Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đường thẳng trong mặt phẳng (Toán học Lớp 10)

a) Ta có: $\overrightarrow{BC}=(3;4)\Rightarrow \overrightarrow{n_{BC}}=(4;-3)$. [0,25 điểm]
Phương trình tổng quát của $BC$ là:
$$4(x+1)-3(y+1)=0\iff 4x-3y+1=0.$$ [0,25 điểm]
b) Gọi phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ có dạng tổng quát:
$$(C):x^2+y^2-2ax-2by+c=0\text{ ( với }{a}^2+b^2-c>0\text{)}.$$
Vì $A,B,C$ thuộc đường tròn $(C)$ nên tọa độ của chúng phải thỏa mãn phương trình đường tròn. Ta có hệ:
$$\{\begin{array}{l}{1}^2+2^2-2a-4b+c=0\\ (-1{)}^2+(-1{)}^2-2a(-1)-2b(-1)+c=0\\ 2^2+3^2-4a-6b+c=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}-2a-4b+c=-5\\ 2a+2b+c=-2\\ -4a-6b+c=-13\end{array}$$ [0,25 điểm]
Giải hệ phương trình: $$\{\begin{array}{l}a=\frac{21}{2}\\ b=-\frac{13}{2}\\ c=-10\end{array}$$
Thay $a,b,c$ vào phương trình tổng quát: $x^2+y^2-21x+13y-10=0$. [0,25 điểm]

(AI giải đề cho tôi)
Vecto $\overrightarrow{AB}=(1-(-3);4-2)=(4;2)$. Một vecto chỉ phương của đường thẳng $AB$ là mọi vecto cùng phương với $\overrightarrow{AB}$. Trong các đáp án, chỉ có $\overrightarrow{u_2}=(2;1)$ cùng phương với $\overrightarrow{AB}$ vì $(4;2)=2\cdot (2;1)$. Các vecto còn lại: $(1;1)$, $(-2;6)$, $(-1;2)$ đều không tỉ lệ với $(4;2)$. Vậy đáp án đúng là C, khớp với đáp án nguồn (mã đề 102, câu 5: C).

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d:5x+y-3=0$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(5;1)$. Đường thẳng $d^{\prime }:\frac{x}{-1}+\frac{y}{5}=1\iff -5x+y-5=0$ có vectơ pháp tuyến ${\vec{n}}^{\prime }=(-5;1)$. Cosin góc giữa hai đường thẳng: $\cos \phi =\frac{|\vec{n}\cdot {\vec{n}}^{\prime }|}{|\vec{n}||{\vec{n}}^{\prime }|}=\frac{|5\cdot (-5)+1\cdot 1|}{\sqrt{26}\cdot \sqrt{26}}=\frac{24}{26}=\frac{12}{13}$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (Mã đề 102, Câu 9: B).

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d:-2x+by+c=0$ song song với $x+2y+2026=0$ nên hai vecto pháp tuyến tỉ lệ: $\frac{-2}{1}=\frac{b}{2}\Rightarrow b=-4$. Vì $d$ đi qua $A(-2;3)$: $-2(-2)+(-4)(3)+c=0\Rightarrow 4-12+c=0\Rightarrow c=8$. Vậy $S=b+c=-4+8=4$, khớp với đáp án nguồn (mã đề 101, Phần III câu 4 = 4).

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d:5x+y-3=0$ có vectơ chỉ phương $\vec{u}=(1;-5)$. Đường thẳng $d^{\prime }:\frac{x}{-1}+\frac{y}{5}=1\iff -x+\frac{y}{5}=1\iff y=5x+5$ có vectơ chỉ phương ${\vec{u}}^{\prime }=(1;5)$. Khi đó $\cos \phi =\frac{|1\cdot 1+(-5)\cdot 5|}{\sqrt{1+25}\cdot \sqrt{1+25}}=\frac{|1-25|}{26}=\frac{24}{26}=\frac{12}{13}$. Vậy đáp án B, trùng với đáp án nguồn (mã đề 101, câu 5: B).

