Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: BPT mũ/logarit (Toán học Lớp 11)

**Chọn A**

Ta có $2^x>3\iff x>{\log }_{2}3$. Tập nghiệm là $({\log }_{2}3;+\infty )$.

**Chọn A**

Bất phương trình tương đương với hệ điều kiện:
$\{\begin{array}{l}{x}^2-x>0\\ x^2-x\le 6\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x\in (-\infty ;0)\cup (1;+\infty )\\ -2\le x\le 3\end{array}\iff x\in [-2;0)\cup (1;3]$.

**Chọn C**

(Theo đáp án chính thức của Hội đồng ra đề Trường THPT Trần Quốc Tuấn - Mã đề 001).
Có 6 số nguyên $y$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Ta có ${\log }_3(x-1)>2\iff x-1>3^2=9\iff x>10$. Tập nghiệm là $(10;+\infty )$.

Điều kiện: $x>0$ và $3-{\log }_6(2x)\ne 0\iff 2x\ne 216\iff x\ne 108$.
Tử số: $4^x-68\cdot 2^x+256=(2^x-4)(2^x-64)$. Tử số có 2 nghiệm $x=2$ và $x=6$.
Lập bảng xét dấu của phân thức trên $(0;+\infty )\setminus \{108\}$, tập nghiệm nguyên tìm được có đúng 104 số nguyên.

Bất phương trình tương đương: $(4^x-2x-1)(x^2-4^y)\ge 0$.
Với $x\ge 1$ thì $4^x-2x-1>0$, do đó bất phương trình tương đương $x^2-4^y\ge 0\iff x\ge 2^y$.
Số nguyên $x\in (0;2022)$ thỏa mãn là $2^y\le x<2022$.
Số lượng số nguyên thỏa mãn là $2021-2^y+1\ge 1011\iff 2^y\le 1011\iff 1\le y\le {\log }_{2}1011\approx 9,98$.
Vì $y$ nguyên dương nên $y\in \{1,2,\dots ,9\}$. Có tất cả 9 số nguyên dương $y$ thỏa mãn.

Ta có $3^x<9\iff 3^x<3^2\iff x<2$. Tập nghiệm của bất phương trình là $(-\infty ;2)$. Chọn đáp án A.

Điều kiện xác định: $x+31>0\iff x>-31$. Đặt $f(x)=[{\log }_3(x^2+1)-{\log }_3(x+31)](32-2^{x-1})$.
Giải các phương trình nghiệm:
1) ${\log }_3(x^2+1)={\log }_3(x+31)\iff x^2-x-30=0\iff x=6$ hoặc $x=-5$ (cả hai đều thỏa mãn $x>-31$).
2) $32-2^{x-1}=0\iff 2^{x-1}=2^5\iff x=6$.
Bảng xét dấu của $f(x)$:


Tập nghiệm của bất phương trình là $S=(-31;-5]\cup \{6\}$. Các số nguyên thuộc $S$ là $x\in \{-30,-29,\dots ,-5\}$ (gồm 26 số) cùng với $x=6$ (1 số). Tổng cộng có $26+1=27$ số nguyên thỏa mãn. Chọn đáp án B.

Bất phương trình tương đương: $5^{a^2-2a-3}\cdot 5^b-3^{a^2}\cdot 3^b-598\le 0$.
Xét hàm số $f(b)=5^{a^2-2a-3+b}-3^{b+a^2}-598$ theo biến $b$. Tìm các giá trị nguyên của $a$ sao cho có ít nhất 8 số nguyên $b\in (-10;10)$ thỏa mãn $f(b)\le 0$.
Kết quả giải ra $a\in \{-3,-2,-1,0,1,2,3\}$, gồm 7 giá trị nguyên của $a$. Chọn đáp án A.

Ta có ${\log }_3(x+1)<2\iff \{\begin{array}{l}x+1>0\\ x+1<9\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x>-1\\ x<8\end{array}\iff -1<x<8$.

Ta có $2^x>3\iff x>{\log }_{2}3$.

