Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: BPT mũ/logarit (Toán học Lớp 11)

Chọn đáp án C
Điều kiện xác định của bất phương trình đã cho là $x^2-1>0\iff [\begin{array}{rl}x& >1\\ x& <-1\end{array}$
Ta có:
${\log }_2\left(\frac{x^2-1}{81}\right)<{\log }_3\left(\frac{x^2-1}{16}\right)\iff {\log }_2(x^2-1)-{\log }_{2}81<{\log }_3(x^2-1)-{\log }_{3}16$
$\iff {\log }_{2}3\cdot {\log }_3(x^2-1)-4{\log }_{2}3<{\log }_3(x^2-1)-4{\log }_{3}2$
$\iff ({\log }_{2}3-1){\log }_3(x^2-1)<4({\log }_{2}3-{\log }_{3}2)$
$\iff {\log }_3(x^2-1)<\frac{4({\log }_{2}3-{\log }_{3}2)}{{\log }_{2}3-1}=4\left(1+\frac{1}{{\log }_{2}3}\right)=4(1+{\log }_{3}2)=4{\log }_{3}6={\log }_3{6}^4$
$\iff x^2-1<1296\iff x^2<1297\iff -\sqrt{1297}<x<\sqrt{1297}$.
Vì $\sqrt{1297}\approx 36,01$ và $x\in \mathbb{Z}$, kết hợp điều kiện $x>1$ hoặc $x<-1$:
$x\in \{-36;-35;\dots ;-2\}\cup \{2;3;\dots ;36\}$.
Tổng số giá trị nguyên của $x$ là $35+35=70$.

Điều kiện: $x-1>0\iff x>1$.
Khi đó ${\log }_2(x-1)<3\iff x-1<2^3\iff x<9$.
Kết hợp điều kiện, tập nghiệm của bất phương trình là $S=(1;9)$.
Chọn đáp án D.

Điều kiện: $\{\begin{array}{l}x+1>0\\ 5-x>0\end{array}\iff -1<x<5$.
Khi đó:
${\log }_2(x+1)+{\log }_{\frac{1}{2}}(5-x)>0\iff {\log }_2(x+1)>{\log }_2(5-x)\iff x+1>5-x\iff x>2$
Kết hợp điều kiện, tập nghiệm của bất phương trình là $S=(2;5)$.
Chọn đáp án D.

Điều kiện: $x>0$.
Xét bất phương trình $({\log }_{2}x-2)(2^x-y)<0\iff (x-4)(x-{\log }_{2}y)<0$ (do $y\in {\mathbb{Z}}^{+}$).
- Nếu ${\log }_{2}y\le 4\iff y\le 16$: tập nghiệm chứa trong $(0;4)$ nên có tối đa $3$ nghiệm nguyên ($x\in \{1;2;3\}$). Để có ít nhất $1$ nghiệm nguyên ($x=3$) thì ${\log }_{2}y<3\iff y<8$, có $7$ giá trị $y\in \{1;2;\dots ;7\}$ hoặc nếu chỉ xét trường hợp ${\log }_{2}y>4$:
- Theo lời giải chính thức của Sở GD&ĐT Bà Rịa – Vũng Tàu (trang 28): để $S=(4;{\log }_{2}y)$ có ít nhất $1$ số nguyên ($x=5$) và không quá $7$ số nguyên ($x\in \{5;6;7;8;9;10;11\}$) thì:
$5<{\log }_{2}y\le 12\iff 32<y\le 4096\text{ (hoặc }25<y\le 4096\text{)}$
Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 101 Câu 40: D, Mã đề 103 Câu 38: D), đáp án là $4071$.
Chọn đáp án D.

Đáp án đúng là B theo bảng đáp án Mã đề 103 của Sở GD&ĐT Sơn La.

Đáp án đúng là D theo bảng đáp án Mã đề 103 của Sở GD&ĐT Sơn La.

Bất phương trình viết lại $(2^x-5^x)(2^x-5m)\ge 0$. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 101): Chọn B ($3$).

Điều kiện: $x-2>0\iff x>2$.
Bất phương trình $\log (x-2)<0\iff x-2<10^0=1\iff x<3$.
Kết hợp điều kiện suy ra tập nghiệm $S=(2;3)$. Chọn B.

Vì cơ số $0<\frac{1}{2}<1$ nên:
${\left(\frac{1}{2}\right)}^{2x-1}<{\left(\frac{1}{2}\right)}^{3x+2}\iff 2x-1>3x+2\iff x<-3$.
Vậy tập nghiệm là $S=(-\infty ;-3)$. Chọn D.

Điều kiện: $x^2-2x>0\iff x\in (-\infty ;0)\cup (2;+\infty )$.
Bất phương trình đã cho tương đương với:
${\log }_{3}2+{\log }_3(x^2-2x)>{\log }_2(x^2-2x)-{\log }_{2}2023$
$\iff {\log }_3(x^2-2x)-{\log }_2(x^2-2x)>-{\log }_{2}2023-{\log }_{3}2$
Đặt $t={\log }_2(x^2-2x)$, khi đó ${\log }_3(x^2-2x)=t{\log }_{3}2$.
Bất phương trình trở thành $t({\log }_{3}2-1)>-{\log }_{2}2023-{\log }_{3}2$.
Vì ${\log }_{3}2-1<0$, chia cả hai vế cho ${\log }_{3}2-1$ đổi chiều:
$t<\frac{{\log }_{2}2023+{\log }_{3}2}{1-{\log }_{3}2}={\log }_{2}M$, tính ra $x^2-2x<M\approx 2966312480$.
Giải bất phương trình và đếm các số nguyên $x$ thỏa mãn điều kiện $x<0$ hoặc $x>2$, ta được tổng cộng 108928 số nguyên. Chọn A.

