Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Cấp số cộng (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
$u_1=S_1=3+5=8$. $u_2=S_2=12+10=22$, nên $d=u_2-u_1=22-8=14$? Kiểm tra lại: $S_2=3\cdot 4+10=22$, $d=14$. Nhưng với cấp số cộng thì $S_n=\frac{d}{2}{n}^2+(u_1-\frac{d}{2})n$, so sánh: $\frac{d}{2}=3\Rightarrow d=6$, $u_1-3=5\Rightarrow u_1=8$. Mâu thuẫn vì $S_n=3n^2+5n$ không phải tổng cấp số cộng với $d=6$? Thực ra $u_n=S_n-S_{n-1}=6n+2$, là cấp số cộng công sai $d=6$, $u_1=8$. Vậy $u_1=8;d=6$, chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng $n$ số hạng đầu của cấp số cộng: $S_n=\frac{n}{2}\left(2u_1+(n-1)d\right)=\frac{n}{2}\left(6+4(n-1)\right)=\frac{n}{2}(4n+2)=n(2n+1)$. Theo đề $S_n=300$ nên $2n^2+n-300=0$. Biệt thức $\Delta =1+2400=2401=49^2$, do đó $n=\frac{-1+49}{4}=12$ (nhận, vì $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$; nghiệm $n=-12,5$ loại). Vậy $n=12$, chọn đáp án D. Kiểm tra: $S_{12}=12\cdot 25=300$. Đúng.

Đáp án theo bảng đáp án chính thức (mã đề 6789, PHẦN II câu 1): ĐĐSD. Cấp số cộng có $u_2=6,u_3=2$ nên $d=u_3-u_2=-4$; $u_1=u_2-d=10$; $u_n=-4n+14$ (không phải $-4n+6$); $S_{15}=\frac{15}{2}(u_1+u_{15})=-270$.
a) Đúng. $d=u_3-u_2=2-6=-4$.
b) Đúng. $u_1=u_2-d=6-(-4)=10$.
c) Sai. $u_n=u_1+(n-1)d=10-4(n-1)=-4n+14$, không phải $-4n+6$.
d) Đúng. $S_{15}=\frac{15}{2}(u_1+u_{15})=\frac{15}{2}(10+(10-4\cdot 14))=\frac{15}{2}(10-46)=\frac{15}{2}\cdot (-36)=-270$.

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số cộng với $u_2=2,u_3=6$ nên công sai $d=u_3-u_2=4$, do đó ý a) $d=3$ là Sai. Số hàng đầu $u_1=u_2-d=2-4=-2$, ý b) Đúng. Số hàng tổng quát $u_n=u_1+(n-1)d=-2+4(n-1)=4n-6$, ý c) Đúng. Tổng 20 số hàng đầu: $S_{20}=\frac{20}{2}(u_1+u_{20})=10\left(-2+(80-6)\right)=10\cdot 72=720$, ý d) Đúng. Kết quả khớp đáp án nguồn (SDDD).
a) (AI giải đề cho tôi)
$d=u_3-u_2=6-2=4\ne 3$ nên ý a) Sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
$u_1=u_2-d=2-4=-2$ nên ý b) Đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
$u_n=u_1+(n-1)d=-2+4(n-1)=4n-6$ nên ý c) Đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
$u_{20}=4\cdot 20-6=74$, $S_{20}=\frac{20}{2}(-2+74)=720$ nên ý d) Đúng.

Theo bảng đáp án nguồn (trang 17, mã đề 2345, PHẦN II câu 2): ĐĐSD.
- a) Đúng: $d=u_3-u_2=2-6=-4$.
- b) Đúng: $u_1=u_2-d=6-(-4)=10$.
- c) Sai: $u_n=u_1+(n-1)d=10-4(n-1)=-4n+14$, không phải $-4n+6$.
- d) Đúng: $S_{15}=\frac{15}{2}(2\cdot 10+14\cdot (-4))=-270$.
a) $d=u_3-u_2=2-6=-4$. Đúng.
b) $u_1=u_2-d=6-(-4)=10$. Đúng.
c) $u_n=u_1+(n-1)d=10-4(n-1)=-4n+14\ne -4n+6$. Sai.
d) $S_{15}=\frac{15}{2}\left(2u_1+14d\right)=\frac{15}{2}(20-56)=\frac{15}{2}(-36)=-270$. Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số cộng với $u_2=2,u_3=6$ nên công sai $d=u_3-u_2=6-2=4$, do đó ý a) $d=3$ là Sai. Số hàng đầu $u_1=u_2-d=2-4=-2$, ý b) Đúng. Số hàng tổng quát $u_n=u_1+(n-1)d=-2+4(n-1)=4n-6$, ý c) Đúng. Tổng 20 số hàng đầu: $S_{20}=\frac{20(u_1+u_{20})}{2}$ với $u_{20}=4\cdot 20-6=74$, nên $S_{20}=10(-2+74)=720$, ý d) Đúng. Kết quả khớp đáp án nguồn SĐDD.
a) (AI giải đề cho tôi)
$d=u_3-u_2=6-2=4\ne 3$, nên ý a) Sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
$u_1=u_2-d=2-4=-2$, ý b) Đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
$u_n=u_1+(n-1)d=-2+4(n-1)=4n-6$, ý c) Đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
$u_{20}=74$, $S_{20}=\frac{20(-2+74)}{2}=720$, ý d) Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Số quả ở 20 giỏ lập thành cấp số cộng $(u_n)$ với công sai $d$ không đổi. Theo đề: $u_4+u_{17}=42$.

