Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ/tọa độ Oxyz (Toán học Lớp 12)

Cho hình chóp $S.ABC$. Trên cạnh $SC$, lấy điểm $I$ sao cho $CI=2IS$. Trên cạnh $AB$, lấy điểm $J$ sao cho $AJ=2JB$. Biết rằng $\overrightarrow{IJ}=\frac{1}{3}\left(x\overrightarrow{SC}+y\overrightarrow{AB}+z\overrightarrow{AC}\right)$, với $x;y;z\in \mathbb{Z}$. Giá trị của biểu thức $T=x+y+z$ bằng bao nhiêu?

Cho hình lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$, tam giác $A^{\prime }BC$ đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với $(ABC)$. Tính $\overrightarrow{A^{\prime }B}\cdot \overrightarrow{B^{\prime }C}$.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A(2;1;3),B(-6;3;3)$. Gọi $M(a;b;c)$ là điểm thỏa mãn $M{A}^2+M{B}^2=2M{O}^2$. Giá trị nhỏ nhất của $T=a^2+b^2+c^2$ bằng

Hệ thống cáp treo gồm hai trụ lớn và một đường cáp nối thẳng giữa hai trụ đó (coi như độ cong không đáng kể), được đặt trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$. Một cabin cáp treo xuất phát từ điểm $O(0;0;0)$ thuộc trụ thứ nhất và chuyển động thẳng đều theo đường cáp đến điểm $A(896;2025;189)$ thuộc trụ thứ hai với tốc độ là $7,4\text{ (m/s)}$ (đơn vị trên mỗi trục là mét).

Trong không gian $Oxyz$, cho tam giác $ABC$ có $A(1;-1;2)$, $B(-2;0;3)$, $C(0;1;-2)$. Gọi $M(a;b;c)$ là điểm thuộc mặt phẳng $(Oxy)$ sao cho biểu thức $S=\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}-2\overrightarrow{MB}\cdot \overrightarrow{MC}+5\overrightarrow{MC}\cdot \overrightarrow{MA}$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị $T=8a+8b+2c$.

Hệ thống cáp treo gồm hai trụ lớn và một đường cáp nối thẳng giữa hai trụ đó (coi như độ cong không đáng kể), được đặt trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$. Một cabin cáp treo xuất phát từ điểm $O(0;0;0)$ thuộc trụ thứ nhất và chuyển động thẳng đều theo đường cáp đến điểm $A(896;2025;189)$ thuộc trụ thứ hai với tốc độ là $7,4\text{ (m/s)}$ (đơn vị trên mỗi trục là mét).

Trong không gian $Oxyz$, cho tam giác $ABC$ biết $A(1;-1;2)$, $B(-2;0;3)$, $C(0;1;-2)$. Gọi $M(a;b;c)$ là điểm thuộc mặt phẳng $(Oxy)$ sao cho biểu thức $S=\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MB}\cdot \overrightarrow{MC}+3\overrightarrow{MC}\cdot \overrightarrow{MA}$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị của biểu thức $T=12a+12b+c$.

Cho lăng trụ tam giác $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$. Đặt $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\vec{a},\overrightarrow{AB}=\vec{b},\overrightarrow{AC}=\vec{c}$. Gọi $I$ là điểm thuộc $C{C}^{\prime }$ sao cho $\overrightarrow{C^{\prime }I}=\frac{1}{3}\overrightarrow{C^{\prime }C}$, điểm $G$ thỏa mãn $\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{G{A}^{\prime }}+\overrightarrow{G{B}^{\prime }}+\overrightarrow{G{C}^{\prime }}=\vec{0}$. Biểu diễn véc tơ $\overrightarrow{IG}$ qua các véc tơ $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là khẳng định đúng?

