Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đường tròn (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Đường tròn $(C):x^2+y^2=25$ có tâm $I(0;0)$, bán kính $R=5$. Kiểm tra $A(3;4)$: $3^2+4^2=9+16=25$ nên $A$ thuộc $(C)$. Tiếp tuyến tại $A$ nhận vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{IA}=(3;4)$, phương trình: $3(x-3)+4(y-4)=0\iff 3x+4y-25=0$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Đường tròn (C): $x^2+y^2+4x+4y-17=0$ có tâm $I(-2;-2)$, bán kính $R=\sqrt{4+4+17}=5$. Kiểm tra $A(2;1)$ thuộc (C): $4+1+8+4-17=0$ ✓. Vectơ $\overrightarrow{IA}=(4;3)$ là pháp tuyến của tiếp tuyến tại A. Phương trình tiếp tuyến: $4(x-2)+3(y-1)=0\iff 4x+3y-11=0$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 6. Đường tròn (1): $x^2+y^2-4x+8y-5=0$.
a) Ta có $x^2-4x=(x-2{)}^2-4$ và $y^2+8y=(y+4{)}^2-16$, nên (1) tương đương $(x-2{)}^2+(y+4{)}^2=25$. Vậy tâm $I(2;-4)$, bán kính $R=5$.
b) Kiểm tra $A(-1;0)$: $(-1-2{)}^2+(0+4{)}^2=9+16=25=R^2$, nên $A$ thuộc đường tròn. Vectơ $\overrightarrow{IA}=(-3;4)$ là vectơ pháp tuyến của tiếp tuyến tại $A$. Phương trình tiếp tuyến: $-3(x+1)+4(y-0)=0$, tức $-3x+4y-3=0$, hay $3x-4y+3=0$.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 7: (C): $(x-3{)}^2+(y+5{)}^2=37$.
a) So sánh với dạng $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=R^2$ ta được tâm $I(3;-5)$, bán kính $R=\sqrt{37}$.
b) Kiểm tra $M(4;1)$: $(4-3{)}^2+(1+5{)}^2=1+36=37$ nên $M\in (C)$. Vectơ $\overrightarrow{IM}=(4-3;1+5)=(1;6)$ là vectơ pháp tuyến của tiếp tuyến tại $M$. Phương trình tiếp tuyến: $1(x-4)+6(y-1)=0\iff x+6y-10=0$. Vậy tiếp tuyến tại $M$ là $x+6y-10=0$.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình dạng $x^2+y^2-2ax-2by+c=0$ là đường tròn khi $a^2+b^2-c>0$. A: $x^2+y^2-y=0$ có $a^2+b^2-c=0+\frac{1}{4}-0=\frac{1}{4}>0$ (tâm $(0;\frac{1}{2})$, $R=\frac{1}{2}$). B: $x^2+y^2-100y+1=0$ có $0+2500-1=2499>0$ (tâm $(0;50)$, $R=\sqrt{2499}$). C: $x^2+y^2-2=0$ có $R=\sqrt{2}>0$. D: $x^2+y^2-x+y+4=0$ có $a^2+b^2-c=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-4=-\frac{7}{2}<0$, nên không xác định đường tròn nào. Vậy đáp án D, trùng với đáp án của đề (mã đề 102, câu 10: D).

(AI giải đề cho tôi)
Xét dạng tổng quát $x^2+y^2-2ax+2by+c=0$ với điều kiện là đường tròn: $a^2+b^2-c>0$.
- A: $x^2+y^2-y=0\iff x^2+{\left(y-\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1}{4}$: đường tròn tâm $\left(0;\frac{1}{2}\right)$, bán kính $\frac{1}{2}$.
- B: $x^2+y^2-100y+1=0\iff x^2+(y-50{)}^2=2499$: đường tròn tâm $(0;50)$, bán kính $\sqrt{2499}$.
- C: $x^2+y^2-x+y+4=0$ có $a=\frac{1}{2},b=-\frac{1}{2},c=4$, khi đó $a^2+b^2-c=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-4=-\frac{7}{2}<0$: không phải đường tròn.
- D: $x^2+y^2=2$: đường tròn tâm $O(0;0)$, bán kính $\sqrt{2}$.
Vậy phương trình không phải đường tròn là C, trùng với đáp án của đề (mã đề 101, câu 1: C).

(AI giải đề cho tôi)
a) Đường tròn $(C):(x-2{)}^2+(y+3{)}^2=25$ có dạng $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=R^2$ nên tâm $I(2;-3)$ và bán kính $R=5$.

b) Kiểm tra $M(-1;1)$ thuộc $(C)$: $(-1-2{)}^2+(1+3{)}^2=9+16=25=R^2$, đúng.

