Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tương giao và tham số (Toán học Lớp 12)

Từ đồ thị của $f^{\prime }(x)$:
- $f^{\prime }(x)<0$ trên $(-\infty ;a)\cup (b;c)$ và $f^{\prime }(x)>0$ trên $(a;b)\cup (c;+\infty )$.
- Hàm số $f(x)$ đạt cực đại tại $x=b$, đạt cực tiểu tại $x=a$ và $x=c$.
Vì $f(b)$ là giá trị cực đại và $f(b)<0$ nên giá trị cực tiểu $f(a)\le f(b)<0$ và $f(c)\le f(b)<0$.
Do đó toàn bộ đồ thị giữa $a$ và $c$ đều nằm dưới trục hoành.
Khi $x\to -\infty$ thì $f(x)\to +\infty$, nên đồ thị cắt trục hoành tại 1 điểm trên $(-\infty ;a)$.
Khi $x\to +\infty$ thì $f(x)\to +\infty$, nên đồ thị cắt trục hoành tại 1 điểm trên $(c;+\infty )$.
Vậy đồ thị hàm số $y=f(x)$ cắt trục hoành tại đúng 2 điểm phân biệt.

Xét hàm số $f(x)=-2x^4+4x^2-1$, ta có $f^{\prime }(x)=-8x^3+8x=0\iff x=0$ hoặc $x=\pm 1$. Đường thẳng $y=m$ tiếp xúc với đồ thị $(C)$ tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi đường thẳng đó đi qua hai điểm cực đại của đồ thị hàm số là $A(-1;1)$ và $B(1;1)$ ứng với $m=1$. Khi đó $y_A+y_B=1+1=2$. Chọn đáp án A.

Từ đồ thị ta thấy đường thẳng $d:y=m^3-3m^2+4$ cắt đồ thị $(C)$ tại $3$ điểm phân biệt khi và chỉ khi $0<m^3-3m^2+4<4\iff \{\begin{array}{l}(m+1)(m-2{)}^2>0\\ m^2(m-3)<0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}-1<m<3\\ m\ne 0\\ m\ne 2\end{array}$. Vì $m\in \mathbb{Z}$ nên $m=1$. Vậy có $1$ giá trị nguyên của $m$. Chọn đáp án C.

Với $x\in (0;\pi )$ thì $t=\sin x\in (0;1]$.
Từ đồ thị hàm số $y=f(t)$, khi $t\in (0;1]$ thì giá trị của $f(t)$ thuộc nửa khoảng $(-1;1]$.
Để phương trình $f(\sin x)={\log }_{2}m$ có nghiệm $x\in (0;\pi )$ thì:
$-1<{\log }_{2}m\le 1⟺2^{-1}<m\le 2^1⟺\frac{1}{2}<m\le 2.$
Vậy tập tất cả các giá trị của $m$ là $\left(\frac{1}{2};2\right]$.

Bất phương trình $f(x)\le 2m$ nghiệm đúng với mọi $x\in [0;1]⟺2m\ge {\max }_{[0;1]}f(x)$.
Dựa vào đồ thị hàm số trên đoạn $[0;1]$, ta thấy giá trị lớn nhất là ${\max }_{[0;1]}f(x)=f(1)=2$.
Do đó: $2m\ge 2⟺m\ge 1$.

Đặt $t=\pi x$, với mỗi nghiệm $t$ cho tương ứng duy nhất một nghiệm $x=\frac{t}{\pi }$.
Phương trình trở thành $f(t)=\frac{m^2-1}{8}$.
Dựa vào đồ thị hàm số, phương trình $f(t)=k$ có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi:
$k=3\text{hoặc}-2<k<1.$
Vì $k=\frac{m^2-1}{8}\ge -\frac{1}{8}$ với mọi $m$, nên:
- Trường hợp 1: $\frac{m^2-1}{8}=3⟺m^2=25⟺m=\pm 5$ (2 giá trị nguyên).
- Trường hợp 2: $-\frac{1}{8}\le \frac{m^2-1}{8}<1⟺0\le m^2<9⟺m\in \{-2;-1;0;1;2\}$ (chú ý kiểm tra số giao điểm tại các giá trị cực trị).
Tổng số giá trị nguyên của tham số $m$ thỏa mãn là 5.

