Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Cấp số cộng (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số cộng: $u_{21}=u_1+20d\Rightarrow 50=10+20d\Rightarrow 20d=40\Rightarrow d=2$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Bạn Nam thuê xe từ 8h đến 16h, tức 8 giờ. Giờ đầu tiên giá 40 nghìn đồng, 7 giờ tiếp theo mỗi giờ 25 nghìn đồng. Tổng tiền: $40+7\cdot 25=40+175=215$ (nghìn đồng). Kết quả trùng với đáp án nguồn (215).

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng: $u_n=u_1+(n-1)d$. Với $u_1=18$, $d=-1$, $n=32$: $u_{32}=18+31\cdot (-1)=18-31=-13$. Kết quả trùng với đáp án B trong bảng đáp án (mã đề 1102, câu 1).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $u_n=922-20n$ (triệu đồng) vì mỗi năm giá giảm 20 triệu đồng.
a) $u_{11}=922-20\cdot 11=702<720$ → đúng.
b) $u_2=922-40=882$ → đúng.
c) Mỗi năm giá giảm cùng một lượng 20 triệu nên $(u_n)$ là cấp số cộng với $u_1=902$, công sai $d=-20$ → đúng.
d) Giá nhỏ hơn một nửa giá trị ban đầu: $922-20n<461\iff 20n>461\iff n>23,05$, vậy chỉ cần sau ít nhất 24 năm (tại $n=24$: $u_{24}=442<461$), không cần 25 năm → khẳng định 'ít nhất 25 năm' sai. Kết quả khớp đáp án nguồn (3a Đ, 3b Đ, 3c Đ, 3d S).
a) (AI giải đề cho tôi)
$u_{11}=922-20\cdot 11=702<720$ triệu đồng.
b) (AI giải đề cho tôi)
$u_2=922-2\cdot 20=882$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Giá giảm đều 20 triệu mỗi năm nên $(u_n)$ là cấp số cộng công sai $d=-20$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$922-20n<461\iff n>23,05$, nên chỉ cần ít nhất 24 năm, không phải 25 năm.

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số cộng có $u_1=18$, $d=-1$. Áp dụng công thức số hạng tổng quát: $u_{32}=u_1+31d=18+31\cdot (-1)=18-31=-13$. Vậy $u_{32}=-13$, khớp với đáp án C (đáp án trong bảng mã đề 1101, câu 10 là C).

(AI giải đề cho tôi)
Giá máy sau năm thứ $n$: $u_n=922-20n$ (triệu đồng), là cấp số cộng với $u_1=902$, công sai $d=-20$.

a) Một nửa giá trị ban đầu là $461$ triệu đồng. Giải $922-20n<461\iff 20n>461\iff n>23,05$, vậy năm đầu tiên giá nhỏ hơn một nửa là năm thứ $24$, không phải 'ít nhất 25 năm'. Do đó khẳng định a) SAI.

b) Mỗi năm giá giảm đều 20 triệu đồng nên $u_{n+1}-u_n=-20$, $(u_n)$ là cấp số cộng công sai $d=-20$. Khẳng định b) ĐÚNG.

c) $u_2=922-2\cdot 20=882$ (triệu đồng). Khẳng định c) ĐÚNG.

d) $u_{11}=922-11\cdot 20=702<720$ (triệu đồng). Khẳng định d) ĐÚNG.

Kết quả a) S, b) D, c) D, d) D khớp hoàn toàn với bảng đáp án nguồn (mã đề 1101, hàng Phần II: 3a S, 3b D, 3c D, 3d D). Lưu ý ghi chú 'errors' trong dữ liệu nguồn là nhầm lẫn: khẳng định d) trong payload đã được đánh giá là ĐÚNG (isCorrect=true), không có xung đột với đáp án nguồn.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Giải $922-20n<461\iff n>23,05$, nên chỉ cần sau $24$ năm (không phải ít nhất 25 năm) giá máy nhỏ hơn một nửa giá trị ban đầu.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Giá giảm đều 20 triệu mỗi năm nên $u_{n+1}-u_n=-20$, cấp số cộng công sai $d=-20$.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$u_2=922-40=882$ (triệu đồng).
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$u_{11}=922-220=702<720$ (triệu đồng).

