Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ phẳng, tích vô hướng (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra từng mệnh đề với quy tắc ba điểm trong tứ diện $ABCD$:
- A: $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{DB}\ne \overrightarrow{BD}$, sai.
- B: $\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BC}$... tính lại: $\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BC}$. Theo quy tắc ba điểm, $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$ nên $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BC}$ không đơn giản thành $\overrightarrow{AB}$; thực chất $\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BC}$, không bằng $\overrightarrow{AB}$ (đúng phải là $\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}$... kiểm tra: $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$ nên $\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}$, còn $-\overrightarrow{CB}=+\overrightarrow{BC}$, do đó B sai).
- C: $\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$, đúng theo quy tắc ba điểm.
- D: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}\ne \overrightarrow{DA}$, sai.
Vậy mệnh đề đúng là C, trùng với đáp án nguồn (Mã đề 209, Câu 5: C).

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, ta có $B{B}^{\prime }\parallel D{D}^{\prime }$ và $B{B}^{\prime }=D{D}^{\prime }$, do đó tứ giác $BD{D}^{\prime }{B}^{\prime }$ là hình bình hành. Suy ra $\overrightarrow{B^{\prime }{D}^{\prime }}=\overrightarrow{BD}$ (vì $\overrightarrow{B^{\prime }{D}^{\prime }}=\overrightarrow{B^{\prime }B}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{D{D}^{\prime }}=\overrightarrow{BD}$ do $\overrightarrow{B^{\prime }B}+\overrightarrow{D{D}^{\prime }}=\vec{0}$). Vậy véc-to cần tìm là $\overrightarrow{BD}$, khớp với đáp án nguồn là C.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, đáy $ABCD$ là hình chữ nhật nên $\overrightarrow{CD}=-\overrightarrow{DC}=-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BA}$. Xét các phương án: $\overrightarrow{B{A}^{\prime }}$ có thành phần theo phương cao (khác $\overrightarrow{CD}$); $\overrightarrow{DC}=-\overrightarrow{CD}$; $\overrightarrow{D^{\prime }{C}^{\prime }}=\overrightarrow{DC}=-\overrightarrow{CD}$; còn $\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CD}$ vì $BA$ và $CD$ là hai cạnh đối song song cùng chiều. Vậy đáp án là D, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1214, câu 7: D).

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, đáy $ABCD$ là hình chữ nhật nên $AB\parallel CD$ và $AB=CD$. Xét hướng: theo thứ tự đỉnh $A\to B\to C\to D$, vectơ $\overrightarrow{CD}$ đi từ $C$ đến $D$ (cùng chiều với $\overrightarrow{AB}$, tức ngược chiều $\overrightarrow{BA}$... kiểm tra lại: $\overrightarrow{BA}$ đi từ $B$ đến $A$, cùng hướng với $\overrightarrow{CD}$ vì cả hai đều là vectơ chỉ theo cạnh song song và cùng chiều trong hình chữ nhật $ABCD$). Thật vậy, $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{BA}$ do $ABCD$ là hình bình hành (hình chữ nhật) nên $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{BA}$. Kiểm tra các phương án khác: $\overrightarrow{B{A}^{\prime }}$ có thành phần theo phương cao (không bằng $\overrightarrow{CD}$); $\overrightarrow{DC}=-\overrightarrow{CD}$ (ngược hướng); $\overrightarrow{D^{\prime }{C}^{\prime }}=\overrightarrow{DC}=-\overrightarrow{CD}$ (ngược hướng). Vậy đáp án đúng là C, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1211, câu 2: C).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đoạn thẳng AB cho trước, ta có thể tạo ra hai véc tơ: véc tơ $\overrightarrow{AB}$ (điểm đầu A, điểm cuối B) và véc tơ $\overrightarrow{BA}$ (điểm đầu B, điểm cuối A). Cả hai đều khác $\vec{0}$ vì A ≠ B. Vậy có 2 véc tơ khác $\vec{0}$, khớp với đáp án nguồn là C.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác đều $ABC$ cạnh 2 nên $AB=AC=2$ và góc $\widehat{BAC}=60^{\circ }$. Do đó $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=AB\cdot AC\cdot \cos 60^{\circ }=2\cdot 2\cdot \frac{1}{2}=2$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã đề 102, câu 12: A).

