Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Cực trị (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Viết lại $y=\frac{x^2-2x+2}{x-1}=(x-1)+\frac{1}{x-1}$. a) Hàm số xác định khi $x-1\ne 0$, tức $x\ne 1$, nên $D=\mathbb{R}\setminus \{1\}$: đúng. b) $y^{\prime }=1-\frac{1}{(x-1{)}^2}=\frac{x(x-2)}{(x-1{)}^2}$; $y^{\prime }=0$ tại $x=0$ và $x=2$. Xét dấu: $y^{\prime }>0$ trên $(-\infty ;0)$, $y^{\prime }<0$ trên $(0;1)$ và $(1;2)$, $y^{\prime }>0$ trên $(2;+\infty )$. Vậy hàm số đạt cực đại tại $x=0$ với $y_{CĐ}=-2$: đúng. c) $y^{\prime }$ đổi dấu từ âm sang dương khi qua $x=2$ nên $x=2$ là điểm cực tiểu với $y_{CT}=2$. Tuy nhiên trên toàn miền xác định $D=\mathbb{R}\setminus \{1\}$ hàm số không có giá trị nhỏ nhất vì khi $x\to -\infty$ thì $y\to -\infty$ (trên nhánh $x<1$ hàm số giảm từ $+\infty$ xuống $-\infty$). Do đó nhận định "hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại $x=2$" là sai; $x=2$ chỉ là điểm cực tiểu địa phương. d) Hai điểm cực trị là $(0;-2)$ và $(2;2)$; khoảng cách $=\sqrt{(2-0{)}^2+(2+2{)}^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$: đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Hàm số xác định khi $x-1\ne 0$, tức $x\ne 1$, nên $D=\mathbb{R}\setminus \{1\}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $y^{\prime }=1-\frac{1}{(x-1{)}^2}=\frac{x(x-2)}{(x-1{)}^2}$ đổi dấu từ dương sang âm khi qua $x=0$, nên hàm số đạt cực đại tại $x=0$ với $y_{CĐ}=-2$.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $y^{\prime }$ đổi dấu từ âm sang dương khi qua $x=2$ nên hàm số đạt cực tiểu tại $x=2$ với $y_{CT}=2$. Tuy nhiên trên toàn miền xác định $D=\mathbb{R}\setminus \{1\}$ hàm số không có giá trị nhỏ nhất vì khi $x\to -\infty$ thì $y\to -\infty$. Do đó nhận định là sai; $x=2$ chỉ là điểm cực tiểu địa phương.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Hai điểm cực trị là $(0;-2)$ và $(2;2)$; khoảng cách $=\sqrt{(2-0{)}^2+(2+2{)}^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị hàm bậc ba đi qua O(0;0), M(2;0), N(3;0) nên $f(x)=kx(x-2)(x-3)$. Ta có $f^{\prime }(x)=k(3x^2-10x+6)=0\Rightarrow x=\frac{5\pm \sqrt{7}}{3}$. Điểm cực đại (ngọn đồi) tại $x_1=\frac{5-\sqrt{7}}{3}\approx 0,7847$; điểm cực tiểu (chỗ sâu nhất của hồ) tại $x_2=\frac{5+\sqrt{7}}{3}\approx 2,5486$. Ngọn đồi cao $528m=0,528km$: $f(x_1)=k\cdot x_1(x_1-2)(x_1-3)\approx 2,1125k=0,528\Rightarrow k\approx 0,2499$. Độ sâu nhất của hồ tại điểm cực tiểu: $f(x_2)\approx 0,2499\cdot 2,5486\cdot 0,5486\cdot (-0,4514)\approx -0,1578km\approx -158m$. Vậy độ sâu nhất của hồ nước là $158$ mét.

