Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Xác suất cổ điển (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Chia 15 số thành 3 nhóm theo số dư khi chia cho 3: nhóm dư 0 là {3,6,9,12,15}, nhóm dư 1 là {1,4,7,10,13}, nhóm dư 2 là {2,5,8,11,14}, mỗi nhóm 5 thẻ. Tổng 3 số chia hết cho 3 khi ba số cùng nhóm hoặc ba số thuộc ba nhóm khác nhau. Xấu: $C_{15}^3=455$. Thuận: $3C_5^3+5^3=30+125=155$. Vậy $P=\frac{155}{455}=\frac{31}{91}$, nên $b-a=91-31=60$.

(AI giải đề cho tôi)
Không gian mẫu: $n(\Omega )=C_{10}^5=252$.
a) $C_{10}^5=252$ → đúng.
b) $P(B)=\frac{C_7^5}{C_{10}^5}=\frac{21}{252}=\frac{1}{12}\ne \frac{5}{12}$ → sai.
c) Số cách chọn 3 nam và 2 nữ: $C_7^3\cdot C_3^2=35\cdot 3=105$, nên $P(C)=\frac{105}{252}=\frac{5}{12}\ne \frac{1}{84}$ → sai.
d) Ít nhất 2 nữ: 2 nữ 3 nam: $C_3^2{C}_7^3=105$; 3 nữ 2 nam: $C_3^3{C}_7^2=21$; tổng $126$ cách, $P(D)=\frac{126}{252}=\frac{1}{2}\ne \frac{1}{12}$ → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$n(\Omega )=C_{10}^5=252$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$P(B)=\frac{C_7^5}{C_{10}^5}=\frac{21}{252}=\frac{1}{12}\ne \frac{5}{12}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$P(C)=\frac{C_7^3{C}_3^2}{C_{10}^5}=\frac{105}{252}=\frac{5}{12}\ne \frac{1}{84}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$P(D)=\frac{C_3^2{C}_7^3+C_3^3{C}_7^2}{C_{10}^5}=\frac{105+21}{252}=\frac{1}{2}\ne \frac{1}{12}$.

(AI giải đề cho tôi)
Trong 18 thẻ từ 1 đến 18, chia theo số dư khi chia cho 3: mỗi lớp dư 0, dư 1, dư 2 đều có 6 thẻ. Tổng số cách bốc 3 thẻ: $C_{18}^3=816$. Trường hợp tổng chia hết cho 3: (1) ba thẻ cùng lớp dư: $3\cdot C_6^3=60$; (2) ba thẻ thuộc ba lớp khác nhau (dư 0,1,2): $6^3=216$. Số cách thuận lợi: $60+216=276$. Xác suất $P=\frac{276}{816}=\frac{23}{68}$ (tối giản, vì $\gcd (23,68)=1$). Vậy $a=23,b=68$, suy ra $2a-2b=46-136=-90$.

(AI giải đề cho tôi)
Không gian mẫu: $n(\Omega )=C_{10}^5=252$, nên ý a) sai (560 không đúng). b) $P(B)=\frac{C_7^5}{C_{10}^5}=\frac{21}{252}=\frac{1}{12}$, đúng. c) $P(C)=\frac{C_7^3\cdot C_3^2}{C_{10}^5}=\frac{35\cdot 3}{252}=\frac{105}{252}=\frac{5}{12}\ne \frac{19}{126}$, sai. d) Biến cố 'ít nhất 2 nữ': chọn 2 nữ 3 nam: $C_3^2{C}_7^3=3\cdot 35=105$; chọn 3 nữ 2 nam: $C_3^3{C}_7^2=21$; tổng $126$ cách, $P(D)=\frac{126}{252}=0,5$, đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$n(\Omega )=C_{10}^5=252\ne 560$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$P(B)=\frac{C_7^5}{C_{10}^5}=\frac{21}{252}=\frac{1}{12}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$P(C)=\frac{C_7^3{C}_3^2}{C_{10}^5}=\frac{105}{252}=\frac{5}{12}\ne \frac{19}{126}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Số cách có ít nhất 2 nữ: $C_3^2{C}_7^3+C_3^3{C}_7^2=105+21=126$, nên $P(D)=\frac{126}{252}=0,5$.

