Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Cấp số cộng (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số cộng có $u_1=\frac{3}{2}$, $d=\frac{1}{2}$ nên $u_n=\frac{3}{2}+(n-1)\cdot \frac{1}{2}=\frac{n+2}{2}$. a) $u_8=\frac{8+2}{2}=5$ nên số 5 là số hạng thứ 8: ĐÚNG. b) Giải $\frac{n+2}{2}=\frac{15}{4}\Rightarrow n=\frac{11}{2}\notin {\mathbb{N}}^{\ast }$ nên $\frac{15}{4}$ không là số hạng: SAI. c) Công thức tổng quát là $u_n=\frac{n+2}{2}$, không phải $u_n=1+\frac{n}{3}$: SAI. d) $S_{100}=\frac{100\left(u_1+u_{100}\right)}{2}=\frac{100\left(\frac{3}{2}+51\right)}{2}=\frac{100\cdot \frac{105}{2}}{2}=2625\ne 2620$: SAI. Kết quả khớp đáp án mã đề 201 (ĐSSS).
a) (AI giải đề cho tôi)
$u_8=\frac{3}{2}+7\cdot \frac{1}{2}=5$, đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\frac{n+2}{2}=\frac{15}{4}\Rightarrow n=\frac{11}{2}\notin {\mathbb{N}}^{\ast }$, sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
$u_n=\frac{n+2}{2}$, không phải $1+\frac{n}{3}$, sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
$S_{100}=\frac{100\left(\frac{3}{2}+51\right)}{2}=2625\ne 2620$, sai.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $u_3-u_1=2d=20\Rightarrow d=10$. Mặt khác $u_2+u_5=(u_1+d)+(u_1+4d)=2u_1+5d=54\Rightarrow 2u_1=54-50=4\Rightarrow u_1=2$. Vậy $u_1+d=2+10=12$, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số cộng có $u_1=\frac{1}{3}$, $u_8=26$. Theo công thức số hạng tổng quát: $u_8=u_1+7d$, nên $26=\frac{1}{3}+7d\Rightarrow 7d=26-\frac{1}{3}=\frac{77}{3}\Rightarrow d=\frac{77}{21}=\frac{11}{3}$. Vậy đáp án C, khớp với đáp án nguồn (mã đề 101, câu 11: C).

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số cộng có $u_1=2$, $d=3$ nên $u_n=2+(n-1)\cdot 3=3n-1$.
a) $u_{10}=29$, $u_{20}=59$: tổng $u_{10}+\dots +u_{20}=\frac{11(29+59)}{2}=484$. $u_{30}=89$, $u_{50}=149$: tổng $u_{30}+\dots +u_{50}=\frac{21(89+149)}{2}=2499$. $u_{60}=179$, $u_{80}=239$: tổng $u_{60}+\dots +u_{80}=\frac{21(179+239)}{2}=4389$. Vậy $S=484+2499+4389=7372$ → Đúng.
b) $S_n=\frac{n(2\cdot 2+(n-1)3)}{2}=\frac{n(3n+1)}{2}=610\iff 3n^2+n-1220=0\iff n=\frac{-1+\sqrt{14641}}{6}=\frac{120}{6}=20\in [18;22]$ → Đúng.
c) $3n-1=152\iff n=51\notin [45;50]$ → Sai.
d) $u_n=3n-1=-1+3n$ → Đúng. Khớp đáp án mã đề 101: ĐĐSĐ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tổng ba khối: $\frac{11(29+59)}{2}+\frac{21(89+149)}{2}+\frac{21(179+239)}{2}=484+2499+4389=7372$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\frac{n(3n+1)}{2}=610\iff n=20\in [18;22]$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$3n-1=152\iff n=51\notin [45;50]$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$u_n=2+(n-1)3=3n-1=-1+3n$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hệ: $u_4=10$ và $u_4+u_6=26\Rightarrow u_6=16$. Vì $u_6=u_4+2d\Rightarrow 16=10+2d\Rightarrow d=3$. Suy ra $u_1=u_4-3d=10-9=1$. Vậy $u_1+d=1+3=4$, khớp với đáp án nguồn.

