Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đường thẳng trong mặt phẳng (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng qua hai điểm trên trục $A(4;0)$ và $B(0;-3)$ có phương trình đoạn chắn dạng $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$ với $a=4$ (hoành độ giao điểm với trục $Ox$) và $b=-3$ (tung độ giao điểm với trục $Oy$). Vậy phương trình là $\frac{x}{4}+\frac{y}{-3}=1$. Kiểm tra: thay $A(4;0)$: $\frac{4}{4}+0=1$ đúng; thay $B(0;-3)$: $0+\frac{-3}{-3}=1$ đúng. Khớp với đáp án nguồn (Mã đề 102, Câu 3: A).

a) Ta có $$\frac{2\cdot 7+5\cdot 3}{\sqrt{2^2+5^2}\cdot \sqrt{7^2+3^2}}=\frac{1}{2}\sqrt{2},$$ nên $\widehat{AOB}=45^{\circ }$. b) Đường thẳng qua $O$ và vuông góc với đường thẳng $AB$ nhận $\overrightarrow{AB}=(5;-2)$ làm vectơ pháp tuyến. Phương trình đường thẳng qua $O$ và vuông góc với đường thẳng $AB$ là $5x-2y=0$. c) Vectơ chỉ phương của đường thẳng $AB$ là $\overrightarrow{AB}=(5;-2)$; một vectơ pháp tuyến là $\vec{n}=(2;5)$; phương trình đường thẳng $AB$ là $2(x-2)+5(y-5)=0$, rút gọn ta được $2x+5y-29=0$; khoảng cách từ $O$ đến đường thẳng $AB$ là $\frac{|2\cdot 0+5\cdot 0-29|}{\sqrt{2^2+5^2}}=\sqrt{29}$. d) Đường tròn tâm $O$ và tiếp xúc đường thẳng $AB$ có bán kính khoảng cách từ $O$ đến đường thẳng $AB$. Phương trình đường tròn là $x^2+y^2=29$. Chọn đáp án [a đúng | b đúng | c đúng | d đúng].
a) a) Ta có $$\frac{2\cdot 7+5\cdot 3}{\sqrt{2^2+5^2}\cdot \sqrt{7^2+3^2}}=\frac{1}{2}\sqrt{2},$$ nên $\widehat{AOB}=45^{\circ }$.
b) b) Đường thẳng qua $O$ và vuông góc với đường thẳng $AB$ nhận $\overrightarrow{AB}=(5;-2)$ làm vectơ pháp tuyến. Phương trình đường thẳng qua $O$ và vuông góc với đường thẳng $AB$ là $5x-2y=0$.
c) c) Vectơ chỉ phương của đường thẳng $AB$ là $\overrightarrow{AB}=(5;-2)$. Một vectơ pháp tuyến là $\vec{n}=(2;5)$. Phương trình đường thẳng $AB$ là $$2(x-2)+5(y-5)=0.$$ Rút gọn phương trình trên ta được $$2x+5y-29=0.$$ Khoảng cách từ $O$ đến đường thẳng $AB$ là $$\frac{|2\cdot 0+5\cdot 0-29|}{\sqrt{2^2+5^2}}=\sqrt{29}.$$
d) d) Đường tròn tâm $O$ và tiếp xúc đường thẳng $AB$ có bán kính khoảng cách từ $O$ đến đường thẳng $AB$. Phương trình đường tròn là $$x^2+y^2=29.$$

Khoảng cách từ điểm $A(-2;-3)$ đến $\Delta$ là $$d(A,\Delta )=\frac{\left|3\cdot (-2)+4\cdot (-3)+43\right|}{\sqrt{3^2+4^2}}=5.$$

