Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Cấp số cộng (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Câu 61: Xét từng dãy.
a) $u_n=19n-5$: $u_{n+1}-u_n=19(n+1)-5-(19n-5)=19$ không phụ thuộc $n$, nên dãy là cấp số cộng với số hạng đầu $u_1=19-5=14$ và công sai $d=19$.
b) $u_n=-3n+1$: $u_{n+1}-u_n=-3(n+1)+1-(-3n+1)=-3$ không phụ thuộc $n$, nên dãy là cấp số cộng với $u_1=-3+1=-2$ và công sai $d=-3$.
c) $u_n=n^2+n+1$: $u_1=3,u_2=7,u_3=13$. Vì $u_2-u_1=4$ còn $u_3-u_2=6$ khác nhau nên dãy không là cấp số cộng.
d) $u_n=(-1{)}^n+10n$: $u_1=-1+10=9,u_2=1+20=21,u_3=-1+30=29$. Vì $u_2-u_1=12$ còn $u_3-u_2=8$ khác nhau nên dãy không là cấp số cộng.
Kết luận: các dãy a) và b) là cấp số cộng; a) có $u_1=14,d=19$; b) có $u_1=-2,d=-3$.

(AI giải đề cho tôi)
Ba số $10-3x,2x^2+3,7-4x$ lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi số hạng giữa bằng trung bình cộng của hai số còn lại: $$2(2x^2+3)=(10-3x)+(7-4x).$$ Giải: $4x^2+6=17-7x\iff 4x^2+7x-11=0$. Delta $\Delta =49+176=225$, $\sqrt{\Delta }=15$, nên $x=\frac{-7+15}{8}=1$ hoặc $x=\frac{-7-15}{8}=-\frac{11}{4}$. Kiểm tra: với $x=1$ ba số là $7,5,3$ (công sai $-2$); với $x=-\frac{11}{4}$ ba số là $\frac{73}{4},\frac{91}{8},12$ (công sai $-\frac{55}{8}$). Vậy $x=1$ hoặc $x=-\frac{11}{4}$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi ba góc của tam giác vuông theo thứ tự tăng dần là $a-d,a,a+d$ (cấp số cộng, $d\ge 0$). Vì tổng ba góc bằng $180^{\circ }$ nên $3a=180^{\circ }\Rightarrow a=60^{\circ }$. Tam giác vuông nên góc lớn nhất bằng $90^{\circ }$: $a+d=90^{\circ }\Rightarrow d=30^{\circ }$. Vậy ba góc là $30^{\circ },60^{\circ },90^{\circ }$. Kiểm tra: $30+60=90$ (công sai $30$), tổng $180^{\circ }$, có một góc vuông — thỏa mãn.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi số hạng đầu là $u_1$, công sai là $d$, với $u_n=u_1+(n-1)d$ và $S_n=\frac{n(u_1+u_n)}{2}$.

a) Hệ: $u_5=u_1+4d=19$, $u_9=u_1+8d=35$. Trừ hai phương trình: $4d=16\Rightarrow d=4$; suy ra $u_1=19-16=3$. Số hạng thứ 20: $u_{20}=3+19\cdot 4=79$. Tổng: $S_{20}=\frac{20(3+79)}{2}=820$.

b) $u_2-u_3+u_5=(u_1+d)-(u_1+2d)+(u_1+4d)=u_1+3d=10$. $u_4+u_6=(u_1+3d)+(u_1+5d)=2u_1+8d=26\Rightarrow u_1+4d=13$. Suy ra $d=3$, $u_1=10-9=1$. Khi đó $u_{20}=1+19\cdot 3=58$, $S_{20}=\frac{20(1+58)}{2}=590$.

c) $u_3+u_5=(u_1+2d)+(u_1+4d)=2u_1+6d=14\Rightarrow u_1+3d=7$. $S_{12}=12u_1+\frac{12\cdot 11}{2}d=12u_1+66d=129\Rightarrow 2u_1+11d=21,5$. Thay $u_1=7-3d$: $14-6d+11d=21,5\Rightarrow 5d=7,5\Rightarrow d=1,5$, $u_1=7-4,5=2,5$. Khi đó $u_{20}=2,5+19\cdot 1,5=31$, $S_{20}=\frac{20(2,5+31)}{2}=335$.

Kết luận:
a) $u_1=3$, $d=4$, $u_{20}=79$, $S_{20}=820$.
b) $u_1=1$, $d=3$, $u_{20}=58$, $S_{20}=590$.
c) $u_1=2,5$, $d=1,5$, $u_{20}=31$, $S_{20}=335$.

(AI giải đề cho tôi)
Trong cấp số cộng, $u_m+u_n=u_p+u_q$ khi $m+n=p+q$. Ta có $5+7=12$ và $2+10=12$, nên $u_2+u_{10}=u_5+u_7=19$. Cụ thể: $u_5+u_7=(u_1+4d)+(u_1+6d)=2u_1+10d=19$ và $u_2+u_{10}=(u_1+d)+(u_1+9d)=2u_1+10d=19$. Vậy đáp án là D.

