Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Dấu tam thức, BPT bậc hai (Toán học Lớp 10)

Tam thức $f(x)=x^2-4x+3$ có hệ số $a=1>0$ và có hai nghiệm phân biệt $x=1;x=3$ nên $f(x)<0\iff 1<x<3$. Do đó tập nghiệm của BPT là: $S=(1;3)$.

(AI giải đề cho tôi)
Tam thức bậc hai $f(x)=a{x}^2+bx+c$ với $\Delta =b^2-4ac$. Khi $\Delta <0$, tam thức không có nghiệm và $f(x)$ luôn cùng dấu với hệ số $a$ với mọi $x\in \mathbb{R}$ (vì $f(x)=a\left[(x+\frac{b}{2a}{)}^2+\frac{-\Delta }{4a^2}\right]$ và $\frac{-\Delta }{4a^2}>0$). Do đó khẳng định D đúng. A sai vì khi $\Delta <0$ tam thức cùng dấu với $a$ chứ không phải $b$. B sai vì khi $\Delta =0$ tam thức cùng dấu với $a$ (không phải $b$) với mọi $x\ne -\frac{b}{2a}$. C sai vì khi $\Delta >0$ tam thức trái dấu với $a$ giữa hai nghiệm. Đáp án trùng với mã đề 132, câu 10: D.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ: Parabol (P) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt x=1 và x=5, có đỉnh I(3;-4) và bề lõm hướng lên (a>0). a) Đồ thị cắt trục Ox tại hai điểm phân biệt nên phương trình f(x)=0 có hai nghiệm phân biệt, do đó Δ>0: đúng. b) Với a>0, f(x)<0 khi x nằm giữa hai nghiệm, tức x∈(1;5), không phải (-∞;1)∪(5;+∞): sai. c) Parabol có bề lõm hướng lên nên a>0: sai. d) Hoành độ đỉnh x=(1+5)/2=3, tung độ đỉnh y=-4 (theo hình vẽ), nên đỉnh I(3;-4): đúng. Kiểm tra: f(x)=a(x-1)(x-5), f(0)=5a=5 nên a=1, f(x)=x²-6x+5, f(3)=-4 khớp.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị cắt trục Ox tại hai điểm phân biệt x=1 và x=5 nên f(x)=0 có hai nghiệm phân biệt, suy ra Δ>0.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì a>0 (bề lõm hướng lên), f(x)<0 khi x nằm giữa hai nghiệm: x∈(1;5), không phải (-∞;1)∪(5;+∞).
c) (AI giải đề cho tôi)
Parabol có bề lõm hướng lên nên a>0.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hoành độ đỉnh là trung điểm hai nghiệm (1+5)/2=3, tung độ đỉnh theo hình là -4, nên đỉnh I(3;-4).

Tam thức $f(x)=x^2-5x+4$ có hệ số $a=1>0$ và có hai nghiệm phân biệt $x=1;x=4$ nên $f(x)<0\iff 1<x<4$. Do đó tập nghiệm của BPT là: $S=(1;4)$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $-x^2+4x+5\le 0\iff x^2-4x-5\ge 0\iff (x-5)(x+1)\ge 0$. Nghiệm của phương trình $x^2-4x-5=0$ là $x=-1$ hoặc $x=5$. Vì tam thức có hệ số $a=1>0$ nên $x^2-4x-5\ge 0$ khi $x\le -1$ hoặc $x\ge 5$. Vậy $S=(-\infty ;-1]\cup [5;+\infty )$, trùng với đáp án B (khớp mã đề 132 ở trang đáp án).

Chọn D (trang lời giải ghi nhãn 'Chọn C' vì ở đó các phương án được sắp xếp lại: A. $x\in \left(-1;\frac{1}{2}\right)$, B. $x\in (-\infty ;-1)\cap \left(\frac{1}{2};+\infty \right)$, C. $x\in (-\infty ;-1)\cup \left(\frac{1}{2};+\infty \right)$, D. $x\in (-\infty ;-1]\cup \left[\frac{1}{2};+\infty \right]$; nội dung đáp án $x\in (-\infty ;-1)\cup \left(\frac{1}{2};+\infty \right)$ khớp với phương án D của đề). Ta có: $f(x)=0\iff \{\begin{array}{l}x=-1\\ x=\frac{1}{2}\end{array}$. Bảng xét dấu: $f(x)$ dương trên $(-\infty ;-1)$, âm trên $\left(-1;\frac{1}{2}\right)$, dương trên $\left(\frac{1}{2};+\infty \right)$. Vậy $f(x)>0$ khi $x\in (-\infty ;-1)\cup \left(\frac{1}{2};+\infty \right)$.