Tiếp tuyến tại $M$ có phương trình: $(x_M-a)(x-a)+(y_M-b)(y-b)=R^2$
$$(-1-2)(x-2)+(1+3)(y+3)=25$$
$$-3(x-2)+4(y+3)=25\Rightarrow -3x+6+4y+12=25$$
$$\Rightarrow -3x+4y-7=0$$
Vậy tiếp tuyến tại $M$ là $-3x+4y-7=0$ (hay $3x-4y+7=0$).

(AI giải đề cho tôi)
a) Đưa phương trình về dạng chính tắc: $x^2+y^2-2x-6y+1=0\iff (x-1{)}^2+(y-3{)}^2=9$. Vậy tâm $I(1;3)$, bán kính $R=3$.

b) Kiểm tra: $IM=\sqrt{(-2-1{)}^2+(3-3{)}^2}=3=R$, nên $M$ thuộc $(C)$. Vectơ $\overrightarrow{IM}=(-3;0)$ là pháp tuyến của tiếp tuyến tại $M$. Phương trình tiếp tuyến: $-3(x+2)+0(y-3)=0\iff x=-2$. Vậy tiếp tuyến tại $M$ là đường thẳng $x=-2$ (đường thẳng đứng, vuông góc với bán kính nằm ngang $IM$).

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình dạng $x^2+y^2-2ax-2by+c=0$ là đường tròn khi $a^2+b^2-c>0$. Xét A: $x^2+y^2-4x+5y+2=0$ có $a=2,b=-\frac{5}{2},c=2$, nên $R^2=4+\frac{25}{4}-2=\frac{33}{4}>0$: là đường tròn tâm $(2;-\frac{5}{2})$ bán kính $\frac{\sqrt{33}}{2}$. B có chứa số hạng $-4xy$ nên không phải đường tròn. C có hệ số của $x^2$ và $y^2$ khác nhau ($1$ và $2$) nên không phải đường tròn. D: $R^2=49+1-2018=-1968<0$ nên không xác định đường tròn. Vậy đáp án A, trùng với đáp án nguồn (mã đề 102, câu 10: A).

(AI giải đề cho tôi)
Đường tròn tâm $I(3;-2)$ tiếp xúc với $\Delta :x-2y+3=0$ có bán kính bằng khoảng cách từ $I$ đến $\Delta$: $R=d(I,\Delta )=\frac{|3-2(-2)+3|}{\sqrt{1^2+(-2{)}^2}}=\frac{10}{\sqrt{5}}=2\sqrt{5}$, nên $R^2=20$. Vậy phương trình đường tròn là $(x-3{)}^2+(y+2{)}^2=20$, khớp đáp án A (bảng đáp án mã đề 102, Câu 12: A). Ghi chú: trang 2/3 của đề gốc in phương án B và C giống hệt nhau, cả hai đều là $(x+3{)}^2+(y-2{)}^2=10$; đây là lỗi trùng lặp trong bản in nguồn, được giữ nguyên theo quy tắc không sửa lỗi in của đề nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Bán kính đường tròn bằng khoảng cách từ tâm I(-1;2) đến Δ: x-2y+7=0. d(I,Δ)=|(-1)-2·2+7|/√(1²+(-2)²)=|2|/√5=2/√5.
a) Sai: d(I,Δ)=2/√5, không phải 3/√5.
b) Sai: véc tơ pháp tuyến của Δ là (1;-2) (hoặc (-1;2)), không phải (2;1) — (2;1) không vuông góc với véc tơ chỉ phương (2;1) của Δ.
c) Sai (theo cách hiểu của đề): Δ chính là một tiếp tuyến của (C), nên ngoài Δ chỉ có đúng một đường thẳng khác song song với Δ và tiếp xúc với (C); do đó không có hai đường thẳng (phân biệt, khác Δ) song song với Δ và tiếp xúc với (C).
d) Đúng: R²=(2/√5)²=4/5, tâm I(-1;2) nên phương trình đường tròn là (x+1)²+(y-2)²=4/5.
a) (AI giải đề cho tôi)
d(I,Δ)=|(-1)-2·2+7|/√5=2/√5 ≠ 3/√5.
b) (AI giải đề cho tôi)
Véc tơ pháp tuyến của Δ: x-2y+7=0 là (1;-2), không phải (2;1).
c) (AI giải đề cho tôi)
Δ đã là tiếp tuyến của (C), nên chỉ còn đúng một đường thẳng khác Δ song song với Δ và tiếp xúc với (C).
d) (AI giải đề cho tôi)
R=d(I,Δ)=2/√5 nên R²=4/5; phương trình: (x+1)²+(y-2)²=4/5.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình đường tròn dạng $x^2+y^2-2ax-2by+c=0$ với điều kiện $a^2+b^2-c>0$. A có chứa hạng tử $-4xy$ nên không phải đường tròn. B có hệ số $y^2$ bằng 2 nên không phải. D: $x^2+y^2-14x+2y+2018=0$ có $R^2=49+1-2018=-1968<0$ nên không là đường tròn. C: $x^2+y^2-4x+5y+2=0$ có $R^2=(-2{)}^2+(5/2{)}^2-2=4+25/4-2=33/4>0$, nên là đường tròn tâm $(2;-5/2)$ bán kính $R=\sqrt{33}/2$. Khớp với đáp án nguồn C.