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác đều $ABC$ có $AB=AC=2$ và góc $\widehat{BAC}=60^{\circ }$. Khi đó:
$$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=AB\cdot AC\cdot \cos 60^{\circ }=2\cdot 2\cdot \frac{1}{2}=2.$$
Vậy $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=2$, khớp với đáp án 10.B trong bảng đáp án. Đáp án: B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đoạn thẳng AB cho trước, ta có thể tạo ra hai véc tơ: $\overrightarrow{AB}$ (điểm đầu A, điểm cuối B) và $\overrightarrow{BA}$ (điểm đầu B, điểm cuối A). Cả hai đều khác $\vec{0}$ vì A ≠ B. Vậy có 2 véc tơ khác $\vec{0}$, đáp án C. Kết quả này trùng với đáp án nguồn (9.C).

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình bình hành $ABCD$ ta có $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$, $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$, $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{BA}$ (các cặp vectơ đối nhau bằng nhau). Riêng $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{BD}$ là hai đường chéo, chúng có phương khác nhau nên $\overrightarrow{AC}\ne \overrightarrow{BD}$. Vậy mệnh đề sai là A.

(AI giải đề cho tôi)
Tích vô hướng: $\vec{a}.\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos 45^{\circ }=6\cdot 7\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=21\sqrt{2}$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
(Giải thích do AI cung cấp, không có lời giải trong nguồn.) Trong hình bình hành $ABCD$ theo hình vẽ ($A$ trên trái, $B$ trên phải, $D$ dưới trái, $C$ dưới phải), ta có $AD\parallel BC$ và $AD=BC$, hai vectơ $\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{BC}$ cùng hướng nên $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$. Các đáp án còn lại sai: $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{BD}$ là hai đường chéo khác hướng; $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$ ngược hướng (thực tế $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$); $\overrightarrow{BA}$ và $\overrightarrow{DC}$ cũng ngược hướng. Kết quả khớp bảng đáp án chính thức (mã đề 102, Phần 1, Câu 3 = B, trang 7).

(AI giải đề cho tôi)
Tích vô hướng: $\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos (\vec{a};\vec{b})=8\cdot 9\cdot \cos 150^{\circ }=72\cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=-36\sqrt{3}$. Vậy đáp án D, trùng với đáp án nguồn (mã đề 102, Câu 4: D).

(AI giải đề cho tôi)
Hình chữ nhật $ABCD$ có $AB=8$, $AD=6$ nên $BC=AD=6$. Tam giác $ABC$ vuông tại $B$ nên theo định lí Pythagoras: $AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{100}=10$. Vậy $\left|\overrightarrow{AC}\right|=10$, khớp với đáp án A trong bảng đáp án (mã đề 102, câu 5: A).

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình bình hành $ABCD$: $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$ (cạnh song song cùng chiều) nên B đúng; $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ nên C đúng; $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{BA}$ (cùng bằng $-\overrightarrow{AB}$) nên D đúng. Còn $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{BD}$ là hai đường chéo có phương khác nhau nên $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BD}$ sai. Đáp án A, khớp đáp án nguồn (mã 101, Câu 3 = A).

(AI giải đề cho tôi)
Tích vô hướng: $\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos 45^{\circ }=6\cdot 7\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=21\sqrt{2}$. Đáp án B, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Hình chữ nhật $ABCD$ có $AB=5$, $AD=12$, góc $A$ vuông nên tam giác $ABD$ vuông tại $A$. Theo định lí Pythagoras: $B{D}^2=A{B}^2+A{D}^2=5^2+12^2=25+144=169$, suy ra $\left|\overrightarrow{BD}\right|=BD=13$. Vậy đáp án D, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Theo quy tắc ba điểm: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$ luôn đúng với mọi ba điểm $A,B,C$. Các phương án khác sai: B đúng phải là $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB}$; C: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}$ không bằng $\overrightarrow{AC}$; D: $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\ne \overrightarrow{CA}$. Khớp đáp án nguồn: A.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình bình hành $ABCD$, theo quy tắc hình bình hành: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$ (đường chéo từ $A$ đến $C$). Vậy đáp án A đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Hình vuông $ABCD$ cạnh 2, tam giác $ABC$ vuông tại $B$ với $AB=2$, $AC=2\sqrt{2}$, góc $BAC=45°$. Do đó $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=|AB|\cdot |AC|\cos 45°=2\cdot 2\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=4$. Cách khác: $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}\cdot (\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC})=|AB{|}^2+0=4$ vì $\overrightarrow{AB}\perp \overrightarrow{BC}$.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình thang $ABCD$ (các đỉnh theo thứ tự), hai cạnh $AD$ và $BC$ song song. Vectơ $\overrightarrow{AD}$ đi từ $A$ đến $D$ và vectơ $\overrightarrow{BC}$ đi từ $B$ đến $C$ cùng chiều với chiều đi quanh tứ giác, nên chúng cùng hướng. Do đó A sai, B đúng. C và D sai vì hình thang không có $AD=CB$ (ngược hướng) hay $AD=AB$ (không song song).