Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Cấp số cộng (Toán học Lớp 11)

Đáp số: 195
Ta có số tiền lương nhận được ở mỗi quý lập thành một cấp số cộng với số hàng đầu $u_1=13,5$ và công sai $d=0,5$ .
Do đó tổng số tiền lương một công nhân nhận được sau ba năm làm việc cho công ty là
$$S_{12}=\left(2u_1+11d\right).\frac{12}{2}=\left(2.13,5+11.0,5\right).6=195\text{triệu đoˆˋng}.$$

Gọi cạnh nhỏ nhất của đa giác là $u_1$ và số cạnh của đa giác là n. Ta có $15=u_1+(n-1).3$ hay $u_1=18-3n>0\to n<6$. Tổng các cạnh là 45 cm, ta có $$45=\frac{n(15+18-3n)}{2}\iff 3n^2-33n+90=0\iff \left[\begin{array}{c}n=5\\ n=6(l)\end{array}\right].$$ Giải phương trình với $n\in N^{\ast };n<6$, ta được $n=5$. Vậy đa giác có 5 cạnh.

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số cộng có $u_n=3n+5$, nên $u_{n+1}-u_n=3(n+1)+5-(3n+5)=3$. Vậy công sai $d=3$, khớp đáp án B (mã đề 112, câu 7).

Gọi cạnh nhỏ nhất của đa giác là $u_1$ và số cạnh của đa giác là n. Ta có $15=u_1+(n-1).3$ hay $u_1=18-3n>0\to n<6$. Tổng các cạnh là 45 cm, ta có $$45=\frac{n(15+18-3n)}{2}\iff 3n^2-33n+90=0\iff \left[\begin{array}{c}n=5\\ n=6(l)\end{array}\right].$$ Giải phương trình với $n\in N^{\ast };n<6$, ta được $n=5$. Vậy đa giác có 5 cạnh.

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số cộng có $u_n=3n+5$. Công sai $d=u_{n+1}-u_n=3(n+1)+5-(3n+5)=3$. Vậy $d=3$, trùng với đáp án nguồn (mã đề 111, câu 8: C).

(AI giải đề cho tôi)
Số hộp ở hàng thứ $n$ là số lẻ $2n-1$: 1, 3, 5, … Tổng của 15 hàng là tổng 15 số lẻ đầu tiên: $S=1+3+5+\cdots +29$. Đây là cấp số cộng với $u_1=1$, công sai $d=2$, $n=15$, số hạng cuối $u_{15}=1+14\cdot 2=29$. Do đó $S=\frac{15(1+29)}{2}=\frac{15\cdot 30}{2}=225$. (Cũng đúng với công thức tổng $n$ số lẻ đầu tiên $S=n^2=15^2=225$.) Vậy đáp án là D, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số cây là tổng 10 số tự nhiên đầu tiên: $1+2+3+\cdots +10=\frac{10\cdot 11}{2}=55$. Vậy đáp án C, trùng với đáp án nguồn (Câu 11, mã đề 0111: C).

Chọn A

Gọi ba số đó là $x$, $y$, $z$. Do ba số là các số hạng thứ 3, thứ 10, thứ 45 của một cấp số cộng nên ta có: $x=u_3$; $y=u_{10}=x+7d$; $z=u_{45}=x+42d$.

Theo giả thiết, ta có: $x+y+z=x+x+7d+x+42d=3x+49d=434$.

Mặt khác, do $x$, $y$, $z$ là các số hạng liên tiếp của một cấp số nhân nên:

$$y^2=xz\iff (x+7d{)}^2=x(x+42d)\iff d(-4x+7d)=0\iff [<table><tbody><tr><td>d=0</td></tr><tr><td>-4x+7d=0</td></tr></tbody></table>$$

Với $d=0$, ta có: $x=y=z=\frac{434}{3}$. Suy ra $n=1480:\frac{434}{3}=\frac{2220}{217}\notin \mathbb{N}$.

