Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: BPT mũ/logarit (Toán học Lớp 11)

Xét điều kiện xác định cơ số $2a+1\ne 0\iff a\ne -\frac{1}{2}$. Với bất đẳng thức lũy thừa có số mũ $-3<-1$, ta xét hai trường hợp của cơ số $u=2a+1$ để $u^{-3}<u^{-1}$: Trường hợp 1: $u>1\iff 2a+1>1\iff a>0$. Trường hợp 2: $-1<u<0\iff -1<2a+1<0\iff -1<a<-\frac{1}{2}$. Kết hợp lại ta được $a\in \left(-1;-\frac{1}{2}\right)\cup (0;+\infty )$. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề A, trang 8), chọn A.

**Chọn C**

Điều kiện: $x-1>0\iff x>1$.
Ta có: ${\log }_2(x-1)<3\iff x-1<2^3\iff x-1<8\iff x<9$.
Kết hợp với điều kiện, ta có: $1<x<9\Rightarrow S=(1;9)$.

**Chọn A**

Điều kiện: $x>0$.
Ta có: $(3^{x^2}-27^x)[{\log }_2(4x)-2]\ge 0$
$\iff [\begin{array}{rl}& {\log }_2(4x)-2=0\\ & \{\begin{array}{rl}{\log }_2(4x)-2& >0\\ 3^{x^2}-27^x& \ge 0\end{array}\end{array}\iff [\begin{array}{rl}& x=1\\ & \{\begin{array}{rl}x& >1\\ x^2& \ge 3x\end{array}\end{array}\iff [\begin{array}{rl}x& =1\\ x& \ge 3.\end{array}$
Vì $x$ là số nguyên thuộc $[-2022;2022]$ nên $x\in \{1\}\cup \{3;4;\dots ;2022\}$.
Số phần tử thỏa mãn là: $1+(2022-3+1)=2021$ số.

Điều kiện: $x>0$. Bất phương trình tương đương ${\log }_{0,5}x\ge -2\iff x\le (0,5{)}^{-2}=4$. Kết hợp điều kiện ta được $x\in (0;4]$.

Bất phương trình tương đương:
$\frac{2^{x^2+y^2+1}}{2^{2x}}\le x^2+y^2-2x+2\iff 2^{x^2+y^2-2x+1}\le (x^2+y^2-2x+1)+1$.
Đặt $t=x^2+y^2-2x+1=(x-1{)}^2+y^2\ge 0$.
BPT trở thành $2^t\le t+1\iff 2^t-t-1\le 0$.
Xét hàm số $f(t)=2^t-t-1$ với $t\ge 0$, ta có $f^{\prime }(t)=2^t\ln 2-1=0\iff t={\log }_2\left(\frac{1}{\ln 2}\right)\approx 0,53$.
Vì $f(0)=0$ và $f(1)=0$, nên $f(t)\le 0\iff 0\le t\le 1$.
Do đó $(x-1{)}^2+y^2\le 1$. Tập hợp các điểm $M(x;y)$ là hình tròn tâm $I(1;0)$, bán kính $R=1$.
Biểu thức $P=\frac{8x+4}{2x-y+1}\iff (2P-8)x-Py+P-4=0$ (đường thẳng $\Delta$).
Để $\Delta$ và hình tròn có điểm chung thì $d(I,\Delta )\le R=1$:
$\frac{|(2P-8)\cdot 1-P\cdot 0+P-4|}{\sqrt{(2P-8{)}^2+(-P{)}^2}}\le 1\iff \frac{|3P-12|}{\sqrt{5P^2-32P+64}}\le 1$
$\iff (3P-12{)}^2\le 5P^2-32P+64\iff 9P^2-72P+144\le 5P^2-32P+64$
$\iff 4P^2-40P+80\le 0\iff P^2-10P+20\le 0\iff 5-\sqrt{5}\le P\le 5+\sqrt{5}$.
Giá trị lớn nhất của $P$ là $5+\sqrt{5}\approx 7,236$, gần nhất với $7$.

Điều kiện: $x-3>0\iff x>3$. Bất phương trình tương đương: $x-3<{\left(\frac{1}{3}\right)}^{-2}=9\iff x<12$. Kết hợp điều kiện ta được tập nghiệm là $(3;12)$. Chọn A.

