Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Dãy số (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Thay $n=3$ vào $u_n=n^2-3n+2$: $u_3=9-9+2=2$. Vậy đáp án A, khớp với đáp án nguồn.

a) Ta có $n{u}_{n+1}=2(n+1)u_n+n^2+n,\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ suy ra $n(u_{n+1}-u_n)=2(n+1)u_n+n^2+n-n{u}_n=(n+2)u_n+n^2+n$.

Dễ thấy $u_{n-1}>0$ và $n>0$ nên $(n+2)u_n+n^2+n>0$.
Suy ra $n(u_{n+1}-u_n),\forall n=1,2,3,\mathrm{4...}$
Suy ra $u_{n+1}-u_n>0$.
Vậy $(u_n)$ là dãy số tăng.

b) Chia hai vế cho $n(n+1)$ ta có $\frac{u_{n+1}}{n+1}=2\frac{u_n}{n}+1$.
Đặt $v_n=\frac{u_n}{n}$ suy ra $v_1=2$ và $v_{n+1}=2v_n+1$.
Ta có $v_n+1=2(v_{n-1}+1)=...=2^{n-1}(v_1+1)=3.2^{n-1}$.
Suy ra $v_n=3.2^{n-1}-1$ hay $\frac{u_n}{n}=3.2^{n-1}-1$.

Ta có
$$\frac{u_1}{1}+\frac{u_2}{2}+...+\frac{u_{2025}}{2025}+\frac{u_{2026}}{2026}=3\left(1+2+...+2^{2024}+2^{2025}\right)-2026$$
$$=3.2^{2026}-2029<3.2^{2026}.$$

Chú ý: Học sinh làm theo cách khác nhưng đúng vẫn cho điểm tối đa.

(AI giải đề cho tôi)
a) Với $n=1$: $a_1=2a_1-1\Rightarrow a_1=1$. Với $n=2$: $1+a_2=2a_2-1\Rightarrow a_2=2$. Với $n=3$: $1+2+a_3=2a_3-1\Rightarrow a_3=4$. Suy ra dự đoán $a_n=2^{n-1}$ (kiểm tra: ${\sum }_{k=1}^n{2}^{k-1}=2^n-1=2a_n-1$ đúng).

b) Từ $b_{k+1}=a_k+b_k$, ta có $b_n=b_1+{\sum }_{k=1}^{n-1}{a}_k=-1+(2^{n-1}-1)=2^{n-1}-2$ với $n\ge 2$ (kiểm tra: $b_2=a_1+b_1=0=2^1-2$ đúng).

Do đó:
$$b_2+b_3+\cdots +b_n=\sum _{j=2}^n(2^{j-1}-2)=(2^n-2)-2(n-1)=2^n-2n.$$

Giải $2^n-2n=2026$. Thử $n=11$: $2^{11}-22=2048-22=2026$ thỏa mãn. Vậy $n=11$.

(AI giải đề cho tôi)
Thay $n=1,2,3,4,5$ vào $u_n=\frac{2n+1}{n+2}$: $u_1=\frac{3}{3}=1$, $u_2=\frac{5}{4}$, $u_3=\frac{7}{5}$, $u_4=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}$, $u_5=\frac{11}{7}$. Khớp phương án B.

(AI giải đề cho tôi)
Thay $n=1,2,3$ vào $u_n=\frac{n}{3^n-1}$: $u_1=\frac{1}{3-1}=\frac{1}{2}$; $u_2=\frac{2}{9-1}=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$; $u_3=\frac{3}{27-1}=\frac{3}{26}$. Vậy ba số hàng đầu là $\frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{3}{26}$, tương ứng phương án B.