Với $-4x+7d=0$, ta có: $\{<table><tbody><tr><td>-4x+7d=0</td></tr><tr><td>3x+49d=434</td></tr></tbody></table>\iff \{<table><tbody><tr><td>x=14</td></tr><tr><td>d=8</td></tr></tbody></table>$. Suy ra $u_1=u_3-2d=14-2.8=-2$.

Do đó, $S_n=1480\iff \frac{\left[2u_1+(n-1)d\right]n}{2}=1480\iff \frac{\left[2.(-2)+8(n-1)\right]n}{2}=1480\iff [<table><tbody><tr><td>n=20</td></tr><tr><td>n=-\frac{37}{2}</td></tr></tbody></table>$

Vậy $n=20$.

Gọi $d$ là công sai của cấp số cộng. Khi đó:

$$S_{100}=100u_1+\frac{100.99}{2}d\iff 100+4950d=14950\iff d=3.$$

Do đó $u_{2025}=u_1+2024d=6073$.

Ta có: $\frac{1}{u_{k+1}\sqrt{u_k}+u_k\sqrt{u_{k+1}}}=\frac{1}{\sqrt{u_k}\cdot \sqrt{u_{k+1}}\cdot \left(\sqrt{u_k}+\sqrt{u_{k+1}}\right)}=\frac{1}{d}\cdot \frac{\sqrt{u_{k+1}}-\sqrt{u_k}}{\sqrt{u_k}\cdot \sqrt{u_{k+1}}}=\frac{1}{d}\cdot \left(\frac{1}{\sqrt{u_k}}-\frac{1}{\sqrt{u_{k+1}}}\right).$

Do đó:

$$S=\frac{1}{d}\cdot \left(\frac{1}{\sqrt{u_1}}-\frac{1}{\sqrt{u_2}}\right)+\frac{1}{d}\cdot \left(\frac{1}{\sqrt{u_2}}-\frac{1}{\sqrt{u_3}}\right)+...+\frac{1}{d}\cdot \left(\frac{1}{\sqrt{u_{2024}}}-\frac{1}{\sqrt{u_{2025}}}\right)=\frac{1}{d}\cdot \left(\frac{1}{\sqrt{u_1}}-\frac{1}{\sqrt{u_{2025}}}\right)$$

$$=\frac{1}{3}\left(1-\frac{1}{\sqrt{6073}}\right).$$

Suy ra $a=3$, $b=6073$, vậy $a+b=6076$.

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số cộng có $u_3=15$, $d=-2$. Suy ra $u_1=u_3-2d=15-2(-2)=19$. Do đó $u_n=u_1+(n-1)d=19-2(n-1)=-2n+21$. Kiểm tra: $u_3=-6+21=15$ đúng. Vậy đáp án D.

Gọi $u_n$ là số tiền (đơn vị nghìn đồng) mà Nam bỏ vào ống heo ở tháng thứ $n$ $(n\in \{1;2;...;12\})$. Khi đó $(u_n)$ là một cấp số cộng có số hạng đầu $u_1=500$, công sai $d=100$. (0,5 điểm)

Tổng số tiền tiết kiệm của Nam sau 12 tháng là: $S_{12}=\frac{12}{2}(2u_1+11d)$ (nghìn đồng). (0,5 điểm)

Thay số vào ta có: $S_{12}=\frac{12}{2}(2.500+11.100)=12600$ (nghìn đồng) $=12,6$ (triệu đồng). (0,5 điểm)

Sau 12 tháng, Nam có 12,6 triệu đồng. Số tiền này không đủ để mua laptop. Nam còn thiếu: 2,4 (triệu đồng). (0,5 điểm)

(AI giải đề cho tôi)
Công sai $d=u_2-u_1=-1-3=-4$. Số hàng thứ 8: $u_8=u_1+7d=3+7(-4)=3-28=-25$. Vậy đáp án D, trùng với đáp án nguồn (mã đề 0101, câu 7: D).

