Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đường thẳng trong mặt phẳng (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $(d):\sqrt{3}x-3y+1=0$ có hệ số góc $a=\frac{\sqrt{3}}{3}$, nên $\tan \alpha =\frac{\sqrt{3}}{3}\Rightarrow \alpha =30^{\circ }$. Đường thẳng $(d^{\prime })$ có vecto chỉ phương ${\vec{u}}^{\prime }=(1;1)$, nên hệ số góc $a^{\prime }=1\Rightarrow {\alpha }^{\prime }=45^{\circ }$. Góc giữa hai đường thẳng là $|45^{\circ }-30^{\circ }|=15^{\circ }$. Vậy chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách từ điểm $P(1;3)$ đến đường thẳng $(\Delta ):3x-4y-1=0$ được tính theo công thức $$d(P,\Delta )=\frac{|a{x}_0+b{y}_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}.$$ Thay số: $$d=\frac{|3\cdot 1-4\cdot 3-1|}{\sqrt{3^2+(-4{)}^2}}=\frac{|3-12-1|}{5}=\frac{|-10|}{5}=\frac{10}{5}=2.$$ Vậy đáp án là D.

(AI giải đề cho tôi)
a) $d(M,{\Delta }_1)=\frac{|3\cdot 0+4\cdot 6+1|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{25}{5}=5$ → Đúng. b) Đường thẳng $3x+4y+1=0$ có pháp tuyến ${\vec{n}}_1=(3;4)$ → Đúng. c) Thay $M(0;6)$ vào ${\Delta }_2$: $-2\cdot 0+6+3=9\ne 0$ nên $M\notin {\Delta }_2$ → mệnh đề Sai. d) $\cos \theta =\frac{|3\cdot (-2)+4\cdot 1|}{\sqrt{3^2+4^2}\cdot \sqrt{(-2{)}^2+1^2}}=\frac{2}{5\sqrt{5}}\approx 0,179$, suy ra $\theta \approx 79^{\circ },7\ne 45^{\circ }$ → Sai. Kết quả khớp đáp án nguồn (Đ, Đ, S, S).
a) (AI giải đề cho tôi)
$d(M,{\Delta }_1)=\frac{|3\cdot 0+4\cdot 6+1|}{5}=\frac{25}{5}=5$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Phương trình $3x+4y+1=0$ cho pháp tuyến ${\vec{n}}_1=(3;4)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Thay $M(0;6)$ vào ${\Delta }_2$: $-2\cdot 0+6+3=9\ne 0$, nên $M\notin {\Delta }_2$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\cos \theta =\frac{|3(-2)+4\cdot 1|}{5\sqrt{5}}=\frac{2}{5\sqrt{5}}\approx 0,179$, nên $\theta \approx 79^{\circ },7\ne 45^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách từ gốc tọa độ $O(0;0)$ đến đường thẳng $\Delta :3x-4y-10=0$ là $d(O,\Delta )=\frac{|3\cdot 0-4\cdot 0-10|}{\sqrt{3^2+(-4{)}^2}}=\frac{10}{5}=2$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã đề 102, Phần III Câu 2 = 2).

a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Sai.

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách từ gốc tọa độ $O(0;0)$ đến đường thẳng $\Delta :3x+4y-8=0$ là $d(O,\Delta )=\frac{|3\cdot 0+4\cdot 0-8|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{8}{5}=1,6$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (1,6).