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số cộng có $u_1=3$, $d=-2$. Áp dụng công thức $u_n=u_1+(n-1)d$: $u_5=3+4\cdot (-2)=3-8=-5$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi ba cạnh là $a-d,a,a+d$ (với $d>0$), cạnh huyền là $a+d$. Chu vi: $3a=3\Rightarrow a=1$. Theo định lý Pythagoras: $(a-d{)}^2+a^2=(a+d{)}^2\Rightarrow a^2-2ad+d^2+a^2=a^2+2ad+d^2\Rightarrow a^2=4ad\Rightarrow d=\frac{a}{4}=\frac{1}{4}$. Vậy ba cạnh là $\frac{3}{4},1,\frac{5}{4}$ (kiểm tra: $\frac{9}{16}+1=\frac{25}{16}$ đúng). Diện tích $S=\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{4}\cdot 1=\frac{3}{8}$. Kết quả khớp với đáp án nguồn: A.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi cấp số cộng có số hạng đầu $u_1$ và công sai $d$. Theo đề: $u_2=u_1+d=4$ và $u_9=u_1+8d=81$. Trừ hai phương trình: $7d=77\Rightarrow d=11$, suy ra $u_1=4-11=-7$. Số hạng thứ 2026: $u_{2026}=u_1+2025d=-7+2025\cdot 11=-7+22275=22268$. Vậy $u_{2026}=22268$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 2a) Với mỗi $k=1,\dots ,2025$, ta có $u_{k+1}-u_k=d=\frac{1}{2025}>0$ nên $u_k>0$. Nhân tử và mẫu với $\sqrt{u_{k+1}}-\sqrt{u_k}$:
$$\left(u_k\sqrt{u_{k+1}}+u_{k+1}\sqrt{u_k}\right)\left(\sqrt{u_{k+1}}-\sqrt{u_k}\right)=\sqrt{u_k{u}_{k+1}}(u_{k+1}-u_k)=d\sqrt{u_k{u}_{k+1}}.$$
Do đó
$$\frac{1}{u_k\sqrt{u_{k+1}}+u_{k+1}\sqrt{u_k}}=\frac{1}{d}\cdot \frac{\sqrt{u_{k+1}}-\sqrt{u_k}}{\sqrt{u_k{u}_{k+1}}}=\frac{1}{d}\left(\frac{1}{\sqrt{u_k}}-\frac{1}{\sqrt{u_{k+1}}}\right).$$
Tổng dạng telescoping:
$$S=\frac{1}{d}\left(\frac{1}{\sqrt{u_1}}-\frac{1}{\sqrt{u_{2026}}}\right).$$
Với $u_1=1$, $d=\frac{1}{2025}$: $u_{2026}=u_1+2025d=1+2025\cdot \frac{1}{2025}=2$. Vậy
$$S=2025\left(1-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=\frac{2025(2-\sqrt{2})}{2}=\frac{4050-2025\sqrt{2}}{2}.$$

Câu 2b) Thay $x=2$: tử $=\sqrt{9}-\sqrt{25}+2=3-5+2=0$, mẫu $=(x-2{)}^2\to 0$, dạng $\frac{0}{0}$.
Viết $f(x)=\sqrt{6x-3}-\sqrt{20x-15}+x$. Ta có $f(2)=0$ và
$$f^{\prime }(x)=\frac{3}{\sqrt{6x-3}}-\frac{10}{\sqrt{20x-15}}+1,f^{\prime }(2)=1-2+1=0,$$
nên cần khai triển đến cấp 2:
$$f^{\prime \prime }(x)=-\frac{9}{(6x-3{)}^{3/2}}+\frac{100}{(20x-15{)}^{3/2}},f^{\prime \prime }(2)=-\frac{9}{27}+\frac{100}{125}=-\frac{1}{3}+\frac{4}{5}=\frac{7}{15}.$$
Theo Taylor: $f(x)=\frac{f^{\prime \prime }(2)}{2}(x-2{)}^2+o((x-2{)}^2)=\frac{7}{30}(x-2{)}^2+o((x-2{)}^2)$.
Vậy
$$\underset{x\to 2}{\lim }\frac{\sqrt{6x-3}-\sqrt{20x-15}+x}{x^2-4x+4}=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{\frac{7}{30}(x-2{)}^2}{(x-2{)}^2}=\frac{7}{30}.$$

(AI giải đề cho tôi)
Ba số $x;3;7$ lập thành cấp số cộng nên $2\cdot 3=x+7$, suy ra $x=6-7=-1$. Vậy chọn đáp án D, trùng với đáp án nguồn (đề 1102, câu 5: D).