Nhận xét rằng $3^x-2^x$ luôn cùng dấu với $x$ (bằng 0 khi $x=0$, dương khi $x>0$, âm khi $x<0$). Do đó bất phương trình tương đương $x(x-m)\le 0$. Nếu $m\ge 0$, tập nghiệm là $[0;m]$, chứa các số nguyên $0,1,\dots ,[m]$. Để chứa không quá 8 giá trị nguyên thì $[m]\le 7\Rightarrow 0\le m<8\Rightarrow m\in \{0;1;\dots ;7\}$ (8 giá trị). Nếu $m<0$, tập nghiệm là $[m;0]$, chứa các số nguyên $[m],\dots ,0$. Để chứa không quá 8 giá trị nguyên thì $m>-8\Rightarrow m\in \{-7;-6;\dots ;-1\}$ (7 giá trị). Tổng cộng có $8+7=15$ giá trị nguyên của $m$. Chọn D.

Bất phương trình tương đương:
$5^{x-4}>5^{-1}\iff x-4>-1\iff x>3$.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S=(3;+\infty )$.

Ta có $2x^2-x+1>0,\forall x$. Bất phương trình tương đương: ${\log }_2(3x^2+3x+m+1)+(3x^2+3x+m+1)<{\log }_2(2x^2-x+1)+2(2x^2-x+1)$. Xét tính đơn điệu của hàm số $f(t)={\log }_{2}t+t$, ta suy ra $3x^2+3x+m+1<4x^2-2x+2\iff x^2-5x+1-m>0,\forall x$. Điều kiện $\Delta =25-4(1-m)<0\iff 4m<-21\iff m<-\frac{21}{4}=-5.25$. Đồng thời điều kiện $3x^2+3x+m+1>0,\forall x\iff {\Delta }_1=9-12(m+1)<0\iff 12m>-3\iff m>-\frac{1}{4}$. Hai điều kiện $m<-5.25$ và $m>-0.25$ mâu thuẫn nhau, do đó không có số nguyên $m$ nào thỏa mãn. Chọn B.

Ta có ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{-x^2+1}<32\iff 2^{x^2-1}<2^5\iff x^2-1<5\iff x^2<6\iff -\sqrt{6}<x<\sqrt{6}$. Chọn C.

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho 4 số dương $x,2^y,2^y,2^y$: $x+3\cdot 2^y=x+2^y+2^y+2^y\ge 4\sqrt[4]{x\cdot (2^y{)}^3}=4\sqrt[4]{2^{{\log }_{2}x+3y}}=4\cdot 2^{\frac{{\log }_{2}x+3y}{4}}$. Dấu '=' xảy ra khi và chỉ khi $x=2^y$. Do $(x;y)$ nguyên dương và $x\le 2023$, ta có $2^y\le 2023\Rightarrow 1\le y\le 10$. Có 10 cặp số nguyên dương thỏa mãn. Chọn D.

Ta có ${\log }_3(4-x)>2⟺4-x>3^2⟺4-x>9⟺x<-5$. Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $(-\infty ;-5)$.

Bất phương trình tương đương với $\{\begin{array}{l}{x}^2+6x+m>0\\ 5(x^2+1)>x^2+6x+m\end{array}⟺-x^2-6x<m<4x^2-6x+5$. Để bất phương trình nghiệm đúng với mọi $x\in (2;3)$, ta cần ${\max }_{[2;3]}(-x^2-6x)\le m\le {\min }_{[2;3]}(4x^2-6x+5)⟺-16\le m\le 9$. Vì $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \{-16;-15;\dots ;9\}$, có $9-(-16)+1=26$ giá trị nguyên của $m$.

Điều kiện: $7x+2>0\iff x>-\frac{2}{7}$. Bất phương trình tương đương: $7x+2\le 10^2=100\iff 7x\le 98\iff x\le 14$. Kết hợp điều kiện ta được $S=\left(-\frac{2}{7};14\right]$. Chọn D.

