Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ/tọa độ Oxyz (Toán học Lớp 12)

Xét hai số phức $z_1$ và $z_2$ thỏa mãn $|z_1|=3;|z_2|=2$ và $|z_1-z_2|=\sqrt{13}$. Giá trị lớn nhất của $|z_1+2z_2+3i|$ bằng:

Trong không gian $Oxyz$, cho hình nón $(\mathcal{N})$ có đỉnh $S(2;4;6)$, đáy là hình tròn tâm $I(a;b;c)$, $A(2;4;8)$ và $B(2;8;6)$ là các điểm thuộc các đường sinh của hình nón $(\mathcal{N})$, điểm $C(8;4;6)$ nằm trên đường tròn đáy. Tính giá trị $a+2b+3c$

Cho $z_1;z_2$ là hai số phức thỏa mãn $|zi-(2+i)|=2$. Biết $|z_1-z_2|=2$, tính giá trị biểu thức $P=|z_1+z_2-2+4i|$.

Số phức $z$ thỏa $|z+1-2i|=|z+3+4i|$ và $\frac{z-2i}{\bar{z}+i}$ là một số thuần ảo. Khi đó $|z|$ bằng:

Một chiếc máy quay phim có trọng lượng $300\text{ N}$ được đặt trên một giá đỡ ba chân với điểm đặt $E(0;0;6)$ và các điểm tiếp xúc với mặt đất của ba chân lần lượt là $A_1(0;1;0)$, $A_2\left(\frac{\sqrt{3}}{2};-\frac{1}{2};0\right)$, $A_3\left(-\frac{\sqrt{3}}{2};-\frac{1}{2};0\right)$ (Hình bên dưới). Giả sử ${\vec{F}}_1=(a;b;c)$, khi đó $a+3b-c$ bằng bao nhiêu?

Trong không gian $Oxyz$, cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có cạnh bằng $1$ (tham khảo hình vẽ).

Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có $AB=a,SA=a\sqrt{2}$. Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $SCD$. Tính cosin góc giữa đường thẳng $BG$ với đường thẳng $SA$ (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Trong không gian $Oxyz$, cho tam giác $ABC$ có $A(1;2;2)$, $B(-2;1;-3)$, $C(1;0;-5)$. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

Một kho chứa hàng có dạng hình lăng trụ đứng $OAFME.CBGNH$ với $OAFE$ là hình chữ nhật, $P$ là điểm nằm trên đoạn thẳng $OE$ sao cho $OP=\frac{1}{5}OE$ và $Q$ là trung điểm của đoạn thẳng $GN$. Người ta mô hình hóa bằng cách chọn hệ trục toạ độ có gốc toạ độ là điểm $O$ và các trục toạ độ tương ứng như hình vẽ dưới đây (đơn vị độ dài trên mỗi trục là 1m). Biết $A(6;0;0)$, $C(0;20;0)$, $E(0;0;5)$, $M(3;0;8)$. Khi đó:

Một vật có trọng lượng 300N được treo bằng ba sợi dây cáp không dãn có chiều dài bằng nhau, mỗi dây cáp có một đầu được gắn tại một trong các điểm $P(-2;0;0)$, $Q(1;\sqrt{3};0)$, $R(1;-\sqrt{3};0)$ còn đầu kia gắn với vật tại điểm $S(0;0;-2\sqrt{3})$ như hình vẽ (mỗi đơn vị trên trục tương ứng với 1N). Gọi $\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2},\overrightarrow{F_3}$ tương ứng là lực căng trên các sợi dây cáp $RS,QS$ và $PS$. Giá trị $|\overrightarrow{F_1}|+|\overrightarrow{F_2}|+|\overrightarrow{F_3}|$ bằng bao nhiêu Niu-tơn? (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)

