúng. c) Trung điểm $M$ của $BC$: $x_M=\frac{-3+5}{2}=1$, $y_M=\frac{4+(-3)}{2}=\frac{1}{2}$, tức $M\left(1;\frac{1}{2}\right)$ → Đúng. d) Trọng tâm $G$: $x_G=\frac{1+(-3)+5}{3}=1$, $y_G=\frac{2+4+(-3)}{3}=1$, tức $G(1;1)$. Vì $y_G=1\ne 0$ nên $G$ không nằm trên trục hoành → Sai. Kết quả khớp với đáp án nguồn: a-Đ, b-Đ, c-Đ, d-S.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}=(-3-1;4-2)=(-4;2)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$A(1;2)$ nên $\overrightarrow{OA}=1\cdot \vec{i}+2\cdot \vec{j}=\vec{i}+2\vec{j}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$M\left(\frac{-3+5}{2};\frac{4-3}{2}\right)=\left(1;\frac{1}{2}\right)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$G\left(\frac{1-3+5}{3};\frac{2+4-3}{3}\right)=(1;1)$, có tung độ $1\ne 0$ nên không nằm trên trục hoành.

(AI giải đề cho tôi)
Độ dài đoạn thẳng $NP=\sqrt{(0-(-6){)}^2+(6-3{)}^2}=\sqrt{36+9}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $NP=\sqrt{(0-(-6){)}^2+(6-3{)}^2}=\sqrt{36+9}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}$. Vậy chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Tọa độ vectơ $\overrightarrow{NP}=(0-(-6);6-3)=(6;3)$. Độ dài $NP=\sqrt{6^2+3^2}=\sqrt{36+9}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Độ dài $NP=\sqrt{(0-(-6){)}^2+(6-3{)}^2}=\sqrt{36+9}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}$. Vậy chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\vec{i}=(1;0)$ và $\vec{j}=(0;1)$ nên $\vec{u}=\vec{i}-5\vec{j}=(1;0)-5(0;1)=(1;-5)$. Vậy tọa độ của $\vec{u}$ là $(1;-5)$, khớp với đáp án C trong bảng đáp án (mã đề 528, câu 2: C).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\vec{i}=(1;0)$ và $\vec{j}=(0;1)$ nên $\vec{u}=-5\vec{i}+\vec{j}=-5(1;0)+(0;1)=(-5;1)$. Vậy tọa độ của $\vec{u}$ là $(-5;1)$, khớp với đáp án C trong bảng đáp án (mã đề 391, câu 12: C).

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục tọa độ: $H(0;0)$, $K(20;0)$, $C(20;32)$, $A(0;6)$, $B(0;24)$.

Gọi $\alpha$ là góc giữa tia $CA$ và phương ngang, $\beta$ là góc giữa tia $CB$ và phương ngang. Ta có:
$$\tan \alpha =\frac{32-6}{20}=\frac{26}{20}=1,3,\tan \beta =\frac{32-24}{20}=\frac{8}{20}=0,4.$$

Áp dụng công thức tan của hiệu hai góc:
$$\tan \widehat{ACB}=\tan (\alpha -\beta )=\frac{\tan \alpha -\tan \beta }{1+\tan \alpha \tan \beta }=\frac{1,3-0,4}{1+1,3\cdot 0,4}=\frac{0,9}{1,52}=\frac{45}{76}\approx 0,5921.$$

Suy ra $\widehat{ACB}=\arctan \frac{45}{76}\approx 30,6^{\circ }$.

Vậy phạm vi camera quan sát được ở chung cư thứ nhất là góc $\widehat{ACB}\approx 30,6^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $E(1;-1)$ và $F(8;0)$. Độ dài đoạn thẳng $EF=\sqrt{(8-1{)}^2+(0-(-1){)}^2}=\sqrt{49+1}=\sqrt{50}\approx 7,071$. Làm tròn đến hàng phần chục: $EF\approx 7,1$.