Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Cực trị (Toán học Lớp 12)

Theo lời giải chính thức trong đề (Mã đề 0101), Câu 5 (Phần III) có đáp số là $-2$.

Ta có $f^{\prime }(x)=3x(x-2)$, nên hàm số đạt cực trị tại $x=0$ và $x=2$. Khi đó $M=f(0)=1,m=f(2)=-3\Rightarrow M+m=-2$.

Quan sát đồ thị ta thấy tại điểm $x=0$, đồ thị hàm số đạt điểm cực đại với giá trị cực đại $y=3$. Tại $x=2$, hàm số đạt cực tiểu với giá trị cực tiểu $y=-1$.
Do đó khẳng định đúng là: Hàm số đạt cực đại tại $x=0$.
(Theo bảng đáp án chính thức trang 9, mã đề 0201: B).

Tốc độ bán hàng được biểu thị bằng hàm số $v(t)=f^{\prime }(t)=\frac{7000\times 7e^{-t}}{(1+7e^{-t}{)}^2}=\frac{49000e^{-t}}{(1+7e^{-t}{)}^2}$.
Để tìm thời điểm tốc độ bán hàng lớn nhất, ta giải phương trình $v^{\prime }(t)=f^{\prime \prime }(t)=0$.
Ta có $v^{\prime }(t)=49000\times \frac{-e^{-t}(1+7e^{-t}{)}^2-e^{-t}\times 2(1+7e^{-t})(-7e^{-t})}{(1+7e^{-t}{)}^4}=\frac{49000e^{-t}(7e^{-t}-1)}{(1+7e^{-t}{)}^3}$.
$v^{\prime }(t)=0\iff 7e^{-t}-1=0\iff e^t=7\iff t=\ln 7\approx 1,\mathrm{9459...}\approx 1,9\text{ na˘m}$.
(Theo bảng đáp án chính thức trang 10, mã đề 0201: Kết quả là 1,9).

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 1001, trang 7), Câu 1 (Phần III) có đáp số là $1191$.

Theo lời giải chi tiết trang 19–20: $f(x)=kx(x-2)(x-5,5)$ với $k<0$. Hai điểm cực trị là $x=\frac{15\pm \sqrt{93}}{6}$. Từ $y_{\text{CT}}=f\left(\frac{15-\sqrt{93}}{6}\right)=-0,45\text{ km}$ suy ra $y_{\text{CĐ}}=f\left(\frac{15+\sqrt{93}}{6}\right)\approx 1,19106\text{ km}\approx 1191\text{ m}$.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 1001, trang 13), Câu 6 (Phần II): a) Đúng, b) Sai, c) Đúng, d) Sai.

Phương trình $f^{\prime }(x)=0$ có $5$ nghiệm đơn: $x=-\sqrt{2},-1,0,1,\sqrt{2}$. Khi $x$ đi qua $-1$ và $1$, $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ dương sang âm nên hàm số có $2$ điểm cực đại. Chọn B.

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng. a) Điều kiện $|x|>0\iff x\ne 0$ nên $D=\mathbb{R}\setminus \{0\}$ (Sai). b) $f^{\prime }(x)=1-\frac{1}{x}$ với mọi $x\ne 0$ (Đúng). c) Hàm số không xác định tại $x=0$ và đồng biến trên $(-\infty ;0)$, nghịch biến trên $(0;1)$ nên c) Sai. d) $f^{\prime }(x)=0\iff x=1$, đổi dấu qua $x=1$ nên hàm số có đúng $1$ điểm cực trị (Đúng).

Đáp án: D. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 9, mã đề 0118; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Đáp án: C. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 9, mã đề 1001; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Đáp án: B. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 9, mã đề 1201; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

a) Sai: Đồ thị $f^{\prime }(x)$ cắt trục hoành tại $x=-1,1,4$, đổi dấu qua các nghiệm nên hàm số có nhiều hơn 2 điểm cực trị.
b) Đúng: Trên $[-1;1]$, $f^{\prime }(x)\ge 0$, trên $[1;4]$, $f^{\prime }(x)\le 0$. Diện tích hình phẳng là $S={\int }_{-1}^1{f}^{\prime }(x)\text{d}x-{\int }_1^4{f}^{\prime }(x)\text{d}x$.
c) Sai: Vì $f^{\prime }(x)\le 0$ trên $[1;4]$, hàm số nghịch biến trên $[1;4]$ nên giá trị nhỏ nhất đạt tại $x=1$ hoặc $x=4$, không phải tại $x=-1$.
d) Đúng: Dựa vào sự biến thiên của $f(x)$ và $f(1)\in (2;3)$, phương trình $f(x)=0$ có đúng 2 nghiệm phân biệt.
(Theo bảng đáp án chính thức trang 6, mã đề 0017: a-S, b-Đ, c-S, d-Đ).

Từ bảng biến thiên, hàm số đạt cực tiểu tại $x=3$ và giá trị cực tiểu của hàm số là $y_{\text{ct}}=-4$.
(Theo bảng đáp án chính thức trang 9, mã đề 101: Chọn C).

Đáp án: A. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 6, mã đề 1201; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Điểm cực đại của hàm số là $x=2$, còn $4$ là giá trị cực đại của hàm số. Do đó phát biểu C sai.

Đáp án: B. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 9, mã đề 1010; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus \{2\}$. Ta có $y=x-2+\frac{1}{x-2}\Rightarrow y^{\prime }=1-\frac{1}{(x-2{)}^2}=0\iff x=1$ (cực đại) hoặc $x=3$ (cực tiểu). Hai điểm cực trị của hàm số là $x=1>0$ và $x=3>0$, cùng dấu dương. Chọn C.

Ta có $y^{\prime }=x^2-x-2=0\iff x=-1$ hoặc $x=2$. Điểm cực đại của hàm số là $x=-1$, còn $M\left(-1;\frac{13}{6}\right)$ là điểm cực đại của đồ thị hàm số. Chọn A.

Ta có $y^{\prime }=3x^2+6x-3$. Thực hiện phép chia đa thức: $y=\left(\frac{1}{3}x+\frac{1}{3}\right)y^{\prime }-4x+3$, nên phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là $y=-4x+3$. Chọn C.

Ta có $f^{\prime }(x)=(x+3)(x-1)(x-3{)}^2(x+1{)}^2$. Đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm khi đi qua $x=-3$, nên điểm cực đại của hàm số là $x=-3$. Chọn D.

Điều kiện: $u(x)=x^3-6x^2+9x-2>0$. Ta có $y^{\prime }=\frac{3x^2-12x+9}{u(x)}=0\iff x=1$ (thỏa mãn $u(1)=2>0$) hoặc $x=3$ (loại vì $u(3)=-2<0$). Tại $x=1$, $y^{\prime }$ đổi dấu từ dương sang âm nên hàm số đạt cực đại tại $x=1$. Chọn C.