Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Cực trị (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị $y=f^{\prime }(x)$ cắt trục hoành tại ba điểm: $x=-1$, $x=2$ và $x\approx 4$ (giữa $2$ và $5$). Tại mỗi điểm, $f^{\prime }(x)$ đổi dấu (dương sang âm tại $x=-1$; âm sang dương tại $x=2$; dương sang âm tại $x\approx 4$). Vì $f^{\prime }$ liên tục trên $\mathbb{R}$, hàm số $y=f(x)$ đạt cực trị tại cả ba điểm này. Vậy hàm số có $3$ điểm cực trị, khớp với đáp án nguồn.

Ta có: $y^{\prime }=\frac{x^2-4x+3}{(x-2{)}^2}$.
Cho $y^{\prime }=\frac{x^2-4x+3}{(x-2{)}^2}=0\iff \{\begin{array}{l}x=1\\ x=3\end{array}$.
Lập bảng xét dấu đúng và tính đúng tọa độ 2 điểm cực trị $A(1;-3)$; $B(3;1)$.
Tìm được độ dài $AB=2\sqrt{5}$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y^{\prime }=-3x^2+6x=-3x(x-2)$. $y^{\prime }=0\iff x=0$ hoặc $x=2$. Xét dấu $y^{\prime }$: trên $(-\infty ;0)$, $y^{\prime }<0$ (hàm nghịch biến); trên $(0;2)$, $y^{\prime }>0$ (hàm đồng biến); trên $(2;+\infty )$, $y^{\prime }<0$ (hàm nghịch biến). Vậy hàm số đạt cực tiểu tại $x=0$ (đạt cực đại tại $x=2$). Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Cho $f(x)=x^3-3x^2+3$. a) $f^{\prime }(x)=3x^2-6x$ đúng. b) $f^{\prime }(x)=3x(x-2)<0$ với $x\in (0;2)$ nên hàm số nghịch biến trên $(0;2)$, ý b sai. c) $f^{\prime }(x)=0\iff x=0$ hoặc $x=2$, đạo hàm đổi dấu qua cả hai điểm nên hàm có hai điểm cực trị (cực đại tại $x=0$, cực tiểu tại $x=2$), ý c đúng. d) Với $x>2$, $f^{\prime }(x)>0$ nên hàm đồng biến trên $(2;+\infty )$; do $2026>2025>2$ nên $f(2025)<f(2026)$, ý d đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=3x^2-6x$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=3x(x-2)<0$ trên $(0;2)$ nên hàm nghịch biến trên khoảng này.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=0$ tại $x=0,x=2$ và đạo hàm đổi dấu qua cả hai điểm nên có hai điểm cực trị.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hàm đồng biến trên $(2;+\infty )$ nên $f(2025)<f(2026)$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị $y=f^{\prime }(x)$, hàm số $f(x)$ đạt cực đại tại các điểm mà $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ '+' sang '−'. Đồ thị $f^{\prime }(x)$ cắt trục hoành tại 3 điểm: điểm thứ nhất $f^{\prime }$ đổi dấu từ dương sang âm (cực đại), điểm thứ hai $f^{\prime }$ đổi dấu từ âm sang dương (cực tiểu), điểm thứ ba $f^{\prime }$ đổi dấu từ dương sang âm (cực đại). Vậy hàm số $y=f(x)$ có 2 điểm cực đại, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=x^3+3x^2-2$ có $y^{\prime }=3x^2+6x=3x(x+2)$. $y^{\prime }=0\iff x=0$ hoặc $x=-2$. Xét dấu $y^{\prime }$: $y^{\prime }>0$ khi $x<-2$, $y^{\prime }<0$ khi $-2<x<0$, $y^{\prime }>0$ khi $x>0$. Vậy hàm số đạt cực đại tại $x=-2$ (đạt cực tiểu tại $x=0$). Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị ở Câu 4: hàm số đồng biến rồi nghịch biến tại $x=-3$ (cực đại, $y=2$), nghịch biến rồi đồng biến tại $x=-1$ (cực tiểu, $y=-2$), sau đó đồng biến rồi nghịch biến tại $x=1$ (cực đại). Vậy hàm số có đúng 1 điểm cực tiểu.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: hàm bậc ba có cực đại tại điểm $(0;3)$ và cực tiểu tại điểm $(2;-1)$.