Đáp án: 8. $f(x)=a{x}^2+bx+c\ge 0,\forall x\in R\iff \{\begin{array}{l}\Delta \le 0\\ a>0\end{array}$. Vậy để $f(x)=(m-2)x^2+2(2m-3)x+5m-6\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}$ ta cần điều kiện: $\{\begin{array}{l}{\Delta }^{\prime }\le 0\\ a>0\end{array}$ $$\iff \{\begin{array}{l}(2m-3{)}^2-(m-2)(5m-6)\le 0\\ m-2>0\end{array}$$ $$\iff \{\begin{array}{l}-m^2+4m-3\le 0\\ m>2\end{array}\iff \{\begin{array}{l}m\in (-\infty ;1]\cup [3;+\infty )\\ m>2\end{array}\iff m\in \{3;4;5;6;7;8;9;10\}$$ Với có 8 giá trị nguyên của $m$ (giữ nguyên lỗi chính tả 'Với có' theo bản in gốc).

Gọi n là số khách du lịch $(n\ge 50)$. Giá vé mỗi người: $p=360000-6000(n-50)=660000-6000n$. Doanh thu: $R=n.p=n(660000-6000n)=660000n-6000n^2$. Điều kiện không lỗ: $R\ge 18096000\iff 660000n-6000n^2\ge 18096000$ $\iff -6000n^2+660000n-18096000\ge 0\iff n^2-110n+3016\le 0\iff 52\le n\le 58$. Vì $n\ge 50$ nên số khách ít nhất là: 52. Kết luận: Số người ít nhất là 52 khách.

Chọn C. Theo lời giải trang 5 (đánh số Câu 10 trong phần lời giải), đáp án là hệ $\{\begin{array}{l}a<0\\ \Delta \le 0\end{array}$; trong đề (trang 1) nội dung này ứng với phương án C.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $f(x)=x^2-3x+2$, có $\Delta =9-8=1>0$, phương trình $f(x)=0$ có hai nghiệm $x=1$ và $x=2$. Vì hệ số $a=1>0$, parabol hướng lên nên $f(x)<0$ khi $x\in (1;2)$. Vậy tập nghiệm là $S=(1;2)$, tương ứng phương án A.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị parabol có bề lõm hướng xuống ($a<0$) và cắt trục hoành tại hai điểm $x=-1$ và $x=1$. Với $a<0$, $f(x)\le 0$ khi $x$ nằm ngoài khoảng giữa hai nghiệm, kể cả hai nghiệm vì dấu bằng cho phép: $f(x)\le 0⟺x\in (-\infty ;-1]\cup [1;+\infty )$. Vậy đáp án C.

Đáp án: 48
Gọi $x$ là tổng số áo mà lớp đặt ($x\in {\mathbb{N}}^{\ast };x\ge 35$) $\Rightarrow$ Số áo đặt vượt quá mốc 35 chiếc là: $x-35$ (áo).
Theo chính sách, cứ thêm 1 áo thì giá giảm 2000 đồng, nên tổng số tiền được giảm cho mỗi chiếc áo là:
$$2000(x-35)\text{ (đoˆˋng)}.$$
Giá tiền thực tế để in mỗi chiếc áo là:
$$150000-2000.(x-35)=150000-2000x+70000=220000-2000x\text{ (đoˆˋng)}.$$
Tổng doanh thu xưởng in thu được từ đơn hàng của lớp là:
$$x.(220000-2000x)=-2000x^2+220000x\text{ (đoˆˋng)}.$$
Để xưởng in không bị lỗ thì tổng doanh thu thu được phải lớn hơn hoặc bằng chi phí thực tế
$\Rightarrow$ Ta có bất phương trình: $-2000x^2+220000x\ge 5952000$
$\iff x^2-110x\le -2976\iff x^2-110x+2976\le 0\iff 48\le x\le 62$
Vậy lớp cần đặt ít nhất 48 chiếc áo để xưởng in không bị lỗ.