(AI giải đề cho tôi)
VTCP của ${\Delta }_1$ là $\overrightarrow{u_1}=(\sqrt{2};-\sqrt{3})$, VTCP của ${\Delta }_2$ là $\overrightarrow{u_2}=(\sqrt{3};\sqrt{2})$. Tích vô hướng: $\overrightarrow{u_1}\cdot \overrightarrow{u_2}=\sqrt{2}\cdot \sqrt{3}+(-\sqrt{3})\cdot \sqrt{2}=\sqrt{6}-\sqrt{6}=0$. Vậy hai vectơ chỉ phương vuông góc, do đó hai đường thẳng vuông góc với nhau. Kết quả trùng với đáp án nguồn: A.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $(d):3x+y+1=0$ có dạng $ax+by+c=0$ với $a=3,b=1$. a) Vectơ pháp tuyến là $\vec{n}(a;b)=(3;1)$ → đúng. b) Vectơ chỉ phương vuông góc với $\vec{n}$, ví dụ $\vec{u}(1;-3)$ vì $3\cdot 1+1\cdot (-3)=0$ → đúng. c) Thay $M(-1;2)$: $3(-1)+2+1=0$ → $(d)$ đi qua $M$ → đúng. d) $d^{\prime }:3x+y-1=0$ có cùng vectơ pháp tuyến $(3;1)$ với $(d)$ nên $d^{\prime }\parallel (d)$ (vì $-1\ne 1$ nên không trùng), hai đường thẳng song song không cắt nhau → khẳng định sai. Kết quả khớp đáp án nguồn: Đ, Đ, Đ, S.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $3x+y+1=0$ có hệ số $a=3,b=1$ nên vectơ pháp tuyến là $\vec{n}(3;1)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\vec{u}(1;-3)\cdot \vec{n}(3;1)=3-3=0$, nên $\vec{u}$ vuông góc với pháp tuyến, là vectơ chỉ phương của $(d)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Thay $M(-1;2)$ vào phương trình: $3(-1)+2+1=0$, thỏa mãn nên $(d)$ đi qua $M$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$d^{\prime }$ và $(d)$ có cùng vectơ pháp tuyến $(3;1)$ và $\frac{3}{3}=\frac{1}{1}\ne \frac{-1}{1}$ nên $d^{\prime }\parallel (d)$, hai đường thẳng không cắt nhau.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $(d):x-2y+1=0$ có dạng $ax+by+c=0$ với $a=1,b=-2$. a) Vectơ pháp tuyến là $\vec{n}(a;b)=(1;-2)$, nên $\vec{n}(1;-2)$ là vectơ pháp tuyến của $(d)$: Đúng. b) Vectơ chỉ phương của $(d)$ phải vuông góc với $\vec{n}(1;-2)$, ví dụ $\vec{u}(2;1)$. Vì $\vec{u}(1;-2)\cdot \vec{n}(1;-2)=1+4=5\ne 0$ nên $\vec{u}(1;-2)$ chính là vectơ pháp tuyến, không phải vectơ chỉ phương: Sai. c) Thay $M(1;-1)$ vào $(d)$: $1-2(-1)+1=4\ne 0$, nên $M$ không thuộc $(d)$: Sai. d) Hai đường thẳng $x-2y+1=0$ và $d^{\prime }:2x+3y-1=0$ có $\frac{1}{2}\ne \frac{-2}{3}$ (tức $1\cdot 3-(-2)\cdot 2=7\ne 0$) nên không song song, do đó chúng cắt nhau: Đúng. Kết quả khớp với đáp án nguồn: Đ S S Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $ax+by+c=0$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}(a;b)$, nên với $(d):x-2y+1=0$ thì $\vec{n}(1;-2)$ là vectơ pháp tuyến.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\vec{u}(1;-2)$ trùng với vectơ pháp tuyến của $(d)$ (vì $\vec{u}\cdot \vec{n}=1+4=5\ne 0$ nên không vuông góc với pháp tuyến), do đó không phải vectơ chỉ phương. Vectơ chỉ phương có thể là $\vec{u}(2;1)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Thay $M(1;-1)$: $1-2(-1)+1=4\ne 0$, nên $M$ không thuộc $(d)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra tính song song: $\frac{1}{2}\ne \frac{-2}{3}$ vì $1\cdot 3-(-2)\cdot 2=7\ne 0$, nên $(d)$ và $d^{\prime }$ không song song, tức chúng cắt nhau.

