Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Cực trị (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng xét dấu của $f^{\prime }(x)$: $f^{\prime }(x)<0$ trên $(-\infty ;-3)$, $f^{\prime }(x)>0$ trên $(-3;-1)$, $f^{\prime }(x)<0$ trên $(-1;1)$, $f^{\prime }(x)>0$ trên $(1;+\infty )$.

a) $f^{\prime }$ đổi dấu tại $x=-3$ (từ $-$ sang $+$: cực tiểu), tại $x=-1$ (từ $+$ sang $-$: cực đại), tại $x=1$ (từ $-$ sang $+$: cực tiểu). Vậy $f(x)$ có ba điểm cực trị → Đúng.

b) Trên khoảng $(-3;-1)$ có $f^{\prime }(x)>0$ nên hàm số đồng biến, không nghịch biến → Sai.

c) Với $y=f(5-2x)$: $y^{\prime }=-2f^{\prime }(5-2x)=0\iff 5-2x\in \{-3;-1;1\}\iff x\in \{4;3;2\}$. Tại các điểm này $f^{\prime }$ đổi dấu nên $y$ có ba điểm cực trị $x=2;3;4$, đều là số nguyên → Đúng.

d) $y^{\prime }=-2f^{\prime }(5-2x)$. Với $x\in (4;5)$ thì $5-2x\in (-5;-3)\subset (-\infty ;-3)$, nơi $f^{\prime }<0$, suy ra $y^{\prime }>0$: hàm số đồng biến trên $(4;5)$ → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }$ đổi dấu ba lần tại $x=-3;-1;1$ nên $f$ có ba điểm cực trị.
b) (AI giải đề cho tôi)
Trên $(-3;-1)$ có $f^{\prime }(x)>0$ nên hàm đồng biến.
c) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=-2f^{\prime }(5-2x)=0\iff x\in \{2;3;4\}$, ba điểm cực trị đều nguyên.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với $x\in (4;5)$, $5-2x\in (-5;-3)$ nơi $f^{\prime }<0$, nên $y^{\prime }=-2f^{\prime }(5-2x)>0$: đồng biến.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=x(x-1{)}^3(x+2{)}^4$. Nghiệm của $f^{\prime }(x)=0$ là $x=-2,x=0,x=1$. Xét dấu: $(x+2{)}^4\ge 0$ và không đổi dấu qua $x=-2$, nên tại $x=-2$ hàm số không đạt cực trị. Nhân tử $x(x-1{)}^3$ đổi dấu qua $x=0$ (từ $+$ sang $-$, cực đại) và qua $x=1$ (từ $-$ sang $+$, cực tiểu). Vậy hàm số có đúng 2 điểm cực trị.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=-x+3$. Giải $f^{\prime }(x)=0$ được $x=3$. Xét dấu: với $x<3$ thì $f^{\prime }(x)>0$, với $x>3$ thì $f^{\prime }(x)<0$. Vậy hàm số đồng biến trên $(-\infty ;3)$ và nghịch biến trên $(3;+\infty )$, nên $x=3$ là điểm cực đại, không có điểm cực tiểu nào. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: $y^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ tại $x=-2$ nên hàm số đạt cực tiểu tại $x=-2$ với giá trị cực tiểu $f(-2)=-1$ (A và D đúng). Tại $x=1$, $y^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ nên hàm đạt cực đại tại $x=1$ với giá trị cực đại $f(1)=2$ (B đúng). Tại $x=0$, hàm số không xác định (tiệm cận đứng, $y\to -\infty$), $y^{\prime }$ không đổi dấu qua $x=0$ (dương cả hai bên), nên hàm số không đạt cực đại tại $x=0$. Do đó khẳng định C là sai.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{2x+3}{x+1}$ có đạo hàm $y^{\prime }=\frac{2(x+1)-(2x+3)}{(x+1{)}^2}=\frac{-1}{(x+1{)}^2}<0$ với mọi $x\ne -1$. Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định $(-\infty ;-1)$ và $(-1;+\infty )$, không có điểm nào đạo hàm đổi dấu, nên hàm số không có cực trị. Vậy số điểm cực trị là $0$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét hàm số $y=x^3+2x^2-4x-7$, tập xác định $\mathbb{R}$.

$$y^{\prime }=3x^2+4x-4$$

$y^{\prime }=0\iff 3x^2+4x-4=0\iff [<table><tbody><tr><td>x=-2</td></tr><tr><td>x=\frac{2}{3}</td></tr></tbody></table>$

Vì $y^{\prime }$ là tam thức bậc hai với hệ số $a=3>0$ nên $y^{\prime }>0$ khi $x<-2$ hoặc $x>\frac{2}{3}$; $y^{\prime }<0$ khi $-2<x<\frac{2}{3}$.

Kết luận về tính đơn điệu:
- Hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty ;-2)$ và $\left(\frac{2}{3};+\infty \right)$.
- Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left(-2;\frac{2}{3}\right)$.