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số cộng có năm số hạng với $u_1=2$, $u_5=22$. Ta có $u_5=u_1+4d\Rightarrow 22=2+4d\Rightarrow d=5$. Ba số hạng xen giữa là $u_2=2+5=7$, $u_3=12$, $u_4=17$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số cộng bắt đầu bằng $u_1=-3$, xen kẽ $n$ số hạng nên số 23 là số hạng thứ $n+2$. Ta có $u_{n+2}=-3+(n+1)\cdot 2=23\Rightarrow 2(n+1)=26\Rightarrow n+1=13\Rightarrow n=12$. Vậy chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số cộng có $u_1=\frac{3}{2}$, $d=\frac{1}{2}$ nên $u_n=u_1+(n-1)d=\frac{3}{2}+\frac{n-1}{2}=\frac{n+2}{2}=1+\frac{n}{2}$.
a) Sai: công thức đúng là $u_n=1+\frac{n}{2}$, không phải $1+\frac{n}{3}$.
b) Đúng: $u_8=1+\frac{8}{2}=5$.
c) Sai: $\frac{n+2}{2}=\frac{15}{4}\Rightarrow n=\frac{11}{2}\notin {\mathbb{N}}^{\ast }$, nên $\frac{15}{4}$ không là số hạng của cấp số cộng.
d) Sai: $S_{100}=\frac{100\left(2\cdot \frac{3}{2}+99\cdot \frac{1}{2}\right)}{2}=50\left(3+\frac{99}{2}\right)=50\cdot \frac{105}{2}=2625\ne 2620$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $u_n=u_1+(n-1)d=\frac{3}{2}+\frac{n-1}{2}=1+\frac{n}{2}$, không phải $1+\frac{n}{3}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$u_8=1+\frac{8}{2}=5$, đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
Giải $\frac{n+2}{2}=\frac{15}{4}$ được $n=\frac{11}{2}$ không nguyên, nên $\frac{15}{4}$ không là số hạng.
d) (AI giải đề cho tôi)
$S_{100}=\frac{100(3+99/2)}{2}=2625\ne 2620$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng dãy:

1) $a_n=4n-3$: hiệu $a_{n+1}-a_n=4(n+1)-3-(4n-3)=4$ không đổi, nên $(a_n)$ là cấp số cộng với công sai $d=4$.

2) $b_n=\frac{2-3n}{4}$: hiệu $b_{n+1}-b_n=\frac{2-3(n+1)}{4}-\frac{2-3n}{4}=\frac{-3}{4}$ không đổi, nên $(b_n)$ là cấp số cộng với công sai $d=-\frac{3}{4}$.

3) $c_n=n^2$: $c_1=1,c_2=4,c_3=9$; các hiệu $c_2-c_1=3$, $c_3-c_2=5$ không bằng nhau, nên $(c_n)$ không phải cấp số cộng.

Vậy có 2 dãy là cấp số cộng: $(a_n)$ và $(b_n)$.

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số cộng $-2;x;6;y$ có công sai $d=6-x=x-(-2)$, suy ra $2x=6+(-2)=4\Rightarrow x=2$. Khi đó $d=x-(-2)=4$, nên $y=6+d=10$. Kiểm tra: dãy $-2;2;6;10$ là cấp số cộng với công sai $4$. Vậy $P=x^2+y^2=2^2+10^2=4+100=104$, đúng như đề bài cho.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $u_1$ là số hàng đầu, công sai $d=3$, số số hạng $n=20$, tổng $S_{20}=650$.

Công thức tổng của cấp số cộng:
$$S_{20}=\frac{20}{2}\left(2u_1+(20-1)d\right)=10\left(2u_1+19\cdot 3\right)=10\left(2u_1+57\right).$$

Theo đề bài:
$$10\left(2u_1+57\right)=650\Rightarrow 2u_1+57=65\Rightarrow 2u_1=8\Rightarrow u_1=4.$$

Kiểm tra: $S_{20}=10(2\cdot 4+57)=10\cdot 65=650$ đúng.

Vậy số hàng đầu của cấp số cộng là $u_1=4$.

(AI giải đề cho tôi)
Ba số $2x,3x+2,5x+3$ lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi số hạng ở giữa bằng trung bình cộng của hai số còn lại:
$$2(3x+2)=2x+(5x+3).$$
Giải phương trình:
$$6x+4=7x+3\Rightarrow x=1.$$
Kiểm tra: với $x=1$ ta được ba số $2,5,8$, có công sai $d=3$, đúng là cấp số cộng.
Vậy $x=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ 1 giờ đêm đến 12 giờ trưa, tại các giờ đúng 1, 2, ..., 12 chuông đánh lần lượt 1, 2, ..., 12 tiếng. Tổng số tiếng tại giờ đúng là cấp số cộng: $S=1+2+\cdots +12=\frac{(1+12)\cdot 12}{2}=78$ tiếng. Ngoài ra, tại các mốc nửa giờ không phải giờ đúng (1 giờ 30, 2 giờ 30, ..., 11 giờ 30) chuông đánh 1 tiếng, tức có 11 mốc như vậy, cộng thêm 11 tiếng. Vậy tổng cộng chuông đánh $78+11=89$ tiếng.