Đường thẳng $d$ có một véc tơ pháp tuyến là $\vec{n}=(3;2)$ và đi qua điểm $M(1;-2)$. Phương trình tổng quát của đường thẳng $d$ là: $3x+2y+1=0$. Suy ra $a=3,b=1\Rightarrow a-b=2$.

Ta có $\overrightarrow{AC}=(0;5)\Rightarrow \vec{n}=(1;0)$ là véc tơ pháp tuyến của $AC$. Phương trình $AC$: $x-3=0$. $S_{△ABC}=\frac{1}{2}d(B,AC)\left|\overrightarrow{AC}\right|=5$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Thay A(1;-2) vào Δ: 3(1)+4(-2)+1 = 3-8+1 = -4 ≠ 0, nên A không thuộc Δ → đúng. b) Δ có VTCP (4;-3) (pháp tuyến (3;4)), d có pháp tuyến (3;-4). Vì (3;4) không tỉ lệ (3;-4) nên d không song song với Δ (thực tế d vuông góc Δ) → sai. c) d(A,Δ) = |3·1+4·(-2)+1|/√(9+16) = |-4|/5 = 4/5 ≠ 3 → sai. d) Đường tròn tâm A tiếp xúc Δ có bán kính R = d(A,Δ) = 4/5, nên R² = 16/25, phương trình (x-1)²+(y+2)² = 16/25 → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
3(1)+4(-2)+1 = -4 ≠ 0 nên A không thuộc Δ.
b) (AI giải đề cho tôi)
Pháp tuyến của Δ là (3;4), của d là (3;-4), không tỉ lệ nên hai đường không song song (chúng vuông góc nhau).
c) (AI giải đề cho tôi)
d(A,Δ) = |3-8+1|/5 = 4/5 ≠ 3.
d) (AI giải đề cho tôi)
Bán kính R = d(A,Δ) = 4/5 nên R² = 16/25, phương trình đúng.

(AI giải đề cho tôi)
VTCP của $d_1$ là $\overrightarrow{u_1}=(\sqrt{3};-1)$, của $d_2$ là $\overrightarrow{u_2}=(1;-\sqrt{3})$. Ta có $|\overrightarrow{u_1}|=|\overrightarrow{u_2}|=2$ và $\overrightarrow{u_1}\cdot \overrightarrow{u_2}=\sqrt{3}\cdot 1+(-1)(-\sqrt{3})=2\sqrt{3}$. Do đó $\cos \theta =\frac{2\sqrt{3}}{2\cdot 2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$, suy ra góc giữa hai đường thẳng là $\theta =30^{\circ }$. Vậy $a=30$.

(AI giải đề cho tôi)
a) $d(A,\Delta )=\frac{|3\cdot 1-4\cdot (-2)+4|}{\sqrt{3^2+(-4{)}^2}}=\frac{|3+8+4|}{5}=\frac{15}{5}=3$ → đúng. b) Đường tròn tâm $A$ tiếp xúc $\Delta$ có bán kính $r=3$ nên $r^2=9\ne 6$, phương trình đúng phải là $(x-1{)}^2+(y+2{)}^2=9$ → sai. c) $d$ và $\Delta$ có cùng cặp hệ số $a=3,b=-4$ nhưng $1\ne 4$ nên song song → đúng. d) Thay $A(1;-2)$: $3(1)-4(-2)+4=11\ne 0$ nên $A\notin \Delta$ → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$d(A,\Delta )=\frac{|3+8+4|}{5}=3$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Bán kính $r=d(A,\Delta )=3$ nên $r^2=9\ne 6$; phương trình đúng là $(x-1{)}^2+(y+2{)}^2=9$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng có cùng $\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=1\ne \frac{c_1}{c_2}$ nên song song.
d) (AI giải đề cho tôi)
$3(1)-4(-2)+4=11\ne 0$ nên $A$ không thuộc $\Delta$.