a) Sai. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.

(AI giải đề cho tôi)
Bán kính là khoảng cách từ $I(3;-2)$ đến $\Delta :x-2y+3=0$: $R=\frac{|3-2(-2)+3|}{\sqrt{1^2+(-2{)}^2}}=\frac{10}{\sqrt{5}}=2\sqrt{5}$, nên $R^2=20$. Phương trình đường tròn: $(x-3{)}^2+(y+2{)}^2=20$, khớp với đáp án D (khớp với đáp án key D).

(AI giải đề cho tôi)
Tâm là trung điểm AB: I(2; 3). Bán kính R = AB/2, với AB = √((3−1)² + (5−1)²) = √20 = 2√5 nên R = √5, R² = 5. Phương trình: (x − 2)² + (y − 3)² = 5. Khớp đáp án C và bảng đáp án (Câu 3, mã 1002: C).

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $x^2+y^2-2x+4y+c=0$ có tâm $I(1;-2)$ và $R^2=(-1{)}^2+2^2-c=5-c$. Để là phương trình đường tròn cần $R^2>0\iff 5-c>0\iff c<5$. Vậy chọn C, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1002, câu 8: C).

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $x^2+y^2-2mx+4y+5=0$ có $R^2=m^2+4-5=m^2-1$. Đây là phương trình đường tròn khi $R^2>0\iff m^2>1\iff m>1$ hoặc $m<-1$. Khớp với đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Đường tròn $(C):x^2+y^2-2x-4y-3=0$ có tâm $I(1;2)$, bán kính $R=\sqrt{1+4+3}=2\sqrt{2}$. Kiểm tra $A(3;4)$ thuộc $(C)$: $9+16-6-16-3=0$ ✓. Vectơ $\overrightarrow{IA}=(2;2)$ là pháp tuyến của tiếp tuyến tại $A$, nên tiếp tuyến: $2(x-3)+2(y-4)=0\iff x+y-7=0$. Khớp với đáp án nguồn C.

(AI giải đề cho tôi)
Bán kính $R=d(I,\Delta )=\frac{|-1-2\cdot 2+10|}{\sqrt{1^2+(-2{)}^2}}=\frac{5}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}$, nên $R^2=5$. Đường tròn: $(x+1{)}^2+(y-2{)}^2=5$. Khớp đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Đường tròn $(C):x^2+y^2-2x-8y-8=0$ có dạng $x^2+y^2-2ax-2by+c=0$ với $-2a=-2,-2b=-8\Rightarrow a=1,b=4$, tâm $I(1;4)$; bán kính $R=\sqrt{a^2+b^2-c}=\sqrt{1+16+8}=\sqrt{25}=5$. Vậy a) Đúng, b) Đúng. Thay $M(4;0)$ vào phương trình: $16+0-8-0-8=0$ nên $M$ thuộc $(C)$, d) Đúng. Vì $M$ thuộc $(C)$, tiếp tuyến tại $M$ có vecto pháp tuyến $\overrightarrow{IM}=(4-1;0-4)=(3;-4)$, phương trình: $3(x-4)-4(y-0)=0\iff 3x-4y-12=0$, khác $3x-4y+12=0$, nên c) Sai. Kết quả ĐĐSĐ khớp đáp án mã đề 002 ở Phần II, Câu 2.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tâm $I(1;4)$, $R^2=1^2+4^2+8=25\Rightarrow R=5$, đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
Từ $-2a=-2,-2b=-8\Rightarrow I(1;4)$, đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tiếp tuyến tại $M$ có $\overrightarrow{IM}=(3;-4)$: $3(x-4)-4y=0\iff 3x-4y-12=0$, không phải $3x-4y+12=0$, sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
$4^2+0^2-2\cdot 4-8\cdot 0-8=0$ nên $M$ nằm trên $(C)$, đúng.