(AI giải đề cho tôi)
Viết lại $y=\frac{x^2-x+1}{x-1}$, tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{1\}$. Ta có $y^{\prime }=\frac{(2x-1)(x-1)-(x^2-x+1)}{(x-1{)}^2}=\frac{x^2-2x}{(x-1{)}^2}=\frac{x(x-2)}{(x-1{)}^2}$. Trên $(-\infty ;1)$: $y^{\prime }>0$ khi $x<0$, $y^{\prime }<0$ khi $0<x<1$ nên $x=0$ là điểm cực đại, $a=y(0)=-1$. Trên $(1;+\infty )$: $y^{\prime }<0$ khi $1<x<2$, $y^{\prime }>0$ khi $x>2$ nên $x=2$ là điểm cực tiểu, $b=y(2)=\frac{4-2+1}{1}=3$. Vậy $3a+2b=3(-1)+2(3)=3$, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Cho $f(x)=x^3-3x^2-9x$. Ta có $f^{\prime }(x)=3x^2-6x-9=3(x+1)(x-3)$, nên $f^{\prime }(x)=0\iff x=-1$ hoặc $x=3$.
- Ý a): Hai điểm cực trị có hoành độ $x=-1<0$ và $x=3>0$, nằm về hai phía của trục tung → đúng.
- Ý b): $f^{\prime }(x)=3x^2-6x-9$ → đúng.
- Ý c): $f(-1)=-1-3+9=5$, $f(3)=27-27-27=-27$. Hệ số góc đường thẳng qua hai điểm cực trị $(-1;5)$ và $(3;-27)$ là $k=\frac{-27-5}{3-(-1)}=\frac{-32}{4}=-8$ → đúng.
- Ý d): Trên $[0;5]$: $f(0)=0$, $f(3)=-27$, $f(5)=125-75-45=5$. Giá trị lớn nhất bằng $5$, không phải $-5$ → sai.
a) $f^{\prime }(x)=0\iff x=-1$ hoặc $x=3$; hai điểm cực trị có hoành độ $-1<0$ và $3>0$, nằm về hai phía của trục tung.
b) Đạo hàm $f^{\prime }(x)=3x^2-6x-9$ tính đúng.
c) Hai điểm cực trị $(-1;5)$ và $(3;-27)$, hệ số góc $k=\frac{-27-5}{4}=-8$.
d) Trên $[0;5]$: $f(0)=0$, $f(3)=-27$, $f(5)=5$ nên GTLN bằng $5$, không phải $-5$.

(AI giải đề cho tôi)
Vi phân: $h(x)=\frac{x^2-2x-1}{x+1}=x-3+\frac{2}{x+1}$ (tính chia đa thức). a) $h^{\prime }(x)=1-\frac{2}{(x+1{)}^2}=0\iff (x+1{)}^2=2\iff x=-1\pm \sqrt{2}$. Tại $x=-1+\sqrt{2}$: $y=2\sqrt{2}-4$; tại $x=-1-\sqrt{2}$: $y=-2\sqrt{2}-4$. Khoảng cách $=\sqrt{(2\sqrt{2}{)}^2+(4\sqrt{2}{)}^2}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}\approx 6,32\ne 10$ → sai. b) ${\lim }_{x\to -\infty }(x-3+\frac{2}{x+1})=-\infty$ → sai. c) Phương trình hoành độ giao điểm: $\frac{x^2-2x-1}{x+1}=-2x\iff x^2-2x-1=-2x^2-2x\iff 3x^2-1=0\iff x=\pm \frac{1}{\sqrt{3}}$ (đều khác $-1$), hai nghiệm phân biệt → đúng. d) Vì $h(x)=x-3+\frac{2}{x+1}$ với ${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{2}{x+1}=0$, tiệm cận xiên là $y=x-3$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hai điểm cực trị là $(-1+\sqrt{2};2\sqrt{2}-4)$ và $(-1-\sqrt{2};-2\sqrt{2}-4)$; khoảng cách $=\sqrt{8+32}=2\sqrt{10}\approx 6,32\ne 10$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$h(x)=x-3+\frac{2}{x+1}\to -\infty$ khi $x\to -\infty$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\frac{x^2-2x-1}{x+1}=-2x\iff 3x^2-1=0$ có hai nghiệm phân biệt $x=\pm \frac{1}{\sqrt{3}}$, đều thuộc tập xác định.
d) (AI giải đề cho tôi)
$h(x)=x-3+\frac{2}{x+1}$ và ${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{2}{x+1}=0$ nên tiệm cận xiên là $y=x-3$.