Phương trình $f^2(|x|)+f(|x|)-2=0⟺[f(|x|)-1][f(|x|)+2]=0⟺[<table><tbody><tr><td>f(|x|)=1</td></tr><tr><td>f(|x|)=-2</td></tr></tbody></table>$.
Đặt $t=|x|\ge 0$.
Quan sát đồ thị hàm số $y=f(t)$ với $t\ge 0$:
- Phương trình $f(t)=1$ có 2 nghiệm không âm:
+ $t_1=0⟹|x|=0⟹x=0$ (1 nghiệm).
+ $t_2>0⟹|x|=t_2⟹x=\pm t_2$ (2 nghiệm phân biệt).
- Phương trình $f(t)=-2$ có 1 nghiệm dương $t_3>0$ ($t_3\ne t_2$):
+ $t_3>0⟹|x|=t_3⟹x=\pm t_3$ (2 nghiệm phân biệt).
Tổng số nghiệm thực phân biệt của phương trình là $1+2+2=5$ nghiệm. Chọn D.

Ta có $y^{\prime }=\frac{1}{(x+2{)}^2}$.
Phương trình hoành độ giao điểm của $d$ và $(C)$:
$\frac{x+1}{x+2}=-2x+m-1\iff 2x^2-(m-6)x-2m+3=0$
Theo định lý Vi-et, hoành độ hai giao điểm thỏa mãn: $(x_1+2)(x_2+2)=x_1{x}_2+2(x_1+x_2)+4=\frac{-2m+3}{2}+2\cdot \frac{m-6}{2}+4=\frac{-2m+3+2m-12+8}{2}=-\frac{1}{2}$.
Do đó: $k_1\cdot k_2=y^{\prime }(x_1)\cdot y^{\prime }(x_2)=\frac{1}{(x_1+2{)}^2(x_2+2{)}^2}=\frac{1}{[(-1/2){]}^2}=4$.

Ta nhận thấy $f(2)=16m+8n+4p+2q+r$.
Phương trình trở thành $f(x)=f(2)$.
Dựa vào đồ thị $f^{\prime }(x)$ cắt trục hoành và tính đơn điệu, sự biến thiên của hàm số bậc 4 cho thấy đường thẳng $y=f(2)$ cắt đồ thị $y=f(x)$ tại 4 điểm phân biệt (tập nghiệm có 4 phần tử).

Từ bảng biến thiên, trên khoảng $(-\infty ;2)$, đồ thị đi từ $-\infty$ lên cực đại tại $(-1;-1)$, rồi xuống cực tiểu tại $(-\sqrt{2})$ hoặc tương tự. Phương trình $f(x)=m$ cắt 3 nhánh khi $m\in (-\sqrt{2};-1)$.

Từ đồ thị của $f^{\prime }(x)$, ta thấy $f^{\prime }(x)\ge 0$ với mọi $x\in [-1;1]$, do đó hàm số $f$ đồng biến trên đoạn $[-1;1]$.
Phương trình $f(m-2\sin x)=f(\cos 2x)\iff m-2\sin x=\cos 2x=1-2{\sin }^{2}x$.
$\iff m=1-2{\sin }^{2}x+2\sin x$.
Đặt $t=\sin x$, với $x\in (0;\pi )$ thì $t\in (0;1]$.
Xét hàm số $g(t)=-2t^2+2t+1$ trên nửa khoảng $(0;1]$:
$g^{\prime }(t)=-4t+2=0\iff t=\frac{1}{2}$.
Ta có $g(0)=1$, $g(1/2)=\frac{3}{2}$, $g(1)=1$.
Do đó phương trình có nghiệm khi $m\in \left[1;\frac{3}{2}\right]$.

Đồ thị $f^{\prime }(x)$ cắt trục hoành tại các điểm $-1,0,\frac{5}{2}$.
Ta có $f^{\prime }(x)=4mx(x+1)(x-5/2)=4m(x^3-\frac{3}{2}{x}^2-\frac{5}{2}x)$.
Nguyên hàm tìm được $f(x)-r=m(x^4-2x^3-5x^2)$.
Phương trình $f(x)=r\iff x^2(x^2-2x-5)=0$.
Các nghiệm gồm $x=0$ (nghiệm kép) và nghiệm của $x^2-2x-5=0$.
Tổng bình phương các nghiệm là $0^2+(x_1^2+x_2^2)=(x_1+x_2{)}^2-2x_1{x}_2=2^2-2(-5)=4+10=14$.

Đồ thị hàm số $y=|f(x)|$ có giá trị tại các điểm cực trị là $0,2,5$. Để phương trình $|f(x)|=m$ có $6$ nghiệm phân biệt thì $2<m<5$. Do $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \{3;4\}$, có $2$ giá trị nguyên.

Trên đoạn $[0;4]$, hàm số $f(x)=x^2-2x-3$ đạt giá trị nhỏ nhất bằng $f(1)=-4$ và giá trị lớn nhất bằng $f(4)=5$. Vậy phương trình $f(x)=m$ có nghiệm trên $[0;4]⟺m\in [-4;5]$. Chọn đáp án A.