Cơn bão Yagi gây thiệt hại nghiêm trọng về người và tài sản cho nước ta, trong đó nặng nề nhất là tại thôn Làng Nủ, xã Phúc Khánh, huyện Bảo Yên, tỉnh Lào Cai, lũ quét và sạt lở đất đã vùi lấp $40$ ngôi nhà. Cả nước đã chung tay ủng hộ và xây dựng lại nhà sàn cho người dân Làng Nủ theo thiết kế như hình vẽ dưới đây. Giả sử áp dụng hệ trục tọa độ $Oxyz$ như hình vẽ (đơn vị trên các trục là mét). Xét một bên của mái nhà gồm có một hình chữ nhật $CDFE$ và một hình thang $ADFG$ với các điểm $G(6;-6;6)$; $C(3;4;8)$; $F(4;-4;7)$ và điểm $I$ là trung điểm $CE$. Biết góc giữa hai véctơ $\overrightarrow{DC}$ và $\overrightarrow{AB}$ bằng $a^{\circ }$. Tìm $a$ (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Trong không gian $Oxyz$, cho hình lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có điểm $A$ trùng với gốc tọa độ $O$, các điểm $B(2;0;0)$, $C(0;3;0)$ và $B^{\prime }(0;0;4)$ (tham khảo hình vẽ).

Câu 18. Trong không gian $Oxyz$, cho các vectơ $\vec{a}=(5;3;-2)$ và $\vec{b}=(m;-1;m+3)$. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của $m$ để góc giữa hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ là góc tù?

Câu 19. Cho tứ diện $ABCD$ đều cạnh bằng $a$. Gọi $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $BCD$. Khi đó $\overrightarrow{OC}\cdot \overrightarrow{AB}$ bằng bao nhiêu?

Câu 3. Một chiếc xe đang kéo căng sợi dây cáp $AB$ trong công trường xây dựng, trên đó đã thiết lập hệ trục tọa độ $Oxyz$ như hình với độ dài đơn vị trên các trục bằng $1\text{ m}$.

Gọi tọa độ của $\overrightarrow{AB}=(a,b,c)$ và $M(m;0;n)$.

Câu 4. Cho tứ diện đều $ABCD$. Gọi $M,N,P$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB,BC,AD$; $G$ là trọng tâm tam giác $BCD$, $\alpha$ là góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{MG}$ và $\overrightarrow{NP}$. Hãy tính $\cos \alpha$ (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)

Một căn phòng có dạng là một hình hộp chữ nhật, được mô hình hóa và gắn hệ trục tọa độ $Oxyz$ như hình vẽ sau:

Người ta thiết kế một bóng đèn được đấu từ công tắc điện tại vị trí $M$ kéo đến điểm $N$ rồi nối đến bóng đèn. Độ dài dây cấp điện cho bóng đèn tối thiểu bằng $29\text{ (m)}$.

Một kho chứa hàng có dạng hình lăng trụ đứng $ABFPE.DCGQH$ với $ABFE$ là hình chữ nhật và $EFP$ là tam giác cân tại $P$. Gọi $T$ là trung điểm của $DC$. Các kích thước của kho chứa lần lượt là $AB=6$ m; $AE=5$ m; $AD=8$ m; $QT=7$ m. Người ta mô hình hoá nhà kho bằng cách chọn hệ trục toạ độ có gốc toạ độ là điểm $O$ thuộc đoạn $AD$ sao cho $OA=2$ m và các trục toạ độ tương ứng như hình vẽ dưới đây. Khi đó:

Một kho chứa hàng có dạng hình lăng trụ đứng $ABFPE.DCGQH$ với $ABFE$ là hình chữ nhật và $EFP$ là tam giác cân tại $P$. Gọi $T$ là trung điểm của $DC$. Các kích thước của kho chứa lần lượt là $AB=6\text{ m}$; $AE=5\text{ m}$; $AD=8\text{ m}$; $QT=7\text{ m}$. Người ta mô hình hoá nhà kho bằng cách chọn hệ trục toạ độ có gốc toạ độ là điểm $O$ thuộc đoạn $AD$ sao cho $OA=2\text{ m}$ và các trục toạ độ tương ứng như hình vẽ dưới đây.

Một nhà kho gồm nền nhà $OABC$, bốn bức tường và hai mái nhà đều là hình chữ nhật gắn trong hệ trục tọa độ $Oxyz$ như hình vẽ bên (đơn vị trên mỗi trục là mét).