Ta đặt $u_1$ là số que điểm của tầng trên cùng của tòa tháp, $u_2$ là số que điểm của tầng kế tiếp tầng trên cùng. Tương tự ta đặt liên tiếp như vậy ta có $u_{70}$ là số que điểm của tầng dưới cùng của tòa tháp 70 tầng. Theo cách xếp ta có: $u_1=3;u_2=7;u_3=11;\dots$ dãy số này lập thành một cấp số cộng với $u_1=3$ và công sai $d=4$.
Số que điểm để làm được tòa tháp 70 tầng là tổng của 70 số hạng đầu của cấp số cộng trên. Ta có $S_{70}=\frac{70}{2}(2u_1+69d)=\frac{70}{2}(2.3+69.4)=9870$.
Vậy số que điểm để xếp tòa tháp 70 tầng là 9870 que điểm.

Lưu ý: Học sinh giải theo cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa!

(AI giải đề cho tôi)
Công sai của cấp số cộng là $d=u_2-u_1=10-4=6$. Vậy đáp án C, trùng với đáp án nguồn (mã đề 101, câu 4: C).

(AI giải đề cho tôi)
Dãy $(u_n)$ với $u_n=3n+1$.
a) $u_{n+1}-u_n=3(n+1)+1-(3n+1)=3$ không đổi với mọi $n$, nên dãy là cấp số cộng công sai $d=3$ → Đúng.
b) Tỉ số $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ không không đổi, ví dụ $\frac{u_2}{u_1}=\frac{7}{4}\ne 1$, nên dãy không là cấp số nhân → Sai.
c) $u_1=3\cdot 1+1=4$ → Đúng.
d) $u_{2024}=3\cdot 2024+1=6073$; $S_{2024}=\frac{2024}{2}(u_1+u_{2024})=1012\cdot (4+6073)=1012\cdot 6077=6149924$ → Đúng.
Kết quả khớp đáp án nguồn mã đề 101: a Đ, b S, c Đ, d Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$u_{n+1}-u_n=3(n+1)+1-(3n+1)=3$ không đổi, nên dãy là cấp số cộng với công sai $d=3$.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$\frac{u_{n+1}}{u_n}$ không không đổi, ví dụ $\frac{u_2}{u_1}=\frac{7}{4}\ne 1$, nên dãy không là cấp số nhân.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$u_1=3\cdot 1+1=4$.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$u_{2024}=3\cdot 2024+1=6073$; $S_{2024}=\frac{2024}{2}(4+6073)=1012\cdot 6077=6149924$.

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số cộng có $u_1=1$, $d=3$. Theo công thức số hạng tổng quát: $u_{10}=u_1+9d=1+9\cdot 3=28$. Vậy $u_{10}=28$, khớp với đáp án B trong bảng đáp án (mã đề 022).

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số cộng có $u_1=2$, $d=-3$.
a) $u_2=u_1+d=2+(-3)=-1\ne -6$ nên khẳng định a) SAI.
b) $u_n=u_1+(n-1)d=2+(n-1)(-3)=2-3n+3=5-3n$ nên khẳng định b) ĐÚNG.
c) $u_{20}=5-3\cdot 20=-55$; $S_{20}=\frac{20(u_1+u_{20})}{2}=\frac{20(2-55)}{2}=10\cdot (-53)=-530$ nên khẳng định c) ĐÚNG.
d) $u_{2025}=5-3\cdot 2025=5-6075=-6070\ne -6076$ nên khẳng định d) SAI.
Kết quả khớp với bảng đáp án mã đề 022 (A-S, B-Đ, C-Đ, D-S).
a) (AI giải đề cho tôi)
$u_2=u_1+d=2+(-3)=-1\ne -6$, do đó khẳng định sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
$u_n=2+(n-1)(-3)=5-3n$, khẳng định đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
$u_{20}=5-60=-55$, $S_{20}=\frac{20(2-55)}{2}=-530$, khẳng định đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
$u_{2025}=5-3\cdot 2025=-6070\ne -6076$, khẳng định sai.