Cực trị:
- Tại $x=-2$: $y^{\prime }$ đổi dấu từ dương sang âm nên hàm đạt cực đại, $y_{CĐ}=y(-2)=-8+8+8-7=1$. Điểm cực đại $(-2;1)$.
- Tại $x=\frac{2}{3}$: $y^{\prime }$ đổi dấu từ âm sang dương nên hàm đạt cực tiểu, $y_{CT}=y\left(\frac{2}{3}\right)=\frac{8}{27}+\frac{8}{9}-\frac{8}{3}-7=\frac{8+24-72-189}{27}=-\frac{229}{27}$. Điểm cực tiểu $\left(\frac{2}{3};-\frac{229}{27}\right)$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: trên $(-\infty ;2)$ hàm số nghịch biến ($y^{\prime }<0$), tại $x=2$ hàm số không xác định (tiệm cận đứng), và trên $(2;+\infty )$ hàm số cũng nghịch biến ($y^{\prime }<0$). Vì đạo hàm không đổi dấu tại bất kỳ điểm nào (không có điểm nào $y^{\prime }$ đổi dấu từ dương sang âm hay từ âm sang dương), hàm số không có điểm cực trị. Vậy hàm số có 0 điểm cực trị, chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị ở trang 4, hàm số $y=f(x)$ đạt cực đại tại $x=0$ với giá trị $f(0)=1$ (đỉnh cao nhất gần gốc tọa độ), và đạt cực tiểu tại $x=2$ với giá trị $f(2)=-3$. Câu hỏi yêu cầu giá trị điểm cực đại (giá trị $y$), nên đáp án là $1$. Lưu ý $-3$ là giá trị cực tiểu, còn $0$ và $2$ là hoành độ cực trị. Vậy chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng xét dấu của $f^{\prime }(x)$: tại $x=-2$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ nên $x=-2$ là điểm cực đại. Tại $x=0$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ nên $x=0$ là điểm cực tiểu. Tại $x=2$, $f^{\prime }(x)=0$ nhưng $f^{\prime }$ không đổi dấu (trước và sau đều $+$) nên $x=2$ không phải điểm cực trị. Vậy hàm số có 2 điểm cực trị.

(AI giải đề cho tôi)
Xét bảng dấu của $f^{\prime }(x)$: tại $x=1$, $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ nên $x=1$ là điểm cực tiểu. Tại $x=2$, $f^{\prime }(x)$ không xác định nhưng có cùng dấu $+$ hai bên nên không phải điểm cực trị. Tại $x=3$, $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ nên $x=3$ là điểm cực đại. Tại $x=4$, $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ nên $x=4$ là điểm cực tiểu. Vậy hàm số có 2 điểm cực tiểu ($x=1$ và $x=4$) và 1 điểm cực đại ($x=3$), tức tổng cộng 3 điểm cực trị. Do đó khẳng định đúng là 'Hàm số có 2 điểm cực tiểu' (đáp án A), khớp với đáp án nguồn (Câu 6, mã đề 1202: A).

(AI giải đề cho tôi)
Với $y=\frac{x^2-x+1}{x-1}$, ta có $y^{\prime }=\frac{(2x-1)(x-1)-(x^2-x+1)}{(x-1{)}^2}=\frac{x^2-2x}{(x-1{)}^2}=\frac{x(x-2)}{(x-1{)}^2}$. Trên tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{1\}$, $y^{\prime }=0$ tại $x=0$ và $x=2$. Xét dấu: $y^{\prime }>0$ khi $x<0$, $y^{\prime }<0$ khi $0<x<1$ hoặc $1<x<2$, $y^{\prime }>0$ khi $x>2$. Vậy hàm số đạt cực đại tại $x=0$ với $a=y(0)=\frac{1}{-1}=-1$, và cực tiểu tại $x=2$ với $b=y(2)=\frac{4-2+1}{1}=3$. Do đó $3a+2b=3(-1)+2(3)=-3+6=3$, khớp với đáp án nguồn (Câu 6, mã đề 1201: 3).