(AI giải đề cho tôi)
d_1 có vecto chỉ phương u_1=(-1;-1) nên hệ số góc k_1=1 (tạo với trục Ox góc 45°). d_2: x=1 là đường thẳng song song trục Oy. Góc giữa d_1 và d_2 là 90°-45°=45°. Vậy a=45.

Đường thẳng $d_1$ có véc-tơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_1}=(1;1)$ và đường thẳng $d_2$ có véc-tơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_2}=(1;-1)$ nên $$\cos (d_1;d_2)=\cos \left(\overrightarrow{n_1};\overrightarrow{n_2}\right)=\frac{\left|\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}\right|}{\left|\overrightarrow{n_1}\right|\cdot \left|\overrightarrow{n_2}\right|}=\frac{\left|1\cdot 1+1\cdot (-1)\right|}{\sqrt{1^2+1^2}\cdot \sqrt{1^2+(-1{)}^2}}=0$$ Vậy $(d_1;d_2)=90^{\circ }$. Chọn đáp án B

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai. Đường thẳng Δ: x−√3y+2=0 có vectơ pháp tuyến n=(1;−√3), không phải (1;√3).
b) Đúng. Khoảng cách từ I(4;0) đến Δ là d=|4−√3·0+2|/√(1+3)=6/2=3. Vậy đường tròn tâm I bán kính R=3 tiếp xúc với Δ: (x−4)²+y²=9.
c) Sai. Δ có hệ số góc m₁=1/√3, Δ' có hệ số góc m₂=−1/√3. tanθ=|(m₁−m₂)/(1+m₁m₂)|=|(2/√3)/(1−1/3)|=√3, nên góc giữa hai đường thẳng bằng 60°, không phải 45°.
d) Đúng. Hai đường thẳng có hệ số góc khác nhau (1/√3 ≠ −1/√3) nên chúng cắt nhau (không song song, không trùng nhau).
a) (AI giải đề cho tôi)
Vectơ pháp tuyến của Δ: x−√3y+2=0 là n=(1;−√3), không phải (1;√3).
b) (AI giải đề cho tôi)
d(I,Δ)=|4+2|/2=3=R, nên (C):(x−4)²+y²=9 tiếp xúc với Δ.
c) (AI giải đề cho tôi)
tanθ=√3 nên góc giữa Δ và Δ' bằng 60°, không phải 45°.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng có hệ số góc khác nhau nên cắt nhau.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng đi qua $M(3;1)$ với pháp tuyến $\vec{n}(1;-2)$ có phương trình: $1(x-3)-2(y-1)=0\Rightarrow x-3-2y+2=0\Rightarrow x-2y-1=0$. Thử lại: $3-2(1)-1=0$ thỏa mãn. Vậy đáp án là C, trùng với đáp án nguồn (mã đề 101, câu 1: C).

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai. Hai pháp tuyến n1=(1;-√3), n2=(1;√3). cos(Δ,Δ') = |1·1+(-√3)(√3)|/(2·2) = |1-3|/4 = 1/2, nên góc giữa hai đường thẳng bằng 60°, không phải 45°.
b) Đúng. Hai đường thẳng có hệ số góc m1=1/√3 và m2=-1/√3 khác nhau (không song song, không trùng nhau) nên chúng cắt nhau.
c) Đúng. Khoảng cách từ I(4;0) đến Δ: d = |4 - √3·0 + 2|/√(1+3) = 6/2 = 3. Vậy bán kính R=3 và (C): (x-4)² + y² = 9.
d) Sai. Từ phương trình x - √3·y + 2 = 0, một véc tơ pháp tuyến là n = (1; -√3), không phải (1; √3).
a) (AI giải đề cho tôi)
cos(Δ,Δ') = |1-3|/4 = 1/2 nên góc bằng 60°, không phải 45°.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hệ số góc 1/√3 ≠ -1/√3 nên hai đường thẳng cắt nhau.
c) (AI giải đề cho tôi)
d(I,Δ) = |4+2|/2 = 3 = R nên (C): (x-4)² + y² = 9.
d) (AI giải đề cho tôi)
Véc tơ pháp tuyến của Δ là (1; -√3), không phải (1; √3).