(AI giải đề cho tôi)
Trong 15 số từ 1 đến 15, chia theo số dư khi chia cho 3: mỗi lớp dư 0, dư 1, dư 2 đều có 5 số. Tổng số cách bốc 3 thẻ: $C_{15}^3=455$. Tổng chia hết cho 3 khi: (1) cả 3 thẻ cùng một lớp dư: $3\cdot C_5^3=30$; (2) ba thẻ thuộc ba lớp dư khác nhau: $5^3=125$. Số trường hợp thuận lợi: $30+125=155$. Vậy $P=\frac{155}{455}=\frac{31}{91}$, tức $a=31,b=91$ (phân số tối giản vì $\gcd (31,91)=1$). Do đó $2a+3b=62+273=335$.

Số cách xếp vị trí bất kỳ cho 11 chú chim là: $n(\Omega )=11!$. Gọi $A$ là biến cố: "Không có hai chú chim Công nào đứng cạnh nhau". Số cách xếp 6 chú chim gồm Vẹt và Hoàng Yến là: 6!. Vì 6 chú chim được xếp ở trên tạo ra 7 khoảng trống (5 khoảng giữa 2 chú chim và 2 khoảng ở vị trí hai đầu) nên chọn 5 trong 7 vị trí đó để xếp 5 chú chim Công vào có $A_7^5$ cách. Suy ra: $n(A)=6!\cdot A_7^5$. (0,25 điểm) Xác suất của biến cố $A$ là: $P(A)=\frac{n(A)}{n(\Omega )}=\frac{6!\cdot A_7^5}{11!}=\frac{1}{22}$. (0,25 điểm)

Số cách xếp vị trí bất kỳ cho 10 chú chim là: $n(\Omega )=10!$. Gọi $A$ là biến cố: "Không có hai chú chim Công nào đứng cạnh nhau". Số cách xếp 6 chú chim gồm Vẹt và Hoàng Yến là: $6!$. Vì 6 chú chim được xếp ở trên tạo ra 7 khoảng trống (5 khoảng giữa 2 chú chim và 2 khoảng ở vị trí hai đầu) nên chọn 4 trong 7 vị trí đó để xếp 4 chú chim Công vào có $A_7^4$ cách. Suy ra: $n(A)=6!\cdot A_7^4$. (0,25 điểm) Xác suất của biến cố $A$ là: $P(A)=\frac{n(A)}{n(\Omega )}=\frac{6!\cdot A_7^4}{10!}=\frac{1}{6}$. (0,25 điểm)

(AI giải đề cho tôi)
A thắng ở lượt 1: $\frac{9}{13}$. A thắng ở lượt 3: $\frac{4}{13}\cdot \frac{3}{12}\cdot \frac{9}{11}=\frac{9}{143}$. A thắng ở lượt 5: bốn lượt đầu đều xanh, xác suất $\frac{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{13\cdot 12\cdot 11\cdot 10}=\frac{1}{715}$, khi đó lượt 5 chắc chắn trắng. Vậy $P=\frac{9}{13}+\frac{9}{143}+\frac{1}{715}=\frac{495}{715}+\frac{45}{715}+\frac{1}{715}=\frac{541}{715}$ (tối giản vì 541 nguyên tố). Suy ra $a=541$, $b=715$, $S=-2\cdot 541+6\cdot 715=-1082+4290=3208$.

(AI giải đề cho tôi)
Hộp có 7 cầu trắng, 4 cầu xanh. Học sinh A thắng khi quả trắng đầu tiên được rút ở lượt lẻ (lượt 1, 3, 5). Vì chỉ có 4 cầu xanh nên quả trắng đầu tiên xuất hiện chậm nhất ở lượt rút thứ 5.

Xác suất quả trắng đầu tiên ở lượt 1: $P_1=\frac{7}{11}$.

Ở lượt 3 (hai lượt đầu đều xanh): $P_3=\frac{4}{11}\cdot \frac{3}{10}\cdot \frac{7}{9}=\frac{84}{990}=\frac{14}{165}$.