Lời giải: $s_1=\frac{\pi }{8};s_2=\frac{\pi }{2}-s_1=\frac{3}{8}\pi ;...;s_n=\frac{n^2}{8}\pi -\frac{(n-1{)}^2}{8}\pi =\frac{\pi }{8}(2n-1);...$ (0,25 điểm)

$\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, ta có: $s_{n+1}-s_n=\frac{\pi }{4}$. Vậy dãy số $(s_n)$ là một cấp số cộng. (0,25 điểm)

$s_1=\frac{\pi }{8};d=\frac{\pi }{4}\Rightarrow S_{2024}=1012\left(\frac{\pi }{4}+2023\cdot \frac{\pi }{4}\right)=512072\pi$. (2 x 0,25 điểm)

[Hình cần kiểm tra lại: p10_f1]

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số cộng có $u_1=2$, $d=-3$. a) $u_2=u_1+d=2-3=-1\ne -6$ nên Sai. b) $u_{2025}=u_1+2024d=2+2024\cdot (-3)=2-6072=-6070\ne -6076$ nên Sai. c) $S_{20}=\frac{20}{2}(2u_1+19d)=10(4-57)=-530$ nên Đúng. d) $u_n=u_1+(n-1)d=2-3(n-1)=5-3n$ nên Đúng. Kết quả khớp bảng đáp án mã đề 021: A-S, B-S, C-Đ, D-Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
$u_2=u_1+d=2+(-3)=-1\ne -6$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$u_{2025}=2+2024(-3)=-6070\ne -6076$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$S_{20}=\frac{20}{2}(2\cdot 2+19\cdot (-3))=10(4-57)=-530$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$u_n=2+(n-1)(-3)=5-3n$.

Lời giải: $s_1=\frac{\pi }{8};s_2=\frac{\pi }{2}-s_1=\frac{3}{8}\pi ;...;s_n=\frac{n^2}{8}\pi -\frac{(n-1{)}^2}{8}\pi =\frac{\pi }{8}(2n-1);...$ (0,25 điểm)

$\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, ta có: $s_{n+1}-s_n=\frac{\pi }{4}$. Vậy dãy số $(s_n)$ là một cấp số cộng. (0,25 điểm)

$s_1=\frac{\pi }{8};d=\frac{\pi }{4}\Rightarrow S_{2024}=1012\left(\frac{\pi }{4}+2023\cdot \frac{\pi }{4}\right)=512072\pi$. (2 x 0,25 điểm)

[Hình cần kiểm tra lại: p10_f1]

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số cộng có $u_1=1$, $d=3$. Áp dụng công thức số hạng tổng quát: $u_{10}=u_1+9d=1+9\cdot 3=1+27=28$. Vậy $u_{10}=28$, tương ứng phương án D. Kết quả này trùng với đáp án nguồn (mã đề 021, Câu 3: D).

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số cộng có $u_1=-3$, công sai $d=u_2-u_1=-1-(-3)=2$.
a) Số hàng tổng quát: $u_n=u_1+(n-1)d=-3+2(n-1)=2n-5\ne -3+2n$ (với $n=1$ ta được $-1\ne -3$) nên Sai.
b) $S_{20}=\frac{20}{2}(2u_1+19d)=10(-6+38)=320\ne 35$ nên Sai.
c) $d=2$ Đúng.
d) $u_{79}=u_1+78d=-3+156=153$ Đúng.
Kết quả khớp bảng đáp án mã đề 267, Phần II Câu 4: SSĐĐ (Sai, Sai, Đúng, Đúng).
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$u_n=u_1+(n-1)d=-3+2(n-1)=2n-5$, không phải $-3+2n$.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$S_{20}=\frac{20}{2}(2(-3)+19\cdot 2)=10\cdot 32=320\ne 35$.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$d=u_2-u_1=-1-(-3)=2$.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$u_{79}=-3+78\cdot 2=153$.