a) Giá trị cực đại của hàm số là $f(0)=3$ → Đúng.
b) Trên khoảng $(-\infty ;2)$, hàm số đạt giá trị lớn nhất tại điểm cực đại $x=0$ với giá trị $f(0)=3$, không phải $0$ → Sai.
c) Hàm số nghịch biến trên $(-\infty ;0)$ và $(0;2)$, đồng biến trên $(2;+\infty )$ (và cả $(-\infty ;0)$) → Đúng.
d) Xét phương trình $f(x)=2$: vì $-1<2<3$, đường thẳng $y=2$ cắt đồ thị tại 3 điểm phân biệt (một nghiệm trên $(-\infty ;0)$, một nghiệm trên $(0;2)$, một nghiệm trên $(2;+\infty )$) nên phương trình có 3 nghiệm, không phải đúng hai nghiệm → Sai.
Kết quả khớp với đáp án nguồn: a)Đ - b)S - c)Đ - d)S.
a) (AI giải đề cho tôi)
Điểm cực đại trên đồ thị là $(0;3)$ nên giá trị cực đại bằng 3.
b) (AI giải đề cho tôi)
Trên khoảng $(-\infty ;2)$, hàm đạt giá trị lớn nhất tại cực đại $x=0$ với $f(0)=3$, không phải 0.
c) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị đi lên từ điểm cực tiểu $(2;-1)$ nên hàm đồng biến trên $(2;+\infty )$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Vì $-1<2<3$, đường thẳng $y=2$ cắt đồ thị tại 3 điểm phân biệt nên $f(x)-2=0$ có 3 nghiệm.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=x^3+9x^2-12$ có $y^{\prime }=3x^2+18x=3x(x+6)$, cho $y^{\prime }=0$ ta được $x=0$ hoặc $x=-6$. Vì $y^{\prime \prime }=6x+18$: tại $x=-6$ có $y^{\prime \prime }=-18<0$ nên là điểm cực đại; tại $x=0$ có $y^{\prime \prime }=18>0$ nên là điểm cực tiểu. Vậy điểm cực tiểu là $M(0;-12)$, tức $a=0$, $b=-12$. Suy ra $a-b=0-(-12)=12$, trùng với đáp án của đề (mã 1204, Câu 6 = 12).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=x^3-3x^2+2025$ có $y^{\prime }=3x^2-6x=3x(x-2)$. $y^{\prime }=0\iff x=0$ hoặc $x=2$. Xét dấu: $y^{\prime }>0$ trên $(-\infty ;0)$, $y^{\prime }<0$ trên $(0;2)$, $y^{\prime }>0$ trên $(2;+\infty )$. Vậy hàm số đạt cực tiểu tại $x=2$, giá trị cực tiểu $y(2)=8-12+2025=2021$. Khớp với đáp án nguồn (mã đề 1204, câu 7: C).

(AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=3x^2-6x=3x(x-2)=0\Rightarrow x=0$ hoặc $x=2$. Hàm số nghịch biến trên $(0;2)$ và đồng biến ngoài khoảng đó, nên $x=2$ là điểm cực tiểu. Giá trị cực tiểu: $y(2)=2^3-3\cdot 2^2+2025=8-12+2025=2021$. Khớp với đáp án A trong bảng đáp án mã đề 1203.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=x^3+9x^2-12$ có $y^{\prime }=3x^2+18x=3x(x+6)=0\Rightarrow x=0$ hoặc $x=-6$. Dùng $y^{\prime \prime }=6x+18$: tại $x=0$ có $y^{\prime \prime }=18>0$ nên là điểm cực tiểu; tại $x=-6$ có $y^{\prime \prime }=-18<0$ nên là điểm cực đại. Vậy $a=-6$, $b=(-6{)}^3+9(-6{)}^2-12=-216+324-12=96$. Do đó $a-b=-6-96=-102$, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=(x-1)(x^2-4)=(x-1)(x-2)(x+2)$, nghiệm $x=-2,1,2$. Xét dấu: trên $(-\infty ;-2)$ thì $f^{\prime }(x)<0$; trên $(-2;1)$ thì $f^{\prime }(x)>0$; trên $(1;2)$ thì $f^{\prime }(x)<0$; trên $(2;+\infty )$ thì $f^{\prime }(x)>0$. Do đó $f^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ tại $x=-2$ (cực tiểu), từ $+$ sang $-$ tại $x=1$ (cực đại), và từ $-$ sang $+$ tại $x=2$ (cực đại). Vậy hàm số có hai điểm cực đại là $x=1$ và $x=2$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét dấu $f^{\prime }(x)=(x+1{)}^2(x-1{)}^5(x-3)$. Với $x<-1$: $(x+1{)}^2>0,(x-1{)}^5<0,(x-3)<0$ nên $f^{\prime }>0$. Với $-1<x<1$: $(x-1{)}^5<0,(x-3)<0$ nên $f^{\prime }>0$ ($x=-1$ không phải cực trị vì $f^{\prime }$ không đổi dấu). Với $1<x<3$: $(x-1{)}^5>0,(x-3)<0$ nên $f^{\prime }<0$. Với $x>3$: $f^{\prime }>0$. Vậy hàm số đổi dấu từ dương sang âm tại $x=1$ (cực đại) và từ âm sang dương tại $x=3$ (cực tiểu). Hàm số có đúng 1 điểm cực đại.