Ở lượt 5 (bốn lượt đầu đều xanh, tức rút hết 4 cầu xanh): $P_5=\frac{4}{11}\cdot \frac{3}{10}\cdot \frac{2}{9}\cdot \frac{1}{8}\cdot \frac{7}{7}=\frac{24}{7920}=\frac{1}{330}$.

Vậy $P(A)=\frac{7}{11}+\frac{14}{165}+\frac{1}{330}=\frac{210+28+1}{330}=\frac{239}{330}$ (phân số tối giản vì $\gcd (239,330)=1$).

Suy ra $a=239,b=330$, nên $S=2a-4b=478-1320=-842$.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số bi: 7 xanh + 6 đỏ + 3 vàng = 16 bi. Chọn ngẫu nhiên 6 bi từ 16 bi: $n=C_{16}^6=8008$. Biến cố 'ít nhất 1 bi xanh' là phần bù của 'không có bi xanh nào', tức cả 6 bi lấy từ 9 bi không xanh (6 đỏ + 3 vàng): $C_9^6=84$. Vậy $P=1-\frac{C_9^6}{C_{16}^6}=1-\frac{84}{8008}=\frac{7924}{8008}\approx 0,9895\approx 0,99$. Kết quả khớp với đáp án nguồn 0,99.

Số phần tử của không gian mẫu: $n(\Omega )=13!$.
Gọi $A$: "Chọn được hàng mà không có 2 bạn nam nào đứng cạnh nhau".
Trước tiên, ta xếp 10 bạn nữ: có 10! cách.
10 bạn nữ tạo ra 11 khoảng trống, có thể xếp 3 học sinh nam vào để không có 2 bạn nam nào đứng cạnh nhau, có $A_{11}^3$ cách.
Suy ra $n(A)=10!A_{11}^3$.
Xác suất cần tìm là: $P(A)=\frac{n(A)}{n(\Omega )}=\frac{10!A_{11}^3}{13!}=\frac{15}{26}\approx 0,6$.

Số phần tử của không gian mẫu: $n(\Omega )=13!$.
Gọi $A$: "Chọn được hàng mà không có 2 bạn nữ nào đứng cạnh nhau". Trước tiên, ta xếp 10 bạn nam: có 10! cách. 10 bạn nam tạo ra 11 khoảng trống, có thể xếp 3 học sinh nữ vào để không có 2 bạn nữ nào đứng cạnh nhau, có $A_{11}^3$ cách. Suy ra $n(A)=10!A_{11}^3$.
Xác suất cần tìm là: $P(A)=\frac{n(A)}{n(\Omega )}=\frac{10!A_{11}^3}{13!}=\frac{15}{26}\approx 0,58$.

(AI giải đề cho tôi)
Đa giác đều 20 đỉnh nội tiếp đường tròn. Tam giác vuông nội tiếp có cạnh huyền là đường kính, tức hai đỉnh đầu cách nhau 10 cung (10 cặp đỉnh đối diện). Mỗi cặp đường kính kết hợp với 1 trong 18 đỉnh còn lại nên có $10\times 18=180$ tam giác vuông. Trong đó, tam giác vuông cân có các cung 5–5–10: với mỗi đỉnh xuất phát $i$, bộ $\{i,i+5,i+10\}$ cho 20 tam giác vuông cân phân biệt. Vậy số tam giác vuông nhưng không cân là $180-20=160$. Tổng số cách chọn 3 đỉnh: $C_{20}^3=1140$. Xác suất $P=\frac{160}{1140}=\frac{8}{57}\approx 0,1403\approx 0,14$, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Đa giác đều 32 đỉnh nội tiếp một đường tròn; một tam giác nội tiếp là tam giác vuông khi và chỉ khi cạnh huyền của nó là đường kính của đường tròn, tức là nối hai đỉnh đối diện nhau của đa giác (tổng hai cung bằng 16 cung, ứng với góc inscribed bằng 90°).