(AI giải đề cho tôi)
Giải phương trình $\frac{n+1}{2n+1}=\frac{8}{15}$ với $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$: nhân chéo ta được $15(n+1)=8(2n+1)$, tức $15n+15=16n+8$, suy ra $n=7$. Vậy $\frac{8}{15}$ là số hạng thứ $7$ của dãy. Kiểm tra: $u_7=\frac{7+1}{2\cdot 7+1}=\frac{8}{15}$ đúng. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Giải phương trình $\frac{2n+5}{5n-4}=\frac{7}{12}$ với $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Suy ra $12(2n+5)=7(5n-4)\iff 24n+60=35n-28\iff 11n=88\iff n=8$. Vậy $\frac{7}{12}$ là số hạng thứ 8 của dãy, đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Thay $n=5$ vào công thức số hạng tổng quát: $u_5=\frac{5+1}{5}=\frac{6}{5}$. Vậy đáp án đúng là B.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $u_n=\frac{n^2+3n+7}{n+1}=\frac{(n+1)(n+2)+5}{n+1}=n+2+\frac{5}{n+1}$, với $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Để $u_n$ nguyên thì $\frac{5}{n+1}$ phải nguyên, tức $n+1$ là ước của 5: $n+1\in \{1;5\}$. Với $n+1=1\Rightarrow n=0$ (không thuộc ${\mathbb{N}}^{\ast }$, loại). Với $n+1=5\Rightarrow n=4$, khi đó $u_4=6+1=7$ nguyên. Vậy dãy có đúng 1 số hạng nhận giá trị nguyên.

(AI giải đề cho tôi)
Xét hiệu $u_{n+1}-u_n=\frac{n+6}{n+3}-\frac{n+5}{n+2}=\frac{(n+6)(n+2)-(n+5)(n+3)}{(n+3)(n+2)}=\frac{n^2+8n+12-n^2-8n-15}{(n+3)(n+2)}=\frac{-3}{(n+3)(n+2)}<0$ với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Vậy dãy số giảm. Đồng thời $u_{n+1}=\frac{n+6}{n+3}=1+\frac{3}{n+3}\ne \frac{n+5}{n+2}+1$, nên D sai.

(AI giải đề cho tôi)
Xét hiệu $u_{n+1}-u_n$ cho từng dãy.
A) $u_n=\frac{n}{2^n}$: $u_{n+1}-u_n=\frac{n+1}{2^{n+1}}-\frac{n}{2^n}=\frac{n+1-2n}{2^{n+1}}=\frac{1-n}{2^{n+1}}\le 0$ với $n\ge 1$, dãy giảm (từ $n\ge 2$ giảm ngặt).
B) $u_n=\frac{n}{2n^2+1}$: $u_{n+1}-u_n=\frac{n+1}{2(n+1{)}^2+1}-\frac{n}{2n^2+1}=\frac{(n+1)(2n^2+1)-n(2n^2+4n+3)}{(2n^2+4n+3)(2n^2+1)}=\frac{-2n^2-2n+1}{(2n^2+4n+3)(2n^2+1)}<0$ với $n\ge 1$, dãy giảm.
C) $u_n=\frac{n^2+1}{3n+2}$: $u_{n+1}-u_n=\frac{(n+1{)}^2+1}{3n+5}-\frac{n^2+1}{3n+2}=\frac{(n^2+2n+2)(3n+2)-(n^2+1)(3n+5)}{(3n+5)(3n+2)}=\frac{3n^2+7n-1}{(3n+5)(3n+2)}>0$ với mọi $n\ge 1$ (vì $3n^2+7n-1\ge 9>0$). Vậy dãy tăng.
D) $u_n=(-2{)}^n\sqrt{n^2-1}$: dãy đổi dấu (các số hạng chẵn dương, lẻ âm) nên không thể tăng.
Kết luận: dãy tăng là phương án C.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $u_{n+1}-u_n=\sqrt{5n+7}-\sqrt{5n+2}>0$ vì $5n+7>5n+2$ với mọi $n\ge 1$. Vậy dãy số tăng, đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $u_{n+1}-u_n=\frac{1}{3n+5}-\frac{1}{3n+2}=\frac{(3n+2)-(3n+5)}{(3n+5)(3n+2)}=\frac{-3}{(3n+5)(3n+2)}<0$ với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Vậy dãy số giảm, đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Với $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, ta có $2n+3\ge 5$ nên $0<\frac{1}{2n+3}\le \frac{1}{5}$, suy ra $-\frac{1}{5}\le u_n=\frac{-1}{2n+3}<0$. Dãy số vừa bị chặn dưới bởi $-\frac{1}{5}$ vừa bị chặn trên bởi $0$, tức là dãy số bị chặn. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $u_n=\frac{4n+5}{n+1}=\frac{4(n+1)+1}{n+1}=4+\frac{1}{n+1}$. Với mọi $n\ge 1$ thì $0<\frac{1}{n+1}\le \frac{1}{2}$, nên $4<u_n\le \frac{9}{2}$. Dãy số vừa bị chặn trên (bởi $\frac{9}{2}$) vừa bị chặn dưới (bởi 4), do đó dãy số bị chặn. Mệnh đề đúng là A.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $u_n=\frac{n^3}{n^2+1}=\frac{n}{1+\frac{1}{n^2}}$. Với mọi $n\ge 1$ thì $1<1+\frac{1}{n^2}\le 2$, nên $\frac{n}{2}\le u_n<n$. Do đó $u_n\to +\infty$ khi $n\to \infty$ (ví dụ $u_n>n$ với mọi $n$), tức dãy số không bị chặn trên, nên không bị chặn. Dãy có $u_1=\frac{1}{2}>0$ nên bị chặn dưới bởi 0, nhưng trong các phương án, mệnh đề đúng theo yêu cầu là dãy không bị chặn (không bị chặn trên nên không bị chặn).