Từ đồ thị của f'(x): f' cắt trục hoành tại x = -3 và x = 1, đạt cực đại tại x = -2 (giá trị dương) và cực tiểu tại x = 0 (giá trị -4). Suy ra f'(x) < 0 trên (-∞; -3) ∪ (-2; 1), f'(x) > 0 trên (-3; -2) ∪ (1; +∞).
a) Trên (-∞; -2), f' đổi dấu tại x = -3 nên f không đồng biến trên toàn khoảng này → sai.
b) f' đổi dấu từ + thành - qua x = -2 (cực đại của f) và từ - thành + qua x = 1 (cực tiểu của f) → f có đúng 2 điểm cực trị → đúng.
c) Trên [-3; 1], f đồng biến trên [-3; -2] và nghịch biến trên [-2; 1] nên GTLN của f bằng f(-2) → đúng.
d) Viết f'(x) = a(x + 3)(x + 2)(x - 1) thì g(x) = 1/[a(x + 3)(x - 1)]: có 2 tiệm cận đứng x = -3, x = 1 và 1 tiệm cận ngang y = 0, tổng 3 đường tiệm cận → sai.
a) Từ đồ thị, f'(x) cắt trục hoành tại x = -3, f'(x) < 0 trên (-∞; -3) và f'(x) > 0 trên (-3; -2). Do đó f nghịch biến trên (-∞; -3) và đồng biến trên (-3; -2), nên f không đồng biến trên khoảng (-∞; -2). Khẳng định sai.
b) Từ đồ thị: f'(x) đổi dấu từ + thành - qua x = -2 (f' đạt cực đại tại x = -2 với giá trị dương) nên x = -2 là điểm cực đại của f; f'(x) đổi dấu từ - thành + qua x = 1 nên x = 1 là điểm cực tiểu của f. Vậy f có đúng hai điểm cực trị. Khẳng định đúng.
c) Trên đoạn [-3; 1]: f'(x) > 0 trên (-3; -2) nên f đồng biến trên [-3; -2]; f'(x) < 0 trên (-2; 1) nên f nghịch biến trên [-2; 1]. Do đó f đạt giá trị lớn nhất tại x = -2, tức GTLN bằng f(-2). Khẳng định đúng.
d) Từ đồ thị, f'(x) là hàm bậc ba có ba nghiệm đơn x = -3, x = -2, x = 1, nên viết f'(x) = a(x + 3)(x + 2)(x - 1) với a ≠ 0. Khi đó g(x) = (x + 2)/[a(x + 3)(x + 2)(x - 1)] = 1/[a(x + 3)(x - 1)]. Đồ thị g có hai tiệm cận đứng x = -3, x = 1 và một tiệm cận ngang y = 0, tức tất cả 3 đường tiệm cận. Khẳng định sai.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên, hàm số có tiệm cận đứng tại $x=2$ (dấu || và $y\to -\infty |+\infty$), nên tập xác định là $D=\mathbb{R}\setminus \{2\}$, không phải $\mathbb{R}\setminus \{-2\}$ → a) Sai. Tại $x=1$, $y^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ thành $-$ nên $x=1$ là điểm cực đại, giá trị cực đại bằng $f(1)=1$ → b) Đúng. Hàm số chỉ có 2 điểm cực trị là $x=1$ và $x=3$ ($x=2$ không thuộc tập xác định) → c) Sai. Trên khoảng $(-\infty ;1)$ hàm số đồng biến, mà $-5<0<1$ nên $f(-5)<f(0)$ → d) Đúng. Kết quả khớp với đáp án chính thức: a) Sai, b) Đúng, c) Sai, d) Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hàm số gián đoạn tại $x=2$ (tiệm cận đứng), nên $D=\mathbb{R}\setminus \{2\}$, không phải $\mathbb{R}\setminus \{-2\}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ tại $x=1$ nên hàm số đạt cực đại tại $x=1$, giá trị cực đại bằng $f(1)=1$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hàm số chỉ có 2 điểm cực trị: $x=1$ (cực đại) và $x=3$ (cực tiểu); $x=2$ không thuộc tập xác định.
d) (AI giải đề cho tôi)
Trên $(-\infty ;1)$ hàm số đồng biến, $-5<0$ nên $f(-5)<f(0)$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ có $y^{\prime }=3a{x}^2+2bx+c$. Hai điểm cực trị có hoành độ $x=-1$ và $x=1$ nên $-1$ và $1$ là nghiệm của $y^{\prime }=0$. Theo Vi-ét: tổng nghiệm $=-\frac{2b}{3a}=0\Rightarrow b=0$; tích nghiệm $=\frac{c}{3a}=-1\Rightarrow c=-3a$.