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng $d_1:(m-1)x+2y-2=0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_1}=(m-1;2)$ và $d_2:mx+y+1=0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_2}=(m;1)$. Điều kiện vuông góc: $\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}=0\iff (m-1)m+2=0\iff m^2-m+2=0$. Biệt thức $\Delta =1-8=-7<0$ nên phương trình vô nghiệm trên $\mathbb{R}$. Vậy không tồn tại giá trị $m$ nào, số giá trị bằng $0$, khớp đáp án bảng (câu 19, mã đề 1002 = 0).

(AI giải đề cho tôi)
a) Điểm A(-1;2) có hoành độ x = -1 nên A nằm trên đường thẳng d: x + 1 = 0. Khi đó M, N, A thẳng hàng, không thể tạo thành tam giác AMN đều, do đó khẳng định a) Sai. b) Đường thẳng qua A(-1;2) song song với Δ có dạng 3x - 4y + c = 0; thay A: -3 - 8 + c = 0 ⟹ c = 11, được 3x - 4y + 11 = 0 ⟹ Đúng. c) Bán kính bằng khoảng cách từ A đến Δ: d(A,Δ) = |3(-1) - 4(2) - 4|/√(9+16) = 15/5 = 3, nên (C): (x+1)² + (y-2)² = 9 ⟹ Đúng. d) Khoảng cách từ A đến Δ bằng 3 ⟹ Đúng. Kết quả khớp bảng đáp án mã 1001: S, Đ, Đ, Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
A(-1;2) nằm trên d: x + 1 = 0 nên M, N, A thẳng hàng, không tồn tại tam giác AMN đều; khẳng định Sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng qua A(-1;2) song song Δ: 3x - 4y + c = 0, thay điểm: -3 - 8 + c = 0 ⟹ c = 11 ⟹ 3x - 4y + 11 = 0. Đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
Bán kính R = d(A,Δ) = |3(-1) - 4(2) - 4|/5 = 15/5 = 3, nên (C): (x+1)² + (y-2)² = 9. Đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
d(A,Δ) = |-3 - 8 - 4|/√(3² + 4²) = 15/5 = 3. Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng $d:x+y+1=0$ (VTPT $\overrightarrow{n_1}=(1;1)$) và $\Delta :y-2=0$ (VTPT $\overrightarrow{n_2}=(0;1)$). Góc $\phi$ giữa hai đường thẳng thỏa $\cos \phi =\frac{|1\cdot 0+1\cdot 1|}{\sqrt{1^2+1^2}\cdot \sqrt{0^2+1^2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$, suy ra $\phi =45^{\circ }$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (B).

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách từ $M(2;1)$ đến đường thẳng $\Delta :3x-4y+8=0$ là $d(M,\Delta )=\frac{|3\cdot 2-4\cdot 1+8|}{\sqrt{3^2+(-4{)}^2}}=\frac{|6-4+8|}{5}=\frac{10}{5}=2$. Kết quả khớp với đáp án B trong bảng đáp án (Mã đề 1001, Câu 4: B).

(AI giải đề cho tôi)
Vecto chỉ phương của AB là $\overrightarrow{AB}=(-3-1;2-(-2))=(-4;4)$, nên vecto pháp tuyến là $\vec{n}=(1;1)$. Phương trình đường thẳng AB: $1(x-1)+1(y+2)=0\iff x+y+1=0$. Kiểm tra: $B(-3;2)$: $-3+2+1=0$ thỏa. Vậy đáp án D, trùng với đáp án nguồn (mã đề 210, câu 9: D).

(AI giải đề cho tôi)
a) $AB=\sqrt{(1-(-1){)}^2+(2-0{)}^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$ → Đúng. b) Hình vuông nên $BC\perp AB$, do đó $\overrightarrow{AB}=(2;2)$ là vectơ pháp tuyến của đường thẳng BC → Đúng. c) Đường thẳng BC đi qua B(1;2) với VTCP $(1;-1)$: $x+y-3=0$, không phải $x+y+3=0$ → Sai. d) $\overrightarrow{BC}$ cùng độ dài $2\sqrt{2}$, hướng vuông góc $AB$: $C=(1+2;2-2)=(3;0)$ (chọn hoành độ dương), vậy hoành độ C bằng 3 ≠ 2 → Sai. Kết quả Đ-Đ-S-S khớp đáp án chính thức.
a) (AI giải đề cho tôi)
$AB=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì ABCD là hình vuông nên $BC\perp AB$, tức $\overrightarrow{AB}=(2;2)$ là pháp tuyến của BC.
c) (AI giải đề cho tôi)
BC qua B(1;2), pháp tuyến $(2;2)$: $2(x-1)+2(y-2)=0\iff x+y-3=0$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{BC}=(2;-2)$ nên $C=(3;0)$, hoành độ C bằng 3.