(AI giải đề cho tôi)
Tiền lì xì mỗi ngày lập thành cấp số cộng với $u_1=3$ (triệu đồng), công sai $d=-0,3$. Số tiền các ngày mùng 1 đến mùng 9 lần lượt là $3;2,7;2,4;2,1;1,8;1,5;1,2;0,9;0,6$ (triệu đồng). Tổng tiền nhận được: $S_9=\frac{9(3+0,6)}{2}=16,2$ triệu đồng. Kể từ mùng 3 đến mùng 9, mỗi ngày Kiên đưa mẹ $X$ triệu, tức tổng cộng $7X$ triệu. Để hết mùng 9 còn lại đúng 5 triệu: $16,2-7X=5\Rightarrow X=\frac{11,2}{7}=1,6$ (triệu đồng). Kết quả khớp với đáp án nguồn 1,6.

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số cộng có $u_1=8$, $d=3$ nên $u_2=u_1+d=8+3=11$. Đáp án khớp với bảng đáp án (Câu 9: D).

(AI giải đề cho tôi)
Tổng tiền lì xì Kiên nhận từ mùng 1 đến mùng 9 là cấp số cộng với số hạng đầu $u_1=3$ (triệu đồng), công sai $d=-0,3$: $S_9=\frac{9}{2}\left(2\cdot 3+8\cdot (-0,3)\right)=\frac{9}{2}(6-2,4)=\frac{9}{2}\cdot 3,6=16,2$ triệu đồng. Từ mùng 3 đến mùng 9 Kiên đưa mẹ mỗi ngày $X$ triệu, tức $7$ ngày, tổng đưa là $7X$. Để hết mùng 9 còn lại đúng $5$ triệu: $16,2-7X=5\Rightarrow 7X=11,2\Rightarrow X=1,6$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (1,6).

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số cộng có $u_1=8$, công sai $d=3$. Số hàng thứ hai: $u_2=u_1+d=8+3=11$. Vậy đáp án là D, trùng với đáp án nguồn (Câu 9, mã đề 124: D).

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số cộng có u_1=-1, d=3 nên u_n = -1 + (n-1)·3 = 3n-4. a) S_20 = 20/2·(2·(-1)+19·3) = 10·55 = 550 ≠ 505 → Sai. b) n·u_n = n(3n-4) = 3n²-4n, nên sqrt(3n²-4n+2) - sqrt(3n²+1) = [(-4n+1)]/[sqrt(3n²-4n+2)+sqrt(3n²+1)] → -4n/(2√3·n) = -2/√3 → Đúng. c) u_3 = 3·3-4 = 5 → Đúng. d) Dãy có d=3>0 nên tăng và u_n → +∞, không bị chặn trên → Sai. Kết quả khớp đáp án nguồn SĐĐS (mã đề 212, câu 15).
a) (AI giải đề cho tôi)
S_20 = 20/2·(2u_1+19d) = 10·(−2+57) = 550 ≠ 505.
b) (AI giải đề cho tôi)
n·u_n = 3n²−4n; nhân liên hợp: (−4n+1)/(sqrt(3n²−4n+2)+sqrt(3n²+1)) → −4/(2√3) = −2/√3.
c) (AI giải đề cho tôi)
u_3 = u_1 + 2d = −1 + 6 = 5.
d) (AI giải đề cho tôi)
d = 3 > 0 nên dãy tăng vô hạn, u_n → +∞, do đó không bị chặn trên.

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số cộng có $u_1=-1$, $d=3$ nên $u_n=-1+3(n-1)=3n-4$.

a) $n.u_n=n(3n-4)=3n^2-4n$. Khi đó $\lim \left(\sqrt{3n^2-4n+2}-\sqrt{3n^2+1}\right)=\lim \frac{(3n^2-4n+2)-(3n^2+1)}{\sqrt{3n^2-4n+2}+\sqrt{3n^2+1}}=\lim \frac{-4n+1}{\sqrt{3n^2-4n+2}+\sqrt{3n^2+1}}=\frac{-4}{2\sqrt{3}}=\frac{-2}{\sqrt{3}}$. Đúng.

b) $u_3=-1+2\cdot 3=5$. Đúng.

c) $S_{20}=\frac{20}{2}\left(2u_1+19d\right)=10(-2+57)=550\ne 505$. Sai.

d) $u_n=3n-4$ là dãy tăng và $u_n\to +\infty$, nên không bị chặn trên. Sai.