(AI giải đề cho tôi)
Số khúc gỗ theo từng lượt lập thành cấp số cộng: 21, 20, 19, ..., 15 với số hạng đầu $u_1=21$, công sai $d=-1$, số hạng cuối $u_n=15$. Số lượt: $n=\frac{15-21}{-1}+1=7$. Tổng số khúc gỗ: $S_7=\frac{7(21+15)}{2}=\frac{7\cdot 36}{2}=126$. Vậy tổng số khúc gỗ đã được xếp là 126 khúc.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng. Dãy có tất cả số hạng bằng nhau, ví dụ $u_n=c$ (c tùy ý, $c\ne 0$), thì $\frac{u_{n+1}}{u_n}=1$ với mọi $n$, tức là cấp số nhân với công bội $q=1$.
b) Đúng. Dãy không đổi $u_n=c$ có $u_{n+1}-u_n=0$ với mọi $n$, nên là cấp số cộng với công sai $d=0$.
c) Đúng. Với cấp số cộng công sai $d>0$: $u_{n+1}-u_n=d>0$ với mọi $n$, nên dãy số tăng.
d) Sai. Công sai dương chỉ bảo đảm dãy tăng, không bảo đảm các số hạng dương. Ví dụ cấp số cộng $-5;-3;-1;1;\dots$ có $d=2>0$ nhưng các số hạng đầu âm.
a) (AI giải đề cho tôi)
Dãy không đổi $u_n=c\ne 0$ có tỉ số $\frac{u_{n+1}}{u_n}=1$ không đổi, nên là cấp số nhân với công bội $q=1$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Dãy không đổi có $u_{n+1}-u_n=0$ với mọi $n$, nên là cấp số cộng với công sai $d=0$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Vì $u_{n+1}-u_n=d>0$ với mọi $n$ nên dãy số tăng.
d) (AI giải đề cho tôi)
Công sai dương chỉ bảo đảm dãy tăng. Ví dụ $-5;-3;-1;1;\dots$ có $d=2>0$ nhưng có số hạng âm, nên không phải dãy số dương.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $2u_{n+1}=u_n+u_{n+2}$ suy ra $u_{n+2}-u_{n+1}=u_{n+1}-u_n$, tức dãy là cấp số cộng với công sai $d=u_2-u_1=2024-2023=1$.
a) Với $n\ge 2$: $v_n=u_n-u_{n-1}=d=1$ không đổi → đúng.
b) $u_n=u_{n-1}+d=u_{n-1}+1$ → đúng.
c) $u_3=u_2+d=2024+1=2025$ → đúng.
d) $u_{2024}=u_1+2023d=2023+2023=4046\ne 4044$ → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Dãy là cấp số cộng công sai $d=1$, nên $v_n=u_n-u_{n-1}=1$ không đổi với mọi $n\ge 2$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì $d=1$ nên $u_n=u_{n-1}+1$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$u_3=u_2+d=2024+1=2025$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$u_{2024}=u_1+2023d=2023+2023=4046\ne 4044$.

(AI giải đề cho tôi)
Dãy $(u_n)$ có $u_n=3n-1$ với $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

Sáu số hạng đầu:
$u_1=3\cdot 1-1=2$
$u_2=3\cdot 2-1=5$
$u_3=3\cdot 3-1=8$
$u_4=3\cdot 4-1=11$
$u_5=3\cdot 5-1=14$
$u_6=3\cdot 6-1=17$

Đây là cấp số cộng với số hạng đầu $u_1=2$, công sai $d=3$.

Tổng 6 số hạng đầu:
$$S_6=\frac{6(u_1+u_6)}{2}=\frac{6(2+17)}{2}=3\cdot 19=57.$$

Kiểm tra bằng cộng trực tiếp: $2+5+8+11+14+17=57$. Vậy $S_6=57$.

Do $(u_n)$ là cấp số cộng nên ta có hệ thức truy hồi: $\{\begin{array}{l}2u_1+21d=23\\ 4d=4\end{array}$

$\iff$ $\{\begin{array}{l}{u}_1=1\\ d=1\end{array}$ . Vậy số hạng đầu tiên là $u_1=1$ và số hạng tổng quát là $u_n=n$ với $\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$

(AI giải đề cho tôi)
Tổng của cấp số cộng: $S_n=\frac{n}{2}(2u_1+(n-1)d)=\frac{n}{2}(6+4(n-1))=n(2n+1)$. Theo đề $n(2n+1)=210\iff 2n^2+n-210=0$. Giải phương trình bậc hai: $\Delta =1+1680=1681=41^2$, nên $n=\frac{-1+41}{4}=10$ (nhận, vì $n$ nguyên dương; nghiệm $n=-10.5$ loại). Vậy $n=10$, chọn đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số cộng có $u_3=21$, $u_5=51$. Công sai: $2d=u_5-u_3=51-21=30\Rightarrow d=15$. Số hạng đầu: $u_1=u_3-2d=21-30=-9$. Vậy chọn D.