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng dãy: A) $a_n=\sqrt{n^3+n}\to +\infty$ nên không bị chặn. B) $b_n=n^2+\frac{1}{2n}\to +\infty$ nên không bị chặn. C) $c_n=(-2{)}^n+3$ có các số hạng $-2+3=1,4+3=7,-8+3=-5,16+3=19,\dots$; do $|(-2{)}^n|\to \infty$ nên dãy không bị chặn (không bị chặn trên lẫn dưới). D) $d_n=\frac{3n}{n^3+2}>0$ với mọi $n$ và $d_n\le \frac{3n}{n^3}=\frac{3}{n^2}\le 3$, nên $0<d_n\le 3$: dãy bị chặn. Vậy dãy bị chặn là dãy $(d_n)$, đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Với $u_n=n^2-2025n+4050$ (n≥1):
- a) $u_{2025}=2025^2-2025\cdot 2025+4050=4050$ → đúng.
- Xét hiệu $u_{n+1}-u_n=(n+1{)}^2-n^2-2025=2n+1-2025=2n-2024$. Với $n\le 1011$ thì $u_{n+1}<u_n$ (dãy giảm), với $n\ge 1013$ thì $u_{n+1}>u_n$ (dãy tăng). Do đó dãy không phải dãy tăng (b sai) và không phải dãy giảm (c sai).
- d) Vì $u_n\to +\infty$ khi $n\to \infty$ (dãy có parabol hướng lên với đỉnh tại $n=1012,5$, giá trị nhỏ nhất khoảng $u_{1012}=u_{1013}=1012^2-2025\cdot 1012+4050=-1019506$), dãy bị chặn dưới nhưng không bị chặn trên, nên không bị chặn → d sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$u_{2025}=2025^2-2025\cdot 2025+4050=4050$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$u_{n+1}-u_n=2n-2024<0$ khi $n\le 1011$, nên dãy không tăng với mọi n.
c) (AI giải đề cho tôi)
$u_{n+1}-u_n=2n-2024>0$ khi $n\ge 1013$, nên dãy không giảm với mọi n.
d) (AI giải đề cho tôi)
$u_n=n^2-2025n+4050\to +\infty$ khi $n\to \infty$, dãy không bị chặn trên nên không bị chặn.