1) Tứ giác $ABCD$ là hình bình hành $\iff \overrightarrow{CD}=\overrightarrow{BA}\iff \{\begin{array}{l}{x}_D+2=-3\\ y_D-4=-2\end{array}$ — 0,25 điểm. $\iff \{\begin{array}{l}{x}_D=-5\\ y_D=2\end{array}\Rightarrow D(-5;2)$ — 0,25 điểm.
2) Vì $\Delta$ vuông góc $d:x-3y+2=0$ nên PTTQ của $\Delta$ có dạng $3x+y+c=0$ — 0,25 điểm. Mà $M(-2;3)\in \Delta$ nên ta có $3.(-2)+3+c=0\iff c=3$. Vậy PTTQ của $\Delta$ là $3x+y+3=0$ — 0,25 điểm.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 2 (Phần II): a) Đường thẳng Δ: 2x−5y+4=0 có VTCP (5;2) → đúng. b) VTCP của MN là N−M=(−3;2), nên phương trình tham số phải là x=2−3t, y=−1+2t; hệ đã cho dùng (2;3) → sai. c) Tâm đường tròn đường kính MN là trung điểm I=((2−1)/2;(−1+1)/2)=(1/2;0) ≠ (−3;2) → sai. d) Bán kính R=MN=√((−3)²+2²)=√13, đường tròn tâm M(2;−1): (x−2)²+(y+1)²=13 → đúng. Kết quả khớp đáp án mã 1102 (2a Đ, 2b S, 2c S, 2d Đ).
a) (AI giải đề cho tôi)
Δ: 2x−5y+4=0 có VTCP u=(5;2) vì u·n=5·2+2·(−5)=0.
b) (AI giải đề cho tôi)
VTCP của MN là (−3;2), phương trình tham số đúng là x=2−3t, y=−1+2t, không phải x=2+2t, y=−1+3t.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tâm là trung điểm MN: I=(1/2;0), không phải (−3;2).
d) (AI giải đề cho tôi)
R=MN=√(9+4)=√13 nên (x−2)²+(y+1)²=13.

a) $\overrightarrow{AB}=(-1;-2)$
Đường thẳng $AB$ có vtpt $\vec{n}=(2;-1)$
$$\cos (AB;\Delta )=\frac{\left|4.2-1.3\right|}{\sqrt{2^2+(-1{)}^2}.\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$$
b) $d\parallel \Delta$ nên $d:4x+3y+C=0;C\ne 5$
$$d(B;d)=\frac{\left|7+C\right|}{5}=5$$
$$\iff \left|7+C\right|=25\iff \{\begin{array}{l}7+C=25\\ 7+C=-25\end{array}\iff \{\begin{array}{l}C=18\\ C=-32\end{array}$$
Vậy $d:4x+3y+18=0;4x+3y-32=0$
Ghi chú: Học sinh giải cách khác đúng thì được điểm tối đa của câu đó.

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai. Từ phương trình tham số của Δ, vectơ chỉ phương là u=(-5;1), nên vectơ pháp tuyến là n=(1;5), không phải (-5;1). b) Đúng. Vectơ chỉ phương AB=(-2;3) nên vectơ pháp tuyến n=(3;2). Phương trình: 3(x-3)+2(y+2)=0 ⟺ 3x+2y-5=0. c) Sai. Bán kính R=AB=√((1-3)²+(1+2)²)=√13≠2. d) Sai. Đường tròn đường kính AB có tâm I là trung điểm AB: I(2;-1/2), bán kính R=AB/2 nên R²=13/4. Phương trình đúng là (x-2)²+(y+1/2)²=13/4, không phải 13/2. Kết quả khớp đáp án nguồn (2a S, 2b Đ, 2c S, 2d S).
a) (AI giải đề cho tôi)
Vectơ chỉ phương của Δ là u=(-5;1) nên vectơ pháp tuyến là n=(1;5), không phải (-5;1).
b) (AI giải đề cho tôi)
AB=(-2;3) nên n=(3;2); qua A(3;-2): 3x+2y-5=0.
c) (AI giải đề cho tôi)
R=AB=√(4+9)=√13≠2.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tâm I(2;-1/2), R²=(AB/2)²=13/4, phương trình đúng là (x-2)²+(y+1/2)²=13/4.