Điểm cực trị nằm trên đồ thị:
$f(-1)=-a-c+d=3$; $f(1)=a+c+d=-1$.
Cộng hai phương trình: $2d=2\Rightarrow d=1$. Suy ra $a+c=-2$, kết hợp $c=-3a$ được $-2a=-2\Rightarrow a=1$, $c=-3$.

Vậy $S=a^2+b^2+c^2+d^2=1+0+9+1=11$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x^2+(m-1)x+3-2m}{x+m}$, điều kiện $x\ne -m$. Tính đạo hàm: $y^{\prime }=\frac{(2x+m-1)(x+m)-\left(x^2+(m-1)x+3-2m\right)}{(x+m{)}^2}=\frac{x^2+2mx+m^2+m-3}{(x+m{)}^2}$.

Để hàm số đạt cực trị tại $x=-1$ thì $y^{\prime }(-1)=0$ và $-1\ne -m$ (tức $m\ne 1$):
$$1-2m+m^2+m-3=0\iff m^2-m-2=0\iff m=2\text{ hoặc }m=-1.$$

Xét $m=2$: $y^{\prime }=\frac{x^2+4x+3}{(x+2{)}^2}=\frac{(x+1)(x+3)}{(x+2{)}^2}$. Bảng dấu: $y^{\prime }>0$ khi $x<-3$, $y^{\prime }<0$ khi $-3<x<-1$, $y^{\prime }>0$ khi $x>-1$ (với $x\ne -2$). Đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương qua $x=-1$, nên hàm số đạt CỰC TIỂU tại $x=-1$: thỏa mãn.

Xét $m=-1$: $y^{\prime }=\frac{x^2-2x-3}{(x-1{)}^2}=\frac{(x+1)(x+3)}{(x-1{)}^2}$. Tương tự, $y^{\prime }<0$ trên $(-3;-1)$ và $y^{\prime }>0$ trên $(-1;1)$ và $(1;+\infty )$, nên đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương qua $x=-1$: hàm số đạt CỰC TIỂU tại $x=-1$: thỏa mãn.

Cả hai giá trị $m=2$ và $m=-1$ đều thỏa mãn (đều nguyên), tổng bằng $2+(-1)=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: f'(0)=0, f(0)=2 (cực đại), f'(3)=0, f(3)=-4 (cực tiểu), hàm tăng–giảm–tăng nên a>0.
a) Đúng: đạo hàm của đa thức bậc ba là f'(x)=3ax^2+2bx+c với mọi x.
b) Đúng: hai điểm cực trị là M(0;2) và N(3;-4) đúng như bảng biến thiên.
c) Sai: f'(x)=3ax(x-3)=3ax^2-9ax nên b=-9a/2, c=0; f(0)=d=2; f(3)=27a-81a/2+2=-27a/2+2=-4 ⇒ a=4/9. Vậy f(1)=a+b+c+d=4/9-2+0+2=4/9≠2.
d) Sai: f(-1)=-4/9-9/2+2=-53/18, nên 9f(-1)-1=-55/2, do đó g(-1)=f(-55/2) là một số rất lớn (âm), không bằng 2.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đạo hàm của f(x)=ax^3+bx^2+cx+d là f'(x)=3ax^2+2bx+c với mọi x∈ℝ.
b) (AI giải đề cho tôi)
Bảng biến thiên cho cực đại tại x=0, f(0)=2 và cực tiểu tại x=3, f(3)=-4, nên hai điểm cực trị là M(0;2) và N(3;-4).
c) (AI giải đề cho tôi)
f'(x)=3ax(x-3) ⇒ b=-9a/2, c=0; d=2; f(3)=-27a/2+2=-4 ⇒ a=4/9. Vậy a+b+c+d=f(1)=4/9≠2.
d) (AI giải đề cho tôi)
f(-1)=-53/18 ⇒ 9f(-1)-1=-55/2 ⇒ g(-1)=f(-55/2)≠2.

(AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=3x^2+2x+(m^2-4)$. Hàm số có hai điểm cực trị khi ${\Delta }^{\prime }=1-3(m^2-4)>0\iff m^2<\frac{13}{3}$. Hai điểm cực trị $x_1,x_2$ nằm về hai phía trục Oy khi $x_1{x}_2<0\iff \frac{m^2-4}{3}<0\iff m^2<4\iff -2<m<2$ (điều kiện này mạnh hơn $m^2<\frac{13}{3}$ nên thỏa mãn). Vậy $-2<m<2$.

(AI giải đề cho tôi)
Viết $f(x)=\frac{x^2-4x+6}{x-2}=(x-2)+\frac{2}{x-2}$ với $x\ne 2$. Ta có $f^{\prime }(x)=1-\frac{2}{(x-2{)}^2}$; $f^{\prime }(x)=0\iff x=2\pm \sqrt{2}$. Tại $x=2-\sqrt{2}$: $f=-2\sqrt{2}$ (cực đại, vì $f^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ quanh $x=2$... cụ thể trên $(-\infty ;2)$ hàm nghịch biến nên $x=2-\sqrt{2}$ là điểm cực đại với giá trị $-2\sqrt{2}$); tại $x=2+\sqrt{2}$: $f=2\sqrt{2}$ là giá trị cực tiểu.
a) Hai điểm cực trị là $(2-\sqrt{2};-2\sqrt{2})$ và $(2+\sqrt{2};2\sqrt{2})$. Khoảng cách $=\sqrt{(2\sqrt{2}{)}^2+(4\sqrt{2}{)}^2}=\sqrt{8+32}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}\ne \sqrt{10}$ → Sai.
b) Giá trị cực đại $=-2\sqrt{2}$ → Đúng.
c) Đường thẳng qua hai điểm cực trị có hệ số góc $\frac{2\sqrt{2}-(-2\sqrt{2})}{(2+\sqrt{2})-(2-\sqrt{2})}=\frac{4\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}=2$, phương trình $y=2x-4$. Thay $M(1;-2)$: $2\cdot 1-4=-2$ → Đúng.
d) Điểm cực tiểu của hàm số là điểm $(2+\sqrt{2};2\sqrt{2})$, còn $2\sqrt{2}$ chỉ là giá trị cực tiểu; phát biểu 'điểm cực tiểu là $2\sqrt{2}$' → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách giữa hai điểm cực trị $(2-\sqrt{2};-2\sqrt{2})$ và $(2+\sqrt{2};2\sqrt{2})$ là $\sqrt{(2\sqrt{2}{)}^2+(4\sqrt{2}{)}^2}=2\sqrt{10}\ne \sqrt{10}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=1-\frac{2}{(x-2{)}^2}=0\iff x=2\pm \sqrt{2}$; $f(2-\sqrt{2})=-2\sqrt{2}$ là giá trị cực đại.
c) (AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng qua hai điểm cực trị: $y=2x-4$; tại $x=1$ có $y=-2$ nên đi qua $M(1;-2)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Điểm cực tiểu là $(2+\sqrt{2};2\sqrt{2})$; $2\sqrt{2}$ chỉ là giá trị cực tiểu, không phải điểm cực tiểu.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị hàm bậc ba cắt trục hoành tại $O(0;0)$, $A(2;0)$, $B(3;0)$ (vì $OA=2$ km, $AB=1$ km), nên $f(x)=kx(x-2)(x-3)$. Ta có $f^{\prime }(x)=k(3x^2-10x+6)$, các điểm cực trị $x=\frac{5\pm \sqrt{7}}{3}$. Cực đại (ngọn đồi) tại $x_1=\frac{5-\sqrt{7}}{3}\approx 0,7847$: $f(x_1)\approx 2,1127k$. Theo đề ngọn đồi cao $528m=0,528$ km nên $k=\frac{0,528}{2,1127}\approx 0,25$. Điểm sâu nhất của hồ là cực tiểu tại $x_2=\frac{5+\sqrt{7}}{3}\approx 2,5486$: $f(x_2)\approx -0,6311\cdot 0,25\approx -0,1578$ km $\approx -157,8$ m. Vậy độ sâu của hồ tại điểm sâu nhất khoảng $158$ m, khớp với đáp án 158 trong bảng đáp án (mã đề 0102, câu 2).

Tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus \{2\}$.
$f(x)=(x-2)+\frac{2}{x-2}$
$f^{\prime }(x)=1-\frac{2}{(x-2{)}^2}=0\Rightarrow x=2\pm \sqrt{2}$.
Bảng biến thiên



a) Sai. Điểm cực tiểu của hàm số là $x=2+\sqrt{2}$.
b) Đúng. Giá trị cực đại của hàm số là $y_{CD}=-2\sqrt{2}$.
c) Sai. Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là $A\left(2-\sqrt{2};-2\sqrt{2}\right)$, $B\left(2+\sqrt{2};2\sqrt{2}\right)$. Khoảng cách giữa hai điểm cực trị là: $AB=2\sqrt{10}$.
d) Đúng. Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là $d:y=2x-4$. Thay tọa độ điểm $M(1;-2)$ thấy thỏa mãn. Vậy $M\in d$.
a) Sai. Điểm cực tiểu của hàm số là $x=2+\sqrt{2}$.
b) Đúng. Giá trị cực đại của hàm số là $y_{CD}=-2\sqrt{2}$.
c) Sai. Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là $A\left(2-\sqrt{2};-2\sqrt{2}\right)$, $B\left(2+\sqrt{2};2\sqrt{2}\right)$. Khoảng cách giữa hai điểm cực trị là: $AB=2\sqrt{10}$.
d) Đúng. Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là $d:y=2x-4$. Thay tọa độ điểm $M(1;-2)$ thấy thỏa mãn. Vậy $M\in d$.

$C^{\prime }(t)=20e^{-0,2t}\left[1,2e^{-t}-0,2\right]=0\iff t=\ln 6$.
Ta có: $C(0)=0$; $C(\ln 6)\approx 11,64$; $C(10)\approx 2,71$.
Vậy $C(t)$ max tại $t=\ln 6$. Suy ra $b=6$.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị cắt trục hoành tại O(0;0), A(2;0), B(3;0) (vì OA=2, AB=1). Vậy $f(x)=ax(x-2)(x-3)$. Có $f^{\prime }(x)=a(3x^2-10x+6)=0\Rightarrow x=\frac{5\pm \sqrt{7}}{3}$. Đỉnh đồi tại $x_1=\frac{5-\sqrt{7}}{3}\approx 0,7847$ với $f(x_1)=a\cdot x_1(x_1-2)(x_1-3)\approx 2,1127a=0,55$ (km) $\Rightarrow a\approx 0,26033$. Điểm sâu nhất của hồ tại $x_2=\frac{5+\sqrt{7}}{3}\approx 2,5486$: $f(x_2)=a\cdot x_2(x_2-2)(x_2-3)\approx -0,6312\cdot 0,26033\approx -0,16434$ km $\approx 164,3$ m. Độ sâu lớn nhất khoảng 164 m, khớp đáp án 164.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị cắt trục hoành tại $O(0;0)$, $A(2;0)$, $B(3;0)$ (vì $OA=2$ km, $AB=1$ km), nên $f(x)=ax(x-2)(x-3)$. Ta có $f^{\prime }(x)=a(3x^2-10x+6)=0\Rightarrow x=\frac{5\pm \sqrt{7}}{3}$. Đỉnh đồi (cực đại) tại $x_1=\frac{5-\sqrt{7}}{3}\approx 0,7847$ với $f(x_1)\approx a\cdot 2,1125$. Vì ngọn đồi cao $550m=0,55$ km nên $a=\frac{0,55}{2,1125}\approx 0,26035$. Điểm sâu nhất của hồ (cực tiểu) tại $x_2=\frac{5+\sqrt{7}}{3}\approx 2,5486$: $f(x_2)\approx 0,26035\cdot 2,5486\cdot 0,5486\cdot (-0,4514)\approx -0,1643$ km $\approx -164,3$ m. Vậy độ sâu lớn nhất của hồ khoảng $164$ m, khớp với đáp án đã cho (164).