Vì $\Delta \perp d$ nên véc-tơ chỉ phương của $d$ là véc-tơ pháp tuyến của $\Delta$ do đó: $\overrightarrow{u_d}=\overrightarrow{n_{\Delta }}\Rightarrow \overrightarrow{n_{\Delta }}=(1;1)$ và $\Delta$ đi qua $A$ suy ra: $\Delta :x+y-5=0$. Chọn đáp án C

a) Đúng.
b) Sai. Để kiểm tra $A$ có nằm ngoài $\Delta$ hay không thì phải thay tọa độ $A$ vào phương trình đường thẳng $\Delta$. Thay tọa độ $A$ vào $\Delta$ ta được: $3+1-4=0$ (Đúng). Vậy $A\in \Delta$.
c) Đúng. $d_{(B;\Delta )}=\frac{|1+1-4|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\sqrt{2}$.
d) Sai. Gọi $d$ là đường thẳng cần tìm. Vì $d\perp \Delta$ nên $d$ nhận véc-tơ chỉ phương của $\Delta$ làm véc-tơ pháp tuyến $\Rightarrow \overrightarrow{n_d}=\overrightarrow{u_{\Delta }}=(1;-1)$ và $d$ đi qua $A(3;1)$ suy ra
$$d:1\cdot (x-3)-1\cdot (y-1)=0\iff x-y-2=0$$
Chọn đáp án [a đúng | b sai | c đúng | d sai].
a) Đúng.
b) Sai. Để kiểm tra $A$ có nằm ngoài $\Delta$ hay không thì phải thay tọa độ $A$ vào phương trình đường thẳng $\Delta$. Thay tọa độ $A$ vào $\Delta$ ta được: $3+1-4=0$ (Đúng). Vậy $A\in \Delta$.
c) Đúng. $d_{(B;\Delta )}=\frac{|1+1-4|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\sqrt{2}$.
d) Sai. Gọi $d$ là đường thẳng cần tìm. Vì $d\perp \Delta$ nên $d$ nhận véc-tơ chỉ phương của $\Delta$ làm véc-tơ pháp tuyến $\Rightarrow \overrightarrow{n_d}=\overrightarrow{u_{\Delta }}=(1;-1)$ và $d$ đi qua $A(3;1)$ suy ra
$$d:1\cdot (x-3)-1\cdot (y-1)=0\iff x-y-2=0$$

Vì $AH\perp BC$ nên $AH$ nhận $\overrightarrow{BC}=(2;4)$ làm véc-tơ pháp tuyến và $AH$ đi qua điểm $A(2;1)$. Vậy nên $AH:2(x-2)+4(y-1)=0\iff 2x+4y-8=0\iff x+2y-4=0$ suy ra $T=\frac{2}{1}=2$.
Đáp án: 2

Vì $A\in Ox\Rightarrow A(x_A;0)$ và $x_A>0$.
Ta có:
$$d_{(A;\Delta )}=3\iff \frac{|4x_A+3.0+1|}{\sqrt{4^2+3^2}}=3\iff |4x_A+1|=15\iff \{\begin{array}{l}4x_A+1=15\\ 4x_A+1=-15\end{array}\iff \{\begin{array}{l}{x}_A=\frac{14}{4}=3,5(N)\\ x_A=-4(L)\end{array}$$
Đáp án: 3,5