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $(\Delta ):3x-2y-7=0$ có VTCP $(2;3)$. Xét từng phương án:
- A: $-3x+2y-7=0$ có cặp hệ số tỉ lệ với $(3;-2;-7)$ theo hệ số $-1$ (tức $3x-2y+7=0$ sau khi nhân $-1$... thực chất $-3x+2y-7=0\iff 3x-2y+7=0$), khác hằng số nên song song với $(\Delta )$, không cắt.
- B: $3x-2y=0$ có cùng pháp tuyến $(3;-2)$ nhưng khác hằng số ($0\ne 7$) nên song song với $(\Delta )$, không cắt.
- C: $3x+2y=0$ có pháp tuyến $(3;2)$ không tỉ lệ với $(3;-2)$ nên cắt $(\Delta )$ tại một điểm. Giải hệ: $3x-2y=7$, $3x+2y=0$ $\Rightarrow x=\frac{7}{6},y=-\frac{7}{4}$ — có nghiệm duy nhất, hai đường cắt nhau.
- D: $6x-4y-14=0\iff 3x-2y-7=0$ chính là $(\Delta )$ (trùng nhau), không phải cắt tại một điểm.
Vậy $(\Delta )$ cắt đường thẳng $(d_1):3x+2y=0$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Hệ số góc của $d$ là $m_1=\frac{3}{7}$, của $\Delta$ là $m_2=-\frac{2}{5}$. $\tan \phi =\left|\frac{m_1-m_2}{1+m_1{m}_2}\right|=\left|\frac{\frac{3}{7}+\frac{2}{5}}{1-\frac{6}{35}}\right|=\frac{\frac{29}{35}}{\frac{29}{35}}=1\Rightarrow \phi =45^{\circ }$. Đúng.
b) $d(A,d)=\frac{|3\cdot 2-7\cdot 1+4|}{\sqrt{9+49}}=\frac{3}{\sqrt{58}}\ne \frac{3}{58}$. Sai.
c) Đường vuông góc với $d$ có hệ số góc $-\frac{7}{3}$, qua $A(2;1)$: $y=-\frac{7}{3}x+\frac{17}{3}$, nên $a=7,b=3,c=17$, $c-a-b=17-7-3=7$. Đúng.
d) VTPT của $d$ là $(3;-7)$, VTCP là $(7;3)$; $(7;-3)$ là VTPT chứ không phải VTCP. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
tan(góc) = |(3/7+2/5)/(1-6/35)| = 1 nên góc = 45°.
b) (AI giải đề cho tôi)
d(A,d) = 3/√58, không phải 3/58.
c) (AI giải đề cho tôi)
y = -7/3 x + 17/3, c-a-b = 17-7-3 = 7.
d) (AI giải đề cho tôi)
(7;-3) là vecto pháp tuyến; VTCP của d là (7;3).

(AI giải đề cho tôi)
Thế phương trình tham số của $d_2$ vào dạng tổng quát: từ $x=1+t$ suy ra $t=x-1$, khi đó $y=2+3(x-1)=3x-1$, tức $d_2:3x-y-1=0$. Vì $d_1$ và $d_2$ có vectơ chỉ phương không cùng phương nên chúng cắt nhau tại một điểm duy nhất. Giải hệ: $\{\begin{array}{l}x-2y+3=0\\ y=3x-1\end{array}$. Thế $y=3x-1$ vào phương trình đầu: $x-2(3x-1)+3=0\iff -5x+5=0\iff x=1$, suy ra $y=3(1)-1=2$. Vậy $M(1;2)$, tức $a=1,b=2$. Do đó $2026a-b=2026\cdot 1-2=2024$.

Đường thẳng $d_1$ có vtcp $\overrightarrow{a_1}=(1;-3)\Rightarrow$ vtpt $\overrightarrow{n_1}=(3;1)$
Đường thẳng $d_2$ có vtpt $\overrightarrow{n_2}=(1;-3)$. Vì $\overrightarrow{n_1}.\overrightarrow{n_2}=0\Rightarrow d_1\perp d_2\Rightarrow$ chọn D

Đáp án nguồn (trang 11): 3) $m=-2$.

Đáp án nguồn (trang 11): 4) $\frac{\sqrt{2}}{10}$.

Đáp án nguồn (trang 11): a) $d:4x+3y-11=0$. b) $H(1,4;1,8)$; $A^{\prime }(0,8;2,6)$.

(AI giải đề cho tôi) $d_1:x+5=0$ là đường thẳng đứng ($x=-5$). $d_2:2x+y=0$ có hệ số góc $k=-2$, không phải đường thẳng đứng nên không song song với $d_1$. Giao điểm: thay $x=-5$ vào $d_2$: $-10+y=0\Rightarrow y=10$, hai đường cắt nhau tại $(-5;10)$. Vì $d_1$ thẳng đứng còn $d_2$ có hệ số góc $-2$ (khác $0$), nên chúng không vuông góc. Vậy hai đường cắt nhau nhưng không vuông góc.