(AI giải đề cho tôi)
Xét $y=f(x)=e^{g(x)}$ với $g(x)=x^3-3x^2$, $g^{\prime }(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$. a) $g^{\prime }(x)=0$ tại $x=0,2$; $g$ giảm trên $(0;2)$, tăng ngoài đó nên $g$ đạt cực tiểu tại $x=2$, $g(2)=8-12=-4$, giá trị cực tiểu $f(2)=e^{-4}$. Đúng. b) Trên $[1;5]$: $g(1)=-2$, $g(2)=-4$, $g(5)=125-75=50$ nên min $=e^{-4}$ ($a=-4$), max $=e^{50}$ ($b=50$), $a+b=46$. Đúng. c) $f^{\prime }(x)=3x(x-2)e^{g(x)}<0$ trên $(1;2)$ nên hàm số nghịch biến trên $(1;2)$, không đồng biến trên $(1;+\infty )$. Sai. d) Khi $x\to +\infty$, $g(x)\to +\infty$ nên $f(x)\to +\infty$, hàm số không đạt GTLN trên tập xác định $\mathbb{R}$ (tại $x=0$ chỉ là cực đại). Sai. Khớp đáp án nguồn: 3a Đúng, 3b Đúng, 3c Sai, 3d Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$g^{\prime }(x)=3x(x-2)$; $g$ đạt cực tiểu tại $x=2$ với $g(2)=-4$, nên giá trị cực tiểu của $f$ là $e^{-4}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
So sánh $g(1)=-2$, $g(2)=-4$, $g(5)=50$: min $=e^{-4}$, max $=e^{50}$, nên $a+b=-4+50=46$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=3x(x-2)e^{x^3-3x^2}<0$ trên $(1;2)$ nên hàm số nghịch biến trên $(1;2)$, không đồng biến trên toàn $(1;+\infty )$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Khi $x\to +\infty$ thì $f(x)\to +\infty$ nên hàm số không có GTLN trên tập xác định; $x=0$ chỉ là điểm cực đại.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=-x+2-\frac{1}{x+1}$, tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus \{-1\}$.

$y^{\prime }=-1+\frac{1}{(x+1{)}^2}$; $y^{\prime }=0\iff x=0$ hoặc $x=-2$.

a) $y^{\prime }<0\iff (x+1{)}^2<1\iff -2<x<0$ (loại $x=-1$), nên hàm nghịch biến trên $(-2;-1)$ và $(-1;0)$. → Đúng.

b) $y^{\prime \prime }=-\frac{2}{(x+1{)}^3}$: tại $x=0$, $y^{\prime \prime }=-2<0$ nên $x=0$ là điểm cực đại; tại $x=-2$, $y^{\prime \prime }=2>0$ nên $x=-2$ là điểm cực tiểu với $y_{CT}=2+2+1=5$. Đề nói $y_{CT}=5$ nhưng giá trị cực tiểu đạt tại $x=-2$ là $5$ — kiểm tra lại: $y(-2)=-(-2)+2-\frac{1}{-1}=2+2+1=5$. Vậy $y_{CT}=5$ đúng. → Đúng.

Lưu ý: tại $x=0$, $y(0)=2-1=1$ là giá trị cực đại.

c) Hàm số có giá trị cực đại bằng $1$ (tại $x=0$), nhưng trên từng nhánh hàm số không có giá trị lớn nhất (khi $x\to +\infty$, $y\to -\infty$; khi $x\to -\infty$, $y\to +\infty$). Do đó khẳng định 'giá trị lớn nhất của hàm số là 1' sai. → Sai.

d) Tâm đối xứng của đồ thị $y=ax+b+\frac{c}{x+d}$ là giao điểm hai tiệm cận: $x=-1$, $y=-x+2=3$, tức $I(-1;3)$, nên $a=-1,b=3$, $b-2a=3+2=5$. → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=-1+\frac{1}{(x+1{)}^2}<0$ khi $-2<x<0$, $x\ne -1$, nên hàm nghịch biến trên $(-2;-1)$ và $(-1;0)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=0$ tại $x=-2,0$; $y^{\prime \prime }(-2)=2>0$ nên cực tiểu tại $x=-2$, $y_{CT}=y(-2)=2+2+1=5$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$y(0)=1$ chỉ là giá trị cực đại; hàm số không có giá trị lớn nhất trên tập xác định vì $y\to +\infty$ khi $x\to -\infty$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tâm đối xứng là giao hai tiệm cận $x=-1$ và $y=-x+2=3$, tức $I(-1;3)$; $b-2a=3-2(-1)=5$.

ĐS: $y=x^3-3x^2-9x+2$ , 17