Đáp án: 48
Gọi $x$ là tổng số áo mà lớp đặt ($x\in {\mathbb{N}}^{\ast };x\ge 35$) $\Rightarrow$ Số áo đặt vượt quá mốc 35 chiếc là: $x-35$ (áo).
Theo chính sách, cứ thêm 1 áo thì giá giảm 2000 đồng, nên tổng số tiền được giảm cho mỗi chiếc áo là:
$$2000(x-35)\text{ (đoˆˋng)}.$$
Giá tiền thực tế để in mỗi chiếc áo là:
$$150000-2000.(x-35)=150000-2000x+70000=220000-2000x\text{ (đoˆˋng)}.$$
Tổng doanh thu xưởng in thu được từ đơn hàng của lớp là:
$$x.(220000-2000x)=-2000x^2+220000x\text{ (đoˆˋng)}.$$
Để xưởng in không bị lỗ thì tổng doanh thu thu được phải lớn hơn hoặc bằng chi phí thực tế
$\Rightarrow$ Ta có bất phương trình: $-2000x^2+220000x\ge 5952000$
$\iff x^2-110x\le -2976\iff x^2-110x+2976\le 0\iff 48\le x\le 62$
Vậy lớp cần đặt ít nhất 48 chiếc áo để xưởng in không bị lỗ.

(AI giải đề cho tôi)
Bất phương trình $x^2+5<6x$ tương đương $x^2-6x+5<0$, tức $(x-1)(x-5)<0$. Tam thức có hai nghiệm phân biệt $x=1$ và $x=5$ với hệ số $a=1>0$ nên âm khi $1<x<5$. Vậy tập nghiệm là $S=(1;5)$. Kiểm tra: $x=3$ thì $9+5=14<18$ đúng; $x=0$ thì $5<0$ sai. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $3x^2-12x+9<0\iff x^2-4x+3<0\iff (x-1)(x-3)<0\iff 1<x<3$. Vậy tập nghiệm là $(1;3)$, chứa phần tử $x=2$ (các giá trị $x=1,3$ không thuộc vì bất phương trình nghiêm ngặt, $x=4$ không thuộc). Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $f(x)=x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$, delta $=25-24=1>0$, hai nghiệm phân biệt $x=2$ và $x=3$, hệ số $a=1>0$ nên parabol hướng lên. Bất phương trình $x^2-5x+6>0$ nghiệm khi $x<2$ hoặc $x>3$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Bất phương trình $x(x+5)\le 2(x^2+2)$ tương đương $x^2+5x\le 2x^2+4$, tức $x^2-5x+4\ge 0$. Phân tích $x^2-5x+4=(x-1)(x-4)\ge 0$, suy ra $x\le 1$ hoặc $x\ge 4$, tức $x\in (-\infty ;1]\cup [4;+\infty )$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Chia hai vế cho 2: $x^2-7x+10<0\iff (x-2)(x-5)<0\iff 2<x<5$. Vậy $S=(2;5)$, chọn đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Theo hình vẽ, bốn tam giác xung quanh là các tam giác vuông bằng nhau với hai cạnh góc vuông là $x$ và $20-x$ (vì cạnh hình vuông lớn bằng 20 cm). Cạnh viên gạch là cạnh huyền của tam giác vuông này nên bình phương cạnh viên gạch bằng $x^2+(20-x{)}^2$.

Diện tích viên gạch:
$$S=x^2+(20-x{)}^2=2x^2-40x+400.$$

Yêu cầu $S\le 208$:
$$2x^2-40x+400\le 208\iff x^2-20x+96\le 0.$$

Phương trình $x^2-20x+96=0$ có $\Delta =400-384=16$, nghiệm $x=\frac{20\pm 4}{2}$, tức $x=8$ hoặc $x=12$.

Kết hợp điều kiện $0<x<20$ (để tạo thành bốn tam giác xung quanh), ta được:
$$8\le x\le 12.$$

Kiểm tra: $x=10$ thì $S=100+100=200\le 208$ (thỏa mãn); $x=7$ thì $S=49+169=218>208$ (loại); $x=13$ thì $S=169+49=218>208$ (loại).

Vậy $x\in [8;12]$ (cm).

(AI giải đề cho tôi)
Giải $x^2-8x+7\ge 0\iff (x-1)(x-7)\ge 0\iff x\le 1$ hoặc $x\ge 7$. Vậy $S=(-\infty ;1]\cup [7;+\infty )$. Kiểm tra: $(-\infty ;0]\subset S$, $[8;+\infty )\subset S$, $(-\infty ;-1]\subset S$, nhưng $[6;+\infty )\not\subset S$ vì $6\in [6;+\infty )$ mà $6\notin S$ (với $x=6$: $36-48+7=-5<0$).