(AI giải đề cho tôi)
Ba số $x;3;7$ lập thành cấp số cộng nên $2\cdot 3=x+7$, suy ra $x=6-7=-1$. Vậy đáp án C, khớp với đáp án nguồn (đề 1101, câu 11: C).

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số cộng có $u_8=u_1+7d$. Suy ra $26=\frac{1}{3}+7d\Rightarrow 7d=26-\frac{1}{3}=\frac{77}{3}\Rightarrow d=\frac{11}{3}$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (Câu 2 chọn A).

* $x;x+d;x+2d;x+3d,(x>0,d>0)$
* $x+3d=5x\iff 4x-3d=0$.
* $4x+6d=360$
Vậy $x=30^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 16: Xét từng dãy. A: $u_{n+1}=u_n+2$ nên $u_{n+1}-u_n=2$ không đổi với mọi $n\ge 1$, đây là cấp số cộng công sai $d=2$, số hạng đầu $u_1=1$. B: $u_1=3$, $u_2=7$, $u_3=15$; hiệu $u_2-u_1=4\ne 8=u_3-u_2$, không phải cấp số cộng. C: $1;3;6;10;15$ có các hiệu $2;3;4;5$ không bằng nhau, không phải cấp số cộng. D: $-1;1;-1;1$ có các hiệu $2;-2;2$ không bằng nhau, không phải cấp số cộng. Vậy chỉ dãy A là cấp số cộng.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng dãy số ở Câu 17:
- a) $u_n=4n$: $u_{n+1}-u_n=4(n+1)-4n=4$ không đổi, nên $(u_n)$ là cấp số cộng với công sai $d=4$.
- b) $v_n=2n^2+1$: $v_{n+1}-v_n=2(n+1{)}^2+1-(2n^2+1)=4n+2$ phụ thuộc vào $n$, nên $(v_n)$ không phải cấp số cộng.
- c) $w_n=\frac{n}{3}-7$: $w_{n+1}-w_n=\frac{1}{3}$ không đổi, nên $(w_n)$ là cấp số cộng với công sai $d=\frac{1}{3}$.
- d) $t_n=\sqrt{5}-5n$: $t_{n+1}-t_n=-5$ không đổi, nên $(t_n)$ là cấp số cộng với công sai $d=-5$.
Vậy có 3 dãy là cấp số cộng. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Ba số $1+2a;2a^2-1;-2a$ lập cấp số cộng khi $2(2a^2-1)=(1+2a)+(-2a)$. Vế phải bằng $1$, nên $4a^2-2=1\Rightarrow a^2=\frac{3}{4}\Rightarrow a=\pm \frac{\sqrt{3}}{2}$. Vậy chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng dãy: A) $u_n=2n+5$ có $u_{n+1}-u_n=2$ nên là cấp số cộng. B) 49, 43, 37, 31, 25 có hiệu liên tiếp bằng $-6$ nên là cấp số cộng. C) $u_n=1+3^n$: $u_1=4,u_2=10,u_3=28$; hiệu $u_2-u_1=6\ne u_3-u_2=18$, không phải cấp số cộng. D) $u_n=(n+3{)}^2-n^2=6n+9$ có $u_{n+1}-u_n=6$ nên là cấp số cộng. Vậy dãy không phải cấp số cộng là C.

(AI giải đề cho tôi)
Bốn số $5;x;15;y$ lập thành cấp số cộng với công sai $d$. Ta có $x=5+d$, $15=5+2d\Rightarrow d=5$, suy ra $x=10$, $y=15+5=20$. Khi đó $3x+2y=3\cdot 10+2\cdot 20=30+40=70$. Vậy chọn đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất cấp số cộng: $u_2=u_1+d=7+2=9$. Vậy đáp án là B.