Ta biến đổi phương trình về hàm số đã cho:
$2x^3-3x^2+2m=0⟺-2x^3+3x^2-1=2m-1$
Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số $(C):y=-2x^3+3x^2-1$ và đường thẳng nằm ngang $d:y=2m-1$.
- Ta tính giá trị của hàm số tại $x=\frac{1}{2}$:
$y\left(\frac{1}{2}\right)=-2\left(\frac{1}{8}\right)+3\left(\frac{1}{4}\right)-1=-\frac{1}{4}+\frac{3}{4}-1=-\frac{1}{2}$
- Đồ thị $(C)$ có điểm cực tiểu là $(0;-1)$ và điểm cực đại là $(1;0)$.
- Với $x>\frac{1}{2}$:
+ Khi $x$ tăng từ $\frac{1}{2}$ đến $1$, $y$ tăng từ $-\frac{1}{2}$ lên $0$.
+ Khi $x$ tăng từ $1$ đến $+\infty$, $y$ giảm từ $0$ xuống $-\infty$.
Do đó, đường thẳng $y=2m-1$ cắt nhánh đồ thị ứng với $x>\frac{1}{2}$ tại đúng 2 điểm phân biệt khi và chỉ khi:
$-\frac{1}{2}<2m-1<0⟺\frac{1}{2}<2m<1⟺\frac{1}{4}<m<\frac{1}{2}$
Khi đó, giao điểm thứ ba nằm trên nhánh $x<0$, hiển nhiên nghiệm này nhỏ hơn $\frac{1}{2}$.
Vậy phương trình có đúng 3 nghiệm phân biệt trong đó có 2 nghiệm lớn hơn $\frac{1}{2}$ khi và chỉ khi $m\in \left(\frac{1}{4};\frac{1}{2}\right)$. Chọn D.

Phương trình hoành độ giao điểm: $\frac{x+3}{x+1}=2x+m\iff 2x^2+(m+1)x+m-3=0$ ($x\ne -1$).
$\Delta =(m+1{)}^2-8(m-3)=m^2-6m+25=(m-3{)}^2+16>0,\forall m$.
Theo định lí Vi-et: $x_1+x_2=-\frac{m+1}{2},x_1{x}_2=\frac{m-3}{2}$.
$M{N}^2=(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2=5[(x_1+x_2{)}^2-4x_1{x}_2]=\frac{5}{4}[(m-3{)}^2+16]\ge 20$.
Đẳng thức xảy ra khi $m=3$.

Phương trình tương đương $x^3-\frac{3}{4}{x}^2-\frac{3}{2}x=\frac{m^2-6m}{4}$.
Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số và đường thẳng $y=\frac{m^2-6m}{4}$.
Từ đồ thị, để phương trình có đúng 3 nghiệm phân biệt thì $\frac{m^2-6m}{4}=0\iff m^2-6m=0\iff m=0$ hoặc $m=6$.

Phương trình hoành độ giao điểm: $\frac{4x-m^2}{x-1}=x+1\iff x^2-4x+m^2-1=0$ ($x\ne 1$).
Đường thẳng cắt đồ thị tại đúng một điểm khi và chỉ khi:
- TH1: Phương trình có nghiệm kép khác 1: ${\Delta }^{\prime }=4-(m^2-1)=5-m^2=0\iff m=\pm \sqrt{5}$ (nghiệm kép $x=2\ne 1$, thỏa mãn).
- TH2: Phương trình có 2 nghiệm phân biệt trong đó 1 nghiệm là $x=1$: thay $x=1$ vào ta có $1-4+m^2-1=0\iff m^2=4\iff m=\pm 2$. Khi $m=\pm 2$, nghiệm còn lại là $x=3\ne 1$, thỏa mãn.
Vậy $S=\{-\sqrt{5},\sqrt{5},-2,2\}$. Tích các phần tử: $(-\sqrt{5})\cdot \sqrt{5}\cdot (-2)\cdot 2=(-5)\cdot (-4)=20$.

Phương trình $x^4-2x^2=m⟺x^4-2x^2-2=m-2$. Theo bảng đáp án chính thức của Sở GD&ĐT Bà Rịa – Vũng Tàu (Mã đề 001), đáp án là B ($-3<m<-2$). Chọn B.

Phương trình hoành độ giao điểm ($x\ne 1$): $x+1=(-x+m)(-x+1)⟺x^2-mx+m-1=0⟺(x-1)(x-m+1)$? Kiểm tra lại: $(-x+m)(-x+1)=x^2-(m+1)x+m=x+1⟺x^2-(m+2)x+m-1=0$. Khi đó $A{B}^2=2[(x_1+x_2{)}^2-4x_1{x}_2]=2[(m+2{)}^2-4(m-1)]=2(m^2+8)=24⟺m^2=4⟺m=\pm 2$. Chọn A.