- Số đường kính (cặp đỉnh đối diện): $\frac{32}{2}=16$.
- Với mỗi đường kính, tam giác vuông cân xảy ra khi đỉnh còn lại nằm chính giữa cung (cách đều hai đầu đường kính): mỗi đường kính có đúng $2$ vị trí như vậy.
- Tổng số tam giác vuông: $16\times (32-2)=16\times 30=480$.
- Số tam giác vuông cân: $16\times 2=32$.
- Số tam giác vuông nhưng không cân: $480-32=448$.

Không gian mẫu: $n(\Omega )=C_{32}^3=\frac{32\cdot 31\cdot 30}{6}=4960$.

Xác suất cần tính:
$$P=\frac{448}{4960}=\frac{14}{155}\approx 0,0903\approx 0,09.$$

Kết quả khớp với đáp án chính thức $0,09$. (Ghi chú: cụm

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số số gồm 5 chữ số khác nhau từ $A=\{0;1;2;3;4;5;6\}$ với chữ số đầu khác 0: $7P_5-6P_4=2520-360=2160$. Số chẵn: chữ số cuối là 0: $6P_4=360$ số; chữ số cuối là 2, 4, 6: mỗi trường hợp có $5\cdot 5P_3=5\cdot 60=300$ số (chữ số đầu khác 0), tức $3\cdot 300=900$ số. Tổng số chẵn $=360+900=1260$. Xác suất $P=\frac{1260}{2160}=\frac{7}{12}\approx 0,5833\approx 0,58$, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số số gồm 5 chữ số khác nhau từ $A=\{0;...;7\}$ (chữ số đầu khác 0): $A_8^5-A_7^4=6720-840=5880$. Số chẵn: chữ số cuối là 0: $A_7^4=840$; chữ số cuối là 2, 4 hoặc 6: $3(A_7^4-A_6^3)=3(840-120)=2160$. Tổng số chẵn $=3000$. Xác suất $P=\frac{3000}{5880}\approx 0,5102\approx 0,51$, khớp đáp án nguồn.

a) Giả sử các ghế được đánh số từ 1 đến 10.

Để có cách xếp sao cho giữa 2 bạn nữ gần nhau có đúng 2 bạn nam thì các bạn nữ phải ngồi ở các ghế đánh số $1,4,7,10$. Có tất cả số cách xếp chỗ ngồi loại này là: $6!\cdot 4!$ cách.

b) Số phần tử của không gian mẫu là $n(\Omega )=10!$

Số cách xếp sao cho giữa 2 bạn nữ gần nhau có đúng 2 bạn nam là $6!\cdot 4!$ cách.

Ta tính số cách sắp xếp chỗ ngồi sao cho Huyền và Quang ngồi cạnh nhau.

Nếu Huyền ngồi ở ghế 1 hoặc 10 thì có 1 cách xếp chỗ ngồi cho Quang. Nếu Huyền ngồi ở ghế 4 hoặc 7 thì có 2 cách xếp chỗ ngồi cho Quang.

Do đó, số cách xếp chỗ ngồi cho Quang và Huyền ngồi liền nhau là $2+2\cdot 2=6$.

Suy ra, số cách xếp chỗ ngồi cho 10 người sao cho Quang và Huyền ngồi liền nhau là $6\cdot 3!\cdot 5!$.

Gọi A: "Giữa 2 bạn nữ gần nhau có đúng 2 bạn nam, đồng thời Quang không ngồi cạnh Huyền".

Ta có: $n(A)=4!\cdot 6!-6\cdot 3!\cdot 5!=12960$.

$$\Rightarrow P(A)=\frac{n(A)}{n(\Omega )}=\frac{12960}{10!}=\frac{1}{280}.$$

(Điểm: 0,5 + 0,5)

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số người: 1588 + 168450 + 507 + 490575 = 661120. a) Không gian mẫu gồm 661120 người bị tai nạn → đúng. b) A ∩ B̄ là 'tử vong và có thắt dây an toàn' gồm 507 người → đúng. c) Xác suất tử vong khi không thắt dây: P(A|B) = 1588/(1588+168450) = 1588/170038 = 794/85019 → đúng. d) Xác suất tử vong khi có thắt dây: P(A|B̄) = 507/(507+490575) = 507/491082 = 169/163694 ≠ 169/163525 → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Không gian mẫu là tập 661 120 người lái xe bị tai nạn giao thông (1588+168450+507+490575 = 661120).
b) (AI giải đề cho tôi)
A ∩ B̄: tử vong và có thắt dây an toàn, số phần tử là 507.
c) (AI giải đề cho tôi)
P(A|B) = 1588/170038 = 794/85019.
d) (AI giải đề cho tôi)
P(A|B̄) = 507/491082 = 169/163694, không bằng 169/163525.