(AI giải đề cho tôi)
Với $u_n=\frac{n+1}{3n}$:

a) $u_1=\frac{2}{3},u_2=\frac{3}{6}=\frac{1}{2},u_3=\frac{4}{9},u_4=\frac{5}{12},u_5=\frac{6}{15}=\frac{2}{5}$. Mệnh đề đúng.

b) Giải $\frac{n+1}{3n}=\frac{33}{101}\Rightarrow 101(n+1)=99n\Rightarrow 2n=-101$, vô nghiệm $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Vậy $\frac{33}{101}$ không là số hạng của dãy. Mệnh đề sai.

c) $u_2-u_1=\frac{1}{2}-\frac{2}{3}=-\frac{1}{6}$, $u_3-u_2=\frac{4}{9}-\frac{1}{2}=-\frac{1}{18}\ne -\frac{1}{6}$, nên dãy không là cấp số cộng. Mệnh đề sai.

d) Ta có $v_{n+1}=u_n{v}_n$ nên $v_n=v_1\cdot u_1{u}_2\cdots u_{n-1}=\frac{1}{3}\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{3}{6}\cdots \frac{n}{3(n-1)}=\frac{1}{3}\cdot \frac{n}{3^{n-1}}=\frac{n}{3^n}$.
Do đó $\frac{v_n}{n}=\frac{1}{3^n}$, nên $S={\sum }_{n=1}^{10}\frac{1}{3^n}=\frac{\frac{1}{3}(1-\frac{1}{3^{10}})}{1-\frac{1}{3}}=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{59049}\right)=\frac{29524}{59049}$. Mệnh đề đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Thay $n=1,2,3,4,5$ vào $u_n=\frac{n+1}{3n}$ được đúng các giá trị $\frac{2}{3};\frac{1}{2};\frac{4}{9};\frac{5}{12};\frac{2}{5}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\frac{n+1}{3n}=\frac{33}{101}$ cho $2n=-101$, vô nghiệm nguyên dương.
c) (AI giải đề cho tôi)
$u_2-u_1=-\frac{1}{6}$ còn $u_3-u_2=-\frac{1}{18}$, khác nhau nên không phải cấp số cộng.
d) (AI giải đề cho tôi)
$v_n=\frac{n}{3^n}$ nên $\frac{v_n}{n}=\frac{1}{3^n}$; tổng cấp số nhân $S={\sum }_{n=1}^{10}\frac{1}{3^n}=\frac{29524}{59049}$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 57: Xét tính tăng giảm của các dãy số.

1) $u_n=2n^3-5n+1$. Ta có
$$u_{n+1}-u_n=2(n+1{)}^3-5(n+1)+1-(2n^3-5n+1)=6n^2+6n-3=3(2n^2+2n-1).$$
Với $n\ge 1$ thì $2n^2+2n-1\ge 2+2-1=3>0$, nên $u_{n+1}>u_n$ với mọi $n$. Vậy dãy số tăng.

2) $u_n=3^n-n$. Ta có
$$u_{n+1}-u_n=3^{n+1}-(n+1)-(3^n-n)=2\cdot 3^n-1>0$$
với mọi $n\ge 1$ (vì $2\cdot 3^n-1\ge 5>0$). Vậy dãy số tăng.

3) $u_n=\frac{n}{n^2+1}$. Ta có
$$u_{n+1}-u_n=\frac{n+1}{(n+1{)}^2+1}-\frac{n}{n^2+1}=\frac{(n+1)(n^2+1)-n(n^2+2n+2)}{(n^2+2n+2)(n^2+1)}=\frac{-n^2-n+1}{(n^2+2n+2)(n^2+1)}.$$
Với $n\ge 1$ thì $-n^2-n+1\le -1<0$, nên $u_{n+1}<u_n$ với mọi $n$. Vậy dãy số giảm.

4) $u_n=\frac{\sqrt{n}}{2^n}>0$ với mọi $n$. Xét tỉ số
$$\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{\sqrt{n+1}}{2^{n+1}}\cdot \frac{2^n}{\sqrt{n}}=\frac{1}{2}\sqrt{1+\frac{1}{n}}\le \frac{\sqrt{2}}{2}<1.$$
Suy ra $u_{n+1}<u_n$ với mọi $n$. Vậy dãy số giảm.

Kết luận: 1) tăng; 2) tăng; 3) giảm; 4) giảm.