(AI giải đề cho tôi)
Xét bảng dấu của $f^{\prime }(x)$: tại $x=1$, $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ nên $x=1$ là điểm cực tiểu. Tại $x=2$, $f^{\prime }(x)$ không xác định ($\Vert$) nhưng giữ nguyên dấu $+$ trên hai bên nên không phải điểm cực trị. Tại $x=3$, $f^{\prime }(x)$ không xác định và đổi dấu từ $+$ sang $-$ nên $x=3$ là điểm cực đại. Tại $x=4$, $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ nên $x=4$ là điểm cực tiểu. Vậy hàm số có 2 điểm cực tiểu ($x=1$, $x=4$) và 1 điểm cực đại ($x=3$), tức có 3 điểm cực trị. Do đó khẳng định đúng là 'Hàm số có 2 điểm cực tiểu' (đáp án A), khớp với đáp án nguồn A.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y=-x^3+3x^2+5$, $y^{\prime }=-3x^2+6x=-3x(x-2)$. $y^{\prime }=0\iff x=0$ hoặc $x=2$. Vì hệ số $a=-1<0$, hàm số đạt cực tiểu tại $x=0$ với $y=5$, tức $A(0;5)$. Suy ra $OA=\sqrt{0^2+5^2}=5$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: hàm số là hàm bậc ba với điểm cực tiểu tại $x=0$ (giá trị $-1$) và điểm cực đại tại $x=2$ (giá trị $3$). a) Trên khoảng $(2;+\infty )$ hàm nghịch biến nên $f(3)<f(2)=3$, mệnh đề đúng. b) Đồ thị có 1 điểm cực tiểu ($x=0$) và 1 điểm cực đại ($x=2$), vậy hàm số có 2 điểm cực trị, đúng. c) Trên đoạn $[0;2]$ hàm đồng biến từ $f(0)=-1$ đến $f(2)=3$ nên GTLN trên $[0;2]$ bằng $3$, đúng. d) Trên khoảng $(-1;0)$ hàm nghịch biến (đi xuống đến cực tiểu tại $x=0$), nên hàm không đồng biến trên toàn khoảng $(-1;2)$, sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hàm nghịch biến trên $(2;+\infty )$ nên $f(3)<f(2)=3$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có một điểm cực tiểu tại $x=0$ và một điểm cực đại tại $x=2$, tổng cộng 2 điểm cực trị.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trên $[0;2]$ hàm đồng biến, $f(0)=-1$, $f(2)=3$, nên GTLN bằng 3.
d) (AI giải đề cho tôi)
Trên $(-1;0)$ hàm nghịch biến (đi xuống đến cực tiểu tại $x=0$), nên hàm không đồng biến trên toàn khoảng $(-1;2)$.

(AI giải đề cho tôi)
TXĐ: $\mathbb{R}\setminus \{-1\}$. $y^{\prime }=\frac{(2x-4)(x+1)-(x^2-4x+1)}{(x+1{)}^2}=\frac{x^2+2x-5}{(x+1{)}^2}$. Hai điểm cực trị là nghiệm của $x^2+2x-5=0$ (phân mẫu khác 0, delta $>0$), nên theo Vi-ét $x_1+x_2=-2$.

(AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=-4x^3+16x=-4x(x^2-4)=0\Rightarrow x=0,x=\pm 2$. Xét dấu $y^{\prime }$: $y^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ khi qua $x=0$ (vì $y^{\prime }<0$ khi $x<0$ gần 0 và $y^{\prime }>0$ khi $0<x<2$), nên $x=0$ là điểm cực tiểu. Tại $x=\pm 2$, $y^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ nên là điểm cực đại. Giá trị cực tiểu: $y_{ct}=y(0)=2025$. Vậy chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=x^3+6x^2-15x+2033$ có $y^{\prime }=3x^2+12x-15=3(x-1)(x+5)$. $y^{\prime }=0\iff x=1$ hoặc $x=-5$. Vì hệ số $a=3>0$, hàm số đạt cực tiểu tại $x=1$ (điểm cực đại tại $x=-5$). Giá trị cực tiểu: $y(1)=1+6-15+2033=2025$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y=\frac{x^2-4x+5}{x-2}=x-2+\frac{1}{x-2}$, tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{2\}$. Khi đó $y^{\prime }=1-\frac{1}{(x-2{)}^2}=\frac{(x-2{)}^2-1}{(x-2{)}^2}=\frac{x(x-4)}{(x-2{)}^2}$. $y^{\prime }=0\iff x=1$ hoặc $x=4$... kiểm tra lại: $(x-2{)}^2=1\iff x=1$ hoặc $x=3$. Xét dấu: với $x<1$, $y^{\prime }>0$; với $1<x<2$, $y^{\prime }<0$ nên $x=1$ là điểm cực đại, $y(1)=\frac{1-4+5}{-1}=-2$. Với $2<x<3$, $y^{\prime }<0$; $x>3$, $y^{\prime }>0$ nên $x=3$ là điểm cực tiểu, $y(3)=\frac{9-12+5}{1}=2$. Vậy điểm cực đại là $M(1;-2)$, chọn đáp án C.

Lời giải. Đáp số: 6.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y^{\prime }=x^2-4x+3$, $y^{\prime }=0\iff x=1$ hoặc $x=3$. Vì hệ số $a=\frac{1}{3}>0$ nên hàm số đạt cực tiểu tại $x=3$. Giá trị cực tiểu: $y(3)=\frac{1}{3}(27)-2(9)+3(3)+1=9-18+9+1=1$. Kết quả trùng với đáp án nguồn: A.