Ta có $u_4=u_1+3d$ và $u_{17}=u_1+16d$, nên:
$$u_4+u_{17}=2u_1+19d=42.$$

Tổng số quả trong 20 giỏ là:
$$S_{20}=\frac{20}{2}(u_1+u_{20})=10(2u_1+19d).$$

Vì $u_1+u_{20}=2u_1+19d=42$ (tính chất tổng hai số hạng cách đều hai đầu của cấp số cộng), suy ra:
$$S_{20}=10\cdot 42=420.$$

Vậy Minh đã bỏ tất cả $420$ quả óc chó vào các giỏ.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 26: 1) $T_2=T_1+18=150+18=168$; $T_3=T_2+18=168+18=186$. Vậy lương năm thứ 3 là $186$ triệu đồng. 2) Với mọi $n\ge 2$, ta có $T_n-T_{n-1}=18>0$, nên $T_n>T_{n-1}$ với mọi $n\ge 2$. Do đó dãy số $\left(T_n\right)$ là dãy số tăng. (Thực chất $\left(T_n\right)$ là cấp số cộng với số hạng đầu $T_1=150$ và công sai $d=18>0$, nên là dãy tăng; số hạng tổng quát $T_n=150+18(n-1)=18n+132$.)

(AI giải đề cho tôi)
Câu 28: Cho cấp số cộng $(u_n)$ với $u_1=-3$, $d=5$.

a) Công thức số hạng tổng quát:
$$u_n=u_1+(n-1)d=-3+5(n-1)=5n-8,\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }.$$

b) Giải phương trình $u_n=492$:
$$5n-8=492\Rightarrow 5n=500\Rightarrow n=100\in {\mathbb{N}}^{\ast }.$$
Vậy 492 là số hạng thứ 100 của cấp số cộng.

c) Giải phương trình $u_n=300$:
$$5n-8=300\Rightarrow 5n=308\Rightarrow n=\frac{308}{5}=61,6\notin {\mathbb{N}}^{\ast }.$$
Vậy 300 không là số hạng nào của cấp số cộng trên.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có hệ: $u_5=u_1+4d=19$ và $u_9=u_1+8d=35$. Trừ hai phương trình: $4d=16$, suy ra $d=4$. Thay vào: $u_1=19-4\cdot 4=3$. Vậy số hàng đầu $u_1=3$ và công sai $d=4$. Kiểm tra: $u_5=3+4\cdot 4=19$ đúng, $u_9=3+8\cdot 4=35$ đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Dãy $(u_n)$ với $u_n=0,3n+5$ là cấp số cộng vì $u_{n+1}-u_n=0,3$ (không đổi), công sai $d=0,3$.

Số hạng đầu: $u_1=0,3\cdot 1+5=5,3$.

Số hạng thứ 100: $u_{100}=0,3\cdot 100+5=35$.

Tổng 100 số hạng đầu:
$$S_{100}=\frac{100(u_1+u_{100})}{2}=50\cdot (5,3+35)=50\cdot 40,3=2015.$$

Vậy $S_{100}=2015$.