Một kho chứa hàng có dạng hình lăng trụ đứng $OAFPE.CBGQH$ với $OAFE$ là hình chữ nhật và $EFP$ là tam giác cân tại $P$. Biết $OA=4\text{ m}$; $AB=5\text{ m}$; $HC=3\text{ m}$; độ dốc của mái nhà, tức là số đo góc nhị diện $[Q,FG,H]$ bằng $45^{\circ }$. Người ta mô hình hoá nhà kho bằng cách chọn hệ trục tọa độ có gốc tọa độ là điểm $O$ và các trục tọa độ tương ứng như hình vẽ dưới đây (đơn vị trên mỗi trục là $1\text{ m}$). Khi đó:

Một kho chứa hàng có dạng hình lăng trụ đứng $OAFPE.CBGQH$ với $OAFE$ là hình chữ nhật và $EFP$ là tam giác cân tại $P$. Biết $OA=4\text{ m}$; $AB=6\text{ m}$; $HC=5\text{ m}$; độ dốc của mái nhà, tức là số đo góc nhị diện $[Q,FG,H]$ bằng $45^{\circ }$. Người ta mô hình hóa nhà kho bằng cách chọn hệ trục tọa độ có gốc tọa độ là điểm $O$ và các trục tọa độ tương ứng như hình vẽ dưới đây (đơn vị trên mỗi trục là $1\text{ m}$). Khi đó:

Lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$. Gọi $M,N$ là các điểm xác định bởi $\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}$ và $\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{A{A}^{\prime }}-\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}$. Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?

Trong không gian $Oxyz$, cho hai vectơ $\vec{u}(1;1;-2)$ và $\vec{v}(1;0;m)$. Gọi $S$ là tập hợp các giá trị $m$ để $\cos (\vec{u},\vec{v})=\frac{\sqrt{6}}{6}$. Tổng các phần tử của $S$ là

Cho hai điểm $A,B$ là hai điểm biểu diễn hình học số phức theo thứ tự $z_1,z_2$ khác 0 và thỏa mãn đẳng thức $z_1^2+z_2^2=z_1{z}_2$. Hỏi ba điểm $O,A,B$ tạo thành tam giác gì? ($O$ là gốc tọa độ). Chọn phương án đúng và đầy đủ nhất.

Cho hai số phức $z_1,z_2$ khác $0$ thỏa mãn $\frac{z_1}{z_2}$ là số thuần ảo và $|z_1-z_2|=10$. Giá trị lớn nhất của $|z_1|+|z_2|$ bằng

Trong không gian tọa độ $Oxyz$, cho các điểm $A(1;3;2),B(-2;-1;4)$ và hai điểm $M,N$ thay đổi trên mặt phẳng $(Oxy)$ sao cho $MN=1$. Giá trị nhỏ nhất của $A{M}^2+B{N}^2$ là

Xét các khẳng định sau:
i) $|z_1-z_2{|}^2=(z_1-z_2{)}^2$ $\forall z_1,z_2\in \mathbb{C}$.
ii) $|z_1-z_2{|}^2=(z_1-z_2)(\overline{z_1-z_2})$ $\forall z_1,z_2\in \mathbb{C}$.
iii) $|z_1{|}^2+|z_2{|}^2=2{\left|\frac{z_1+z_2}{2}\right|}^2+\frac{1}{2}|z_1-z_2{|}^2$ $\forall z_1,z_2\in \mathbb{C}$.
Số khẳng định đúng là

Cho số phức $z=a+bi(a,b\in \mathbb{R})$ thỏa mãn $z-2+|z|=-4i$. Tính $S=a+b$.

Trên tập hợp số phức, phương trình $z^2+2z+5=0$ có hai nghiệm $z_1,z_2$, trong đó $z_2$ là số phức có phần ảo dương. Môđun của số phức $\omega =z_1+i{z}_2+z_1{z}_2$ là

Xét hai chiếc khinh khí cầu bay lên từ cùng một điểm trong cùng một ngày. Lúc $9$ giờ sáng, chiếc thứ nhất đang ở vị trí $A$ cách điểm xuất phát $2\text{ km}$ về phía nam và $1\text{ km}$ về phía đông, đồng thời cách mặt đất $0,5\text{ km}$. Chiếc thứ hai đang ở vị trí $B$ nằm cách điểm xuất phát $1\text{ km}$ về phía bắc và $1,5\text{ km}$ về phía tây đồng thời cách mặt đất $0,8\text{ km}$. Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ với gốc $O$ đặt tại điểm xuất phát của hai khinh khí cầu, mặt phẳng $(Oxy)$ trùng với mặt đất, trục $Ox$ hướng về phía nam, trục $Oy$ hướng về phía đông và trục $Oz$ hướng thẳng đứng lên trời (như hình vẽ). Lấy đơn vị đo trên mỗi trục là $\text{km}$.