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng $d_1:mx+y=m+1$ và $d_2:x+my=2$ song song khi $\frac{m}{1}=\frac{1}{m}\ne \frac{m+1}{2}$. Điều kiện $m^2=1\Rightarrow m=\pm 1$. Với $m=1$: $d_1:x+y=2$ và $d_2:x+y=2$ trùng nhau (loại). Với $m=-1$: $d_1:-x+y=0$ và $d_2:x-y=2$ song song, thỏa mãn. Vậy $m=-1$, chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Giao điểm của $d_1:2x+y-1=0$ và $d_2:x+2y+1=0$: từ phương trình đầu $y=1-2x$, thay vào $d_2$: $x+2(1-2x)+1=0\Rightarrow -3x+3=0\Rightarrow x=1$, suy ra $y=-1$. Vậy giao điểm là $P(1;-1)$. Để ba đường thẳng đồng quy thì $P\in d_3$: $m\cdot 1-(-1)-7=0\Rightarrow m-6=0\Rightarrow m=6$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng AC đi qua A(4;-1) và C(10;7) có vecto chỉ phương (6;8), tức vecto pháp tuyến (4;-3), phương trình: 4x - 3y - 19 = 0 (kiểm tra: 4·4 - 3·(-1) - 19 = 0; 4·10 - 3·7 - 19 = 0). Bình ở B(5;1) trên con đường vuông góc với AC, nên đoạn đường Bình phải đi là khoảng cách từ B đến đường AC: d(B, AC) = |4·5 - 3·1 - 19| / √(4² + (-3)²) = |20 - 3 - 19| / 5 = 2/5 = 0,4 (km). Vậy Bình phải đi 0,4 km (tức 2/5 đơn vị độ dài).

(AI giải đề cho tôi)
Câu 3. a) Đường thẳng $\Delta$: $x-3y-5=0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_1}=(1;-3)$. Vectơ chỉ phương của $AB$ là $\overrightarrow{AB}=(-1;-2)$, nên $\overrightarrow{n_2}=(-2;1)$ là pháp tuyến của $AB$ (hoặc dùng trực tiếp $\overrightarrow{AB}$).

$\cos \phi =\frac{|\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{AB}|}{|\overrightarrow{n_1}|\cdot |\overrightarrow{AB}|}=\frac{|1\cdot (-1)+(-3)\cdot (-2)|}{\sqrt{10}\cdot \sqrt{5}}=\frac{|-1+6|}{\sqrt{50}}=\frac{5}{5\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$.

Vậy góc giữa $\Delta$ và $AB$ là $\phi =45^{\circ }$ (hoặc $\frac{\pi }{4}$).

b) Vì $d$ song song với $\Delta$ nên $d$ có dạng $x-3y+c=0$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song:
$$d(\Delta ,d)=\frac{|c-(-5)|}{\sqrt{1^2+(-3{)}^2}}=\frac{|c+5|}{\sqrt{10}}=\sqrt{10}$$
Suy ra $|c+5|=10\Rightarrow c=5$ hoặc $c=-15$.

Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn: $d_1:x-3y+5=0$ và $d_2:x-3y-15=0$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng Δ: 2x + y - 1 = 0 có VTCP (1;-2) và pháp tuyến (2;1). a) Sai vì pháp tuyến là n(2;1), không phải (1;2). b) Thay A(1;-1): 2(1) + (-1) - 1 = 0, đúng. c) d(B,Δ) = |2·4 + (-2) - 1|/√5 = 5/√5 = √5, đúng. d) Bán kính R = d(I,Δ) = |2·4 + 8 - 1|/√5 = 15/√5 = 3√5, nên R² = 45 ≠ 49, mệnh đề sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Pháp tuyến của Δ: 2x + y - 1 = 0 là n(2;1), không phải (1;2).
b) (AI giải đề cho tôi)
Thay A(1;-1) vào phương trình: 2·1 + (-1) - 1 = 0, nên A thuộc Δ.
c) (AI giải đề cho tôi)
d(B,Δ) = |2·4 + (-2) - 1|/√(2²+1²) = 5/√5 = √5.
d) (AI giải đề cho tôi)
R = d(I,Δ) = |2·4 + 8 - 1|/√5 = 15/√5 = 3√5, nên R² = 45 ≠ 49; phương trình đúng phải là (x-4)² + (y-8)² = 45.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng Δ: 3x - 2y + 1 = 0 có vectơ chỉ phương u = (2; 3). Vì d vuông góc với Δ nên d nhận u = (2; 3) làm vectơ pháp tuyến: d: 2x + 3y + c = 0. d đi qua A(1; -2): 2(1) + 3(-2) + c = 0 ⟹ c = 4. Vậy a = 2, b = 3, c = 4, do đó a² + b² - c = 4 + 9 - 4 = 9.