Kết quả: a Đúng, b Đúng, c Sai, d Sai — khớp đáp án ĐĐSS của đề.
a) (AI giải đề cho tôi)
Với $u_n=3n-4$, giới hạn $\lim \left(\sqrt{3n^2-4n+2}-\sqrt{3n^2+1}\right)=\frac{-4}{2\sqrt{3}}=\frac{-2}{\sqrt{3}}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$u_3=u_1+2d=-1+6=5$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$S_{20}=10(2\cdot (-1)+19\cdot 3)=550\ne 505$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$u_n=3n-4\to +\infty$ nên dãy không bị chặn trên.

Ta có: $u_3=8\iff u_3=u_1+2d\iff 8=u_1+2.3\iff u_1=2$. Suy ra: $u_5=u_1+4d=2+4.3=14$.

(AI giải đề cho tôi)
**Câu 2(1):** Theo đề: $u_9=u_1+8d$, $u_2=u_1+d$, $u_{13}=u_1+12d$, $u_6=u_1+5d$.

- $u_9=5u_2\iff u_1+8d=5(u_1+d)\iff 4u_1=3d$ (1)
- $u_{13}=2u_6+5\iff u_1+12d=2(u_1+5d)+5\iff 2d=u_1+5\iff u_1=2d-5$ (2)

Thay (2) vào (1): $4(2d-5)=3d\iff 8d-20=3d\iff d=4$, suy ra $u_1=2d-5=2\cdot 4-5=3$.

Vậy $u_1=3$, $d=4$. (Kiểm tra: $u_9=3+8\cdot 4=35=5u_2=5\cdot 7$; $u_{13}=3+12\cdot 4=51=2u_6+5=2\cdot 23+5$.)

**Câu 2(2):** Xét hình vuông cạnh $s$ với đường chéo nối hai đỉnh. Diện tích phần gạch sọc (tô màu "đẹp") là phần nằm dưới đường chéo nhưng **không bao gồm** hình vuông chính giữa (cạnh $s/3$):
- Diện tích tam giác dưới đường chéo: $\frac{s^2}{2}$.
- Phần tam giác đó nằm trong hình vuông chính giữa (tam giác nhỏ cạnh $s/3$): $\frac{1}{2}\cdot \frac{s}{3}\cdot \frac{s}{3}=\frac{s^2}{18}$.

Vậy diện tích tô màu ở mỗi bước với hình vuông cạnh $s$ là:
$$a(s)=\frac{s^2}{2}-\frac{s^2}{18}=\frac{4s^2}{9}.$$

Cạnh hình vuông ở bước $k$ là $s_k={\left(\frac{1}{3}\right)}^{k-1}$, nên diện tích tô màu bước $k$:
$$a_k=\frac{4}{9}\cdot \frac{1}{9^{k-1}}=\frac{4}{9^k}.$$

Tổng diện tích sau $n$ bước (cấp số nhân công bội $q=\frac{1}{9}$):
$$S_n=\frac{4}{9}\cdot \frac{1-{\left(\frac{1}{9}\right)}^n}{1-\frac{1}{9}}=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{9^n}\right).$$

Cho $S_n=\frac{3280}{6561}$, với $6561=9^4$:
$$\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{9^n}\right)=\frac{3280}{6561}\iff 1-\frac{1}{9^n}=\frac{6560}{6561}\iff \frac{1}{9^n}=\frac{1}{6561}=\frac{1}{9^4}\iff n=4.$$

Vậy cần **4 bước** để tổng diện tích phần được tô màu bằng $\frac{3280}{6561}$ (đơn vị diện tích).