a) $\overrightarrow{AB}=(-1;-2)$
Đường thẳng $AB$ có vtpt $\vec{n}=(2;-1)$
$$\cos (AB;\Delta )=\frac{|2.3-1.4|}{\sqrt{2^2+(-1{)}^2}\cdot \sqrt{3^2+4^2}}=\frac{2\sqrt{5}}{25}$$
b) $d//\Delta$ nên $d:3x+4y+C=0;C\ne 5$
$$d(A;d)=\frac{|18+C|}{5}=5$$
$$\iff |18+C|=25\iff [18+C=25;18+C=-25]\iff [C=7;C=-43]$$
Vậy $d:3x+4y+7=0$; $3x+4y-43=0$

(AI giải đề cho tôi)
a) $\overrightarrow{MN}=(3-1;-1-2)=(2;-3)$ → đúng. b) Đường thẳng $x-y+2=0$ có pháp tuyến $(1;-1)$, không phải $(1;1)$ → sai. c) Đường thẳng $MN$ đi qua $M(1;2)$ với VTCP $(2;-3)$ nên có PT: $3(x-1)+2(y-2)=0\iff 3x+2y-7=0$; thử $2x-5y+14=0$ tại $M$: $2-10+14=6\ne 0$ → sai. d) Bán kính $R=d(N,{\Delta }_1)=\frac{|3-(-1)+2|}{\sqrt{1+1}}=\frac{6}{\sqrt{2}}=3\sqrt{2}$, $R^2=18$ → $(x-3{)}^2+(y+1{)}^2=18$ đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{MN}=(3-1;-1-2)=(2;-3)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Pháp tuyến của $x-y+2=0$ là $\vec{n}=(1;-1)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $MN$: $3x+2y-7=0$; phương trình $2x-5y+14=0$ không đi qua $M(1;2)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$R=d(N,{\Delta }_1)=\frac{|3+1+2|}{\sqrt{2}}=3\sqrt{2}$, nên $(x-3{)}^2+(y+1{)}^2=18$.

$M$ là trung điểm $BC$, suy ra $M(0;1)$ (0,25 đ)

Nếu HS tìm trọng tâm đúng vẫn cho điểm

$\Rightarrow \overrightarrow{MA}=(1;-1)$ (0,25)

Đường trung tuyến $AM$ đi qua $A$ và nhận $\overrightarrow{MA}$ làm vtcp (0,25)

Ptts của $AM$: $\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=-t\end{array}$ (0,25 đ) $(t\in \mathbb{R})$ (0,25)

(AI giải đề cho tôi)
Vecto chỉ phương của đường thẳng qua $A(3;-1)$, $B(4;3)$ là $\overrightarrow{AB}=(4-3;3-(-1))=(1;4)$. Phương trình tổng quát của $d$: $y+1=4(x-3)\iff y=4x-13$. Kiểm tra từng đáp án: A có vecto chỉ phương $(4;-1)$ không cùng phương với $(1;4)$, loại. B có vecto chỉ phương $(4;-1)$, loại. C có vecto chỉ phương $(1;4)$ đúng nhưng điểm mốc $(3;1)$ không thuộc $d$ vì $4\cdot 3-13=-1\ne 1$, loại. D có vecto chỉ phương $(1;4)$ và điểm mốc $(5;7)$ thuộc $d$ vì $4\cdot 5-13=7$, đúng. Vậy đáp án D, khớp với đáp án gạch chân trong đề ở trang 12.

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng $d_1:3x-8y+5=0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_1}=(3;-8)$ và $d_2:8x+3y-2=0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_2}=(8;3)$. Tích vô hướng $\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}=3\cdot 8+(-8)\cdot 3=24-24=0$, suy ra $\overrightarrow{n_1}\perp \overrightarrow{n_2}$, do đó $d_1\perp d_2$. Vậy khẳng định đúng là C.