Ta có $2^{x+1}-\sqrt{2}=0\iff x=-\frac{1}{2}$. Vì $y$ nguyên dương nên $y\ge 1>2^{-1/2}=\frac{1}{\sqrt{2}}$. Bất phương trình tương đương: $-\frac{1}{2}<x<{\log }_{2}y$. Các số nguyên $x$ thỏa mãn là $x\in \{0;1;2;\dots \}$. Để có không quá 10 số nguyên $x$, tập nghiệm nguyên chỉ được chứa tối đa 10 phần tử $x\in \{0,1,2,\dots ,9\}$. Điều này xảy ra khi và chỉ khi ${\log }_{2}y\le 10\iff y\le 2^{10}=1024$. Vì $y$ nguyên dương nên $y\in \{1;2;\dots ;1024\}$. Có 1024 giá trị thỏa mãn. Chọn D.

Bất phương trình tương đương: $5^{y+2}+5(y+2)\le (x+2)+5{\log }_5(x+2)$. Đặt $t={\log }_5(x+2)\Rightarrow x+2=5^t$, ta được $5^{y+2}+5(y+2)\le 5^t+5t\iff y+2\le t={\log }_5(x+2)$. Do $x<2023\Rightarrow y+2<{\log }_{5}2025\approx 4.73\Rightarrow y\le 2$. Vì $y$ nguyên dương nên $y\in \{1;2\}$. Với $y=1\Rightarrow {\log }_5(x+2)\ge 3\iff x\ge 123$, suy ra $x\in \{123;124;\dots ;2022\}$ có 1900 giá trị. Với $y=2\Rightarrow {\log }_5(x+2)\ge 4\iff x\ge 623$, suy ra $x\in \{623;624;\dots ;2022\}$ có 1400 giá trị. Tổng cộng có $1900+1400=3300$ cặp số nguyên dương thỏa mãn. Chọn C.

**Chọn B**

3 x - 2 > 0
2
Ta có ln ( 3 x - 2 ) ≤ 0 ⇔
⇔ < x ≤1
3
3 x - 2 ≤ 1
5

5

5

2

2

2

**Chọn B**

x

(1(
Ta có ≥ 9 ⇔ x ≤ log 1 9 = -2 ⇒ x ∈ ( -∞; - 2] .
)3)
3

**Chọn B**

Điều kiện: x; y ∈ ℝ, y > 0 .
Từ

giả

thiết.

x3 - 4 x 2 + x - 4
( x - 4 ) ( x 2 + 1)
x-4
<
0
⇔
<0⇔ x
<0
x
x
3 -y
3 -y
3 -y

⇔ ( x - 4) ( 3x - y ) < 0 (1)
+ TH 1: Nếu log 3 y > 4 ⇔ y > 81 thì bất phương trình (1 ) ⇔ 4 < x < log 3 y .
Để bất pt có nghiệm nguyên x và số nghiệm nguyên x không vượt quá 6

y ≤ 177147
log 3 y ≤ 11
⇔
⇔ 243 < y ≤ 177147 ⇒có 176904 số nguyên y .
⇔
y > 243
log 3 y > 5
+ TH 2: Nếu log 3 y < 4 ⇔ y < 81 thì bất phương trình (1 ) ⇔ log 3 y < x < 4 .
Để bất pt có nghiệm nguyên x và số nghiệm nguyên x không vượt quá 6
log 3 y ≥ -3
1
⇔
⇔
≤ y < 27 ⇒có 26 số nguyên y .
27
log 3 y < 3

Vậy ta có 176904 + 26 = 176930 số nguyên y cần tìm.

**Chọn B**

Điều kiện x > 0 .
Bất phương trình

log 2 x + log 3 x ≥ 1 + log 2 x · log 3 x

⇔ ( log 2 x - 1)( log 3 x - 1) ≤ 0

[ log 2 x - 1 ≤ 0
[ x ≤ 2

log 3 x - 1 ≥ 0
x ≥ 3

⇔
⇔
⇔ 2 ≤ x ≤ 3.
log x - 1 ≥ 0
x ≥ 2
2

] log 3 x - 1 ≤ 0
] x ≤ 3
Vậy bất phương trình có 2 nghiệm nguyên.