(AI giải đề cho tôi)
Hộp có 8 bi đỏ, 7 bi xanh, 5 bi vàng (tổng 20 bi), lấy ngẫu nhiên 3 bi.

a) $n(\Omega )=C_{20}^3=\frac{20\cdot 19\cdot 18}{6}=1140$. → Đúng.

b) Xác suất lấy được 3 bi đỏ: $P=\frac{C_8^3}{C_{20}^3}=\frac{56}{1140}=\frac{14}{285}\ne \frac{14}{283}$. → Sai.

c) Xác suất có ít nhất một bi đỏ: $P=1-\frac{C_{12}^3}{C_{20}^3}=1-\frac{220}{1140}=\frac{920}{1140}=\frac{46}{57}\approx 0,807\ne \frac{11}{56}$. → Sai.

d) Xác suất lấy được 3 bi có đúng hai màu (mỗi màu trong hai màu được chọn phải xuất hiện ít nhất một lần):
- Đỏ và xanh: $C_8^1{C}_7^2+C_8^2{C}_7^1=8\cdot 21+28\cdot 7=364$.
- Đỏ và vàng: $C_8^1{C}_5^2+C_8^2{C}_5^1=80+140=220$.
- Xanh và vàng: $C_7^1{C}_5^2+C_7^2{C}_5^1=70+105=175$.
Tổng: $364+220+175=759$, nên $P=\frac{759}{1140}=\frac{253}{380}$. → Đúng.

Kết quả khớp với đáp án chính thức: a) Đúng, b) Sai, c) Sai, d) Đúng (mã đề 0102: ĐSSĐ).
a) (AI giải đề cho tôi)
$n(\Omega )=C_{20}^3=1140$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$P=\frac{C_8^3}{C_{20}^3}=\frac{14}{285}\ne \frac{14}{283}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$P=1-\frac{C_{12}^3}{C_{20}^3}=\frac{46}{57}\ne \frac{11}{56}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Số cách lấy 3 bi đúng hai màu: $364+220+175=759$, nên $P=\frac{759}{1140}=\frac{253}{380}$.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số bi là 8+7+5=20. a) n(Ω)=C(20,3)=1140 → Đúng. b) Xác suất lấy 3 bi đỏ = C(8,3)/1140 = 56/1140 = 14/285 ≠ 14/283 → Sai. c) Xác suất có ít nhất một bi đỏ = 1 − C(12,3)/1140 = 1 − 220/1140 = 920/1140 = 46/57 ≠ 11/56 → Sai. d) Số cách lấy 3 bi đúng hai màu: đỏ–xanh: C(8,2)C(7,1)+C(8,1)C(7,2)=196+168=364; đỏ–vàng: C(8,2)C(5,1)+C(8,1)C(5,2)=140+80=220; xanh–vàng: C(7,2)C(5,1)+C(7,1)C(5,2)=105+70=175. Tổng = 759. Xác suất = 759/1140 = 253/380 → Đúng. Kết quả khớp đáp án chính thức: a Đúng, b Sai, c Sai, d Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
n(Ω)=C(20,3)=1140 vì hộp có 20 viên bi.
b) (AI giải đề cho tôi)
P = C(8,3)/C(20,3) = 56/1140 = 14/285 ≠ 14/283.
c) (AI giải đề cho tôi)
P(ít nhất 1 đỏ) = 1 − C(12,3)/1140 = 920/1140 = 46/57 ≠ 11/56.
d) (AI giải đề cho tôi)
Số cách đúng hai màu: 364+220+175=759; P = 759/1140 = 253/380.