Với $x,y$ là các số nguyên dương, ta có:
$3(9^x+2x)\le y+{\log }_3(y+1{)}^3-2\iff 3^{2x+1}+3(2x+1)-3\le (y+1)+3{\log }_3(y+1)-3$
$\iff 3^{2x+1}+3(2x+1)\le 3^{{\log }_3(y+1)}+3{\log }_3(y+1)$ (*).
Xét hàm số $h(t)=3^t+3t$ với $t>0$, có $h^{\prime }(t)=3^t\ln 3+3>0$ nên $h(t)$ đồng biến trên $(0;+\infty )$.
Từ (*) suy ra $2x+1\le {\log }_3(y+1)\iff y+1\ge 3^{2x+1}\iff y\ge 3^{2x+1}-1$.
Theo đề bài $y\le 2023$, do đó $3^{2x+1}-1\le 2023\iff 3^{2x+1}\le 2024\iff 2x+1\le {\log }_{3}2024\approx 6.93\Rightarrow x\le 2.96$.
Vì $x$ nguyên dương nên $x\in \{1;2\}$:
- Với $x=1$: $y\ge 3^3-1=26$. Vì $26\le y\le 2023$ nên có $2023-26+1=1998$ giá trị của $y$.
- Với $x=2$: $y\ge 3^5-1=242$. Vì $242\le y\le 2023$ nên có $2023-242+1=1782$ giá trị của $y$.
Tổng số cặp nguyên dương $(x;y)$ thỏa mãn là $1998+1782=3780$. Chọn D.

Chọn C
Ta có: $3^{x+2}<9\iff 3^{x+2}<3^2\iff x+2<2\iff x<0$.
Vậy tập nghiệm là $(-\infty ;0)$.

Chọn C
Điều kiện: $x-3>0\iff x>3$.
Khi đó: $\log (x-3)<1\iff x-3<10^1\iff x<13$.
Kết hợp điều kiện ta được tập nghiệm là $(3;13)$.

Chọn A
Điều kiện: $x>2$.
Xét từng thừa số:
$3^x-3\cdot 2^{x-1}=0\iff 3^{x-1}=2^{x-1}\iff x=1$ (không thỏa điều kiện $x>2$). Với $x>1$, $3^x-3\cdot 2^{x-1}>0$.
Do đó bất phương trình tương đương:
${\log }_2(x^2-4)-3{\log }_{2}x-7\le 0$.
Giải bất phương trình trên với $x$ nguyên dương lớn hơn 2 ta được $x\in \{1;2;3;\dots ;8\}$. Có 8 giá trị nguyên của $x$ thỏa mãn.

Ta có: ${\log }_2(x+1)<3\iff \{\begin{array}{l}x+1>0\\ x+1<2^3\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x>-1\\ x<7\end{array}\iff -1<x<7$.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S=(-1;7)$.

TH1: $\{\begin{array}{l}{2}^b-2>0\\ a\cdot 3^b-20<0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}{2}^b>2\\ 3^b<\frac{20}{a}\end{array}\iff 1<b<{\log }_3\left(\frac{20}{a}\right)$.
Để có đúng ba số nguyên $b$ ($b\in \{2;3;4\}$) thì $4<{\log }_3\left(\frac{20}{a}\right)\le 5\iff 81<\frac{20}{a}\le 243\iff \frac{20}{243}\le a<\frac{20}{81}$.
Trường hợp này không có số nguyên dương $a$ thỏa mãn.
TH2: $\{\begin{array}{l}{2}^b-2<0\\ a\cdot 3^b-20>0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}{2}^b<2\\ 3^b>\frac{20}{a}\end{array}\iff {\log }_3\left(\frac{20}{a}\right)<b<1$.
Để có đúng ba số nguyên $b$ ($b\in \{0;-1;-2\}$) thì $-3\le {\log }_3\left(\frac{20}{a}\right)<-2\iff \frac{1}{27}\le \frac{20}{a}<\frac{1}{9}\iff 180<a\le 540\Rightarrow 181\le a\le 540$.
Trường hợp này có $540-181+1=360$ giá trị nguyên dương $a$ thỏa mãn.

Lấy lôgarit cơ số $3$ hai vế của bất đẳng thức $a^{4x-{\log }_{\sqrt{3}}a}\le 9^{68-y^2}$ ta có:
$(4x-2{\log }_{3}a){\log }_{3}a\le 2(68-y^2)\iff {\log }_3^{2}a-2x{\log }_{3}a+68-y^2\ge 0,\forall a>0$ (*).
Coi (*) là bất phương trình bậc hai ẩn $t={\log }_{3}a\in \mathbb{R}$. Để (*) đúng với mọi $t\in \mathbb{R}$ thì:
${\Delta }^{\prime }\le 0\iff x^2-(68-y^2)\le 0\iff x^2+y^2\le 68$.
Ta có $(x-4y{)}^2\le (1^2+(-4{)}^2)(x^2+y^2)\le 17\cdot 68=34^2\Rightarrow x-4y\le 34$.
Suy ra $P=2(x^2+y^2)+x-4y\le 2\cdot 68+34=170$.
Dấu bằng xảy ra khi $\{\begin{array}{l}\frac{x}{1}=\frac{y}{-4}\\ x-4y=34\\ x^2+y^2=68\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=2\\ y=-8\end{array}\Rightarrow 2x+y=4-8=-4$.

Đáp án chính thức theo bảng đáp án (Mã đề 132, trang 7): Chọn C.

Đáp án chính thức theo bảng đáp án (Mã đề 132, trang 7): Chọn A.

Đáp án chính thức theo bảng đáp án (Mã đề 132, trang 7): Chọn A.