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\sqrt{-x^2+2x+3}$ xác định khi $-x^2+2x+3\ge 0$, tức $-1\le x\le 3$. Xét $f(x)=-x^2+2x+3=-(x-1{)}^2+4$, có giá trị lớn nhất bằng $4$ tại $x=1$ (thuộc tập xác định). Do đó giá trị lớn nhất (cực đại) của hàm số là $y=\sqrt{4}=2$.

(AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=3x^2-12x=3x(x-4)=0$ cho $x_1=0,x_2=4$. Vậy $x_1+x_2=4$ (cũng là $-b/a$ của $x^2-4x$). Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $y=4x^3+3x^2-36x+6$, có $y^{\prime }=12x^2+6x-36=6(2x-3)(x+2)$. $y^{\prime }=0$ tại $x=-2$ và $x=\frac{3}{2}$. Tại $x=-2$, $y^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ nên $x_1=-2$ là điểm cực đại. Tại $x=\frac{3}{2}$, $y^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ nên $x_2=\frac{3}{2}$ là điểm cực tiểu. Vậy $x_1{x}_2=(-2)\cdot \frac{3}{2}=-3$. (Có thể kiểm tra bằng Vi-ét: tích hai nghiệm của $y^{\prime }=0$ là $\frac{-36}{12}=-3$.)

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng xét dấu của $f^{\prime }(x)$: tại $x=0$, $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ $+$ thành $-$ nên $x=0$ là điểm cực đại. Tại $x=1$, $f^{\prime }(x)$ không xác định nhưng $f(x)$ liên tục và $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ $-$ thành $+$ nên $x=1$ là điểm cực tiểu. Tại $x=2$ không thuộc tập xác định của hàm số nên không xét cực trị. Tại $x=3$, $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ $-$ thành $+$ nên $x=3$ là điểm cực tiểu. Vậy hàm số có 3 điểm cực trị (tại $x=0$, $x=1$, $x=3$), khớp với đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng xét dấu: $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ tại $x=0$ (cực đại), từ $-$ sang $+$ tại $x=1$ (cực tiểu), và từ $-$ sang $+$ tại $x=3$ (cực tiểu). Tại $x=2$, hàm số không xác định (không thuộc tập xác định) nên $x=2$ không phải điểm cực trị. Vậy hàm số có 3 điểm cực trị: $x=0,1,3$. Đáp án B, trùng với đáp án nguồn (mã đề 103, câu 7: B).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng xét dấu của $f^{\prime }(x)$: tại $x=0$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ nên $x=0$ là điểm cực đại. Tại $x=1$, $f^{\prime }$ không xác định (dấu ||) nhưng $x=1$ vẫn thuộc tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{2\}$ của hàm số, và $f^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ qua $x=1$, nên $x=1$ là điểm cực tiểu. Tại $x=2$, hàm số không xác định nên không phải điểm cực trị. Tại $x=3$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ nên $x=3$ là điểm cực tiểu. Vậy hàm số có 3 điểm cực trị (tại $x=0$, $x=1$, $x=3$). Kết quả khớp với đáp án nguồn C.