(AI giải đề cho tôi)
Ba số $1+2a,2a^2-1,-2a$ lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi số hạng giữa bằng trung bình cộng của hai số còn lại: $$2(2a^2-1)=(1+2a)+(-2a)=1.$$ Suy ra $4a^2-2=1\Rightarrow 4a^2=3\Rightarrow a^2=\frac{3}{4}\Rightarrow a=\pm \frac{\sqrt{3}}{2}$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng dãy: A) $u_n=3^{n+1}$ là cấp số nhân, không phải cấp số cộng. B) $u_n=\frac{2}{n+1}$: hiệu $u_{n+1}-u_n=\frac{2}{n+2}-\frac{2}{n+1}=\frac{-2}{(n+1)(n+2)}$ phụ thuộc $n$, không phải cấp số cộng. C) $u_n=\sqrt{n^2+1}$: ví dụ $u_1=\sqrt{2},u_2=\sqrt{5},u_3=\sqrt{10}$, các hiệu không bằng nhau. D) $u_n=\frac{5n-2}{3}$ có dạng $u_n=dn+u_0$ với $d=\frac{5}{3}$, khi đó $u_{n+1}-u_n=\frac{5}{3}$ không đổi với mọi $n$, nên đây là cấp số cộng.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng $n$ số hàng đầu của cấp số cộng: $S_n=\frac{n}{2}\left[2u_1+(n-1)d\right]=\frac{n}{2}\left[6+4(n-1)\right]=\frac{n(4n+2)}{2}=n(2n+1)$. Theo đề $S_n=253$ nên $2n^2+n-253=0$. Giải phương trình: $\Delta =1+4\cdot 2\cdot 253=2025=45^2$, do đó $n=\frac{-1+45}{4}=11$ (nhận $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$; nghiệm âm loại). Vậy $n=11$, chọn đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $S_{50}=\frac{50}{2}(2u_1+49d)=25(10+49d)=5150$, suy ra $10+49d=206\Rightarrow d=4$. Vậy $u_n=u_1+(n-1)d=5+4(n-1)=4n+1=1+4n$. Kiểm tra: $u_1=5$ đúng; $S_{50}=25(10+196)=25\cdot 206=5150$ đúng. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $u_{14}-u_4=10d=18-(-12)=30\Rightarrow d=3$. Suy ra $u_1=u_4-3d=-12-9=-21$. Tổng 16 số hạng đầu: $S_{16}=\frac{16}{2}\left(2u_1+15d\right)=8(-42+45)=8\cdot 3=24$. Vậy chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Trong 12 giờ, đồng hồ đánh tổng số tiếng là $1+2+\cdots +12=\frac{12\cdot 13}{2}=78$. Trong một ngày (24 giờ), chu trình lặp lại 2 lần nên tổng số tiếng đánh được là $2\cdot 78=156$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
3 năm = 12 quý. Mức lương các quý lập thành cấp số cộng với $u_1=4,5$, công sai $d=0,3$. Tổng 12 quý: $S_{12}=\frac{12}{2}\left(2\cdot 4,5+11\cdot 0,3\right)=6(9+3,3)=6\cdot 12,3=73,8$ triệu đồng. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Sau $n$ tuần, tổng số tiền bạn An để dành được là $40+8(n-1)$ đồng (tuần đầu để dành 40 đồng, mỗi tuần sau tổng tiền để dành tăng thêm 8 đồng). Để mua được quyển sách giá 400 đồng, cần:
$$40+8(n-1)\ge 400\iff 8n\ge 368\iff n\ge 46.$$
Kiểm tra: với $n=46$, tổng tiền là $40+8\cdot 45=400$ đồng, đủ mua sách; với $n=45$, tổng tiền là $40+8\cdot 44=392$ đồng, chưa đủ.
Vậy sau ít nhất 46 tuần bạn An có đủ tiền mua quyển sách. Chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
a) Với cấp số cộng $(u_n)$, ta có $u_n=u_1+(n-1)d$.

Từ $9u_2-u_7=1$: $9(u_1+d)-(u_1+6d)=1\Rightarrow 8u_1+3d=1$.

Từ $2u_4-u_{10}=-10$: $2(u_1+3d)-(u_1+9d)=-10\Rightarrow u_1-3d=-10$.

Cộng hai phương trình: $9u_1=-9\Rightarrow u_1=-1$. Suy ra $-1-3d=-10\Rightarrow d=3$.

b) $u_n=u_1+(n-1)d=-1+3(n-1)=3n-4$.

Kiểm tra: $u_2=2$, $9u_2-u_7=18-17=1$ đúng; $u_4=8$, $u_{10}=26$, $2u_4-u_{10}=16-26=-10$ đúng.

c) $S_{33}=\frac{33(2u_1+32d)}{2}=\frac{33(-2+96)}{2}=\frac{33\cdot 94}{2}=1551$.

d) Tổng $T$ gồm $55-33+1=23$ số hạng, với $u_{33}=3\cdot 33-4=95$, $u_{55}=3\cdot 55-4=161$.

$T=\frac{23(95+161)}{2}=\frac{23\cdot 256}{2}=23\cdot 128=2944$.