**Chọn C**

Điều kiện xác định: $x>-8$.
- $3^{x^2-1}-27^{x+1}=0\iff x^2-1=3(x+1)\iff x^2-3x-4=0\iff x=-1$ hoặc $x=4$.
- ${\log }_3(x+8)-2=0\iff x+8=9\iff x=1$.
Lập bảng xét dấu trên khoảng $(-8;+\infty )$, ta nhận được nghiệm $x\in (-8;-1]\cup [1;4]$.
Các nghiệm nguyên gồm: $x\in \{-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1\}$ (7 nghiệm) và $x\in \{1,2,3,4\}$ (4 nghiệm).
Tổng cộng có $7+4=11$ nghiệm nguyên.

Ta có ${\log }_3(x+1)\le 2\iff 0<x+1\le 3^2=9\iff -1<x\le 8$. Đáp án chính thức của đề (Mã đề 0101, trang 5): C.

Ta có $2^{x-3}>8\iff 2^{x-3}>2^3\iff x-3>3\iff x>6$. Vậy tập nghiệm là $(6;+\infty )$. Chọn C.

Ta có $3^x>27\iff 3^x>3^3\iff x>3$. Vậy tập nghiệm là $(3;+\infty )$.

Bất phương trình tương đương với $0<x-1<{\left(\frac{1}{2}\right)}^1\iff 1<x<\frac{3}{2}$. Vậy $S=\left(1;\frac{3}{2}\right)$.

Viết lại bất phương trình thành: ${\log }_2(x^2+2x+m+1)+2(x^2+2x+m+1)\ge {\log }_2[2(x^2+2x+2)]+4(x^2+2x+2)$. Xét hàm đặc trưng $u(t)={\log }_{2}t+2t$ đồng biến trên $(0;+\infty )$, bất phương trình tương đương: $\{\begin{array}{l}{x}^2+2x+m+1>0\\ x^2+2x+m+1\ge 2(x^2+2x+2)\end{array}\iff m\ge x^2+2x+3=(x+1{)}^2+2$. Để bất phương trình có nghiệm thực $x$ thì $m\ge {\min }_{\mathbb{R}}[(x+1{)}^2+2]=2$. Với $m\in [0;10]$ và $m\in \mathbb{Z}$, ta có $m\in \{2;3;4;5;6;7;8;9;10\}$, gồm $9$ phần tử.

Ta có $\log (x-1)\ge 1\iff \{\begin{array}{l}x-1>0\\ x-1\ge 10\end{array}\iff x\ge 11$.

Điều kiện $x>0$.
Ta có ${\log }_4(x+6)<2-2{\log }_{4}x\iff {\log }_4(x+6)<{\log }_4\frac{16}{x^2}\iff x+6<\frac{16}{x^2}\iff x^3+6x^2-16<0\iff (x-1)(x+2)(x+8)$ ... hay $(x+2{)}^2(x+2)$:
Ta phân tích $x^3+6x^2-16=(x+2)(x^2+4x-8)<0\iff x<-2-2\sqrt{3}$ hoặc $-2<x<-2+2\sqrt{3}$.
Kết hợp điều kiện $x>0$, ta có $0<x<-2+2\sqrt{3}\approx 1,464$.
Suy ra nghiệm nguyên duy nhất là $x=1$. Vậy bất phương trình có $1$ nghiệm nguyên.

Bất phương trình tương đương $2^{4x}-4\cdot 2^{3x}+4\cdot 2^x\cdot 2^m-2^{2m}<0\iff (2^m-2^{2x})(2^m+2^{2x}-4\cdot 2^x)>0$.
Với $\forall x\in (-\infty ;4]$, ta có $0<2^{2x}\le 2^8$ và $-192\le 4\cdot 2^x-2^{2x}\le 4=2^2$.
Do $2^m>0$ nên hệ $\{\begin{array}{l}{2}^m>2^{2x}\\ 2^m>4\cdot 2^x-2^{2x}\end{array}$ nghiệm đúng với $\forall x\in (-\infty ;4]\iff 2^m>2^8\iff m>8$.
Vì $m\in \mathbb{Z}$ và $m\in [0;100]$ nên $m\in \{9;10;\dots ;100\}$, có $100-8=92$ giá trị của $m$.