Số ghế mỗi hàng theo thứ tự là một cấp số cộng $(u_n)$ với số hàng đầu $u_1=20$ và công sai $d=6$. Giả sử góc khán đài đó có $n$ hàng ghế $(n\in {\mathbb{N}}^{\ast })$. Ta có $S_n=\frac{n}{2}\left[40+(n-1).6\right]=930\iff 3n^2+17n-930=0\iff \left[\begin{array}{c}n=15\\ n=-\frac{62}{3}\end{array}\right]$. Vậy góc khán đài của một sân vận động có 15 hàng ghế.

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra từng dãy: A: $1,-3,9,27,-81$ có các hiệu $-4,12,18,-108$ không không đổi, không phải cấp số cộng. B: $1,4,7,10,13$ có các hiệu đều bằng $3$, là cấp số cộng với công sai $d=3$. C: $-1,2,5,7,10$ có các hiệu $3,3,2,3$ không không đổi. D: $12,-8,4,0,-4$ có các hiệu $-20,12,-4,-4$ không không đổi. Vậy dãy là cấp số cộng là phương án B, trùng với đáp án nguồn (mã đề 267, câu 4: B).

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số cộng có $u_1=-3$, $u_2=-1$ nên công sai $d=u_2-u_1=2$, số hàng tổng quát $u_n=-3+2(n-1)=-5+2n$. a) Sai vì $-3+2n$ cho $u_1=-1\ne -3$. b) Sai vì $S_{20}=\frac{20}{2}(2(-3)+19\cdot 2)=10\cdot 32=320\ne 35$. c) Đúng, $d=2$. d) Đúng vì $u_{79}=-3+78\cdot 2=153$. Kết quả khớp bảng đáp án mã đề 013: SSĐĐ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Số hàng tổng quát đúng là $u_n=u_1+(n-1)d=-3+2(n-1)=-5+2n$. Với $u_n=-3+2n$ thì $u_1=-1\ne -3$, nên khẳng định sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
$S_{20}=\frac{20}{2}(2u_1+19d)=10(-6+38)=320\ne 35$, nên khẳng định sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
$d=u_2-u_1=-1-(-3)=2$, khẳng định đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
$u_{79}=u_1+78d=-3+78\cdot 2=153$, khẳng định đúng.

Số ghế mỗi hàng theo thứ tự là một cấp số cộng $(u_n)$ với số hàng đầu $u_1=20$ và công sai $d=6$. Giả sử góc khán đài đó có $n$ hàng ghế $(n\in {\mathbb{N}}^{\ast })$. Ta có $S_n=\frac{n}{2}\left[40+(n-1).6\right]=930\iff 3n^2+17n-930=0\iff \left[\begin{array}{c}n=15\\ n=-\frac{62}{3}\end{array}\right]$. Vậy góc khán đài của một sân vận động có 15 hàng ghế.

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra từng dãy: A: $12,-8,4,0,-4$ có hiệu lần lượt $-20,12,-4,-4$, không không đổi nên không phải cấp số cộng. B: $1,4,7,10,13$ có hiệu giữa hai số hạng liên tiếp đều bằng $3$ ($4-1=3$, $7-4=3$, $10-7=3$, $13-10=3$), nên đây là cấp số cộng với công sai $d=3$. C: $1,-3,9,27,-81$ có tỉ số lần lượt $-3,-3,3,-3$, không phải cấp số cộng (đây gần giống cấp số nhân nhưng cũng không đều). D: $-1,2,5,7,10$ có hiệu $3,3,2,3$, không không đổi. Vậy chỉ dãy B là cấp số cộng, khớp với đáp án nguồn (Mã đề 013, Câu 3: B).