Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đường tròn (Toán học Lớp 10)

$(\mathcal{C})$ có tâm $I(2;-3)$. Tiếp tuyến của $(\mathcal{C})$ có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{AI}=(1;-8)$. Phương trình tiếp tuyến của $(\mathcal{C})$ là $x-8y+39=0$. (Điểm: 0,75; mỗi bước 0,25.)

(AI giải đề cho tôi)
Đường tròn $x^2+y^2+5x+7y-3=0$ có tâm $I\left(-\frac{5}{2};-\frac{7}{2}\right)$. Khoảng cách từ $I$ tới trục tung (trục $Oy$, phương trình $x=0$) là $d=\left|x_I\right|=\frac{5}{2}$. Vậy đáp án D, khớp với đáp án nguồn (mã đề 102, câu 9: D).

(AI giải đề cho tôi)
Đường tròn $x^2+y^2+5x+7y-3=0$ có tâm $I\left(-\frac{5}{2};-\frac{7}{2}\right)$. Khoảng cách từ $I$ tới trục $Ox$ là $|y_I|=\frac{7}{2}$. Khớp với đáp án D (mã đề 101, câu 3: D).

(AI giải đề cho tôi)
Bán kính đường tròn tiếp xúc đường thẳng $\Delta :6x+8y-10=0$ bằng khoảng cách từ tâm $I(3;-2)$ đến $\Delta$: $R=d(I,\Delta )=\frac{|6\cdot 3+8\cdot (-2)-10|}{\sqrt{6^2+8^2}}=\frac{|18-16-10|}{10}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (Câu 11: A).

(AI giải đề cho tôi)
Bán kính $R=IA=\sqrt{(-5+3{)}^2+(8-6{)}^2}=\sqrt{4+4}=\sqrt{8}$. Phương trình đường tròn: $(x+3{)}^2+(y-6{)}^2=R^2=8$. Đáp án D, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $(C):x^2+y^2+4x+6y-1=0$ có tâm $I(-2;-3)$, bán kính $R=\sqrt{(-2{)}^2+(-3{)}^2-(-1)}=\sqrt{14}$. a) Đúng. b) Sai vì $R=\sqrt{14}\approx 3,74\ne 14$. c) Thay $A(1;-2)$: $1+4+4-12-1=-4\ne 0$ nên $A$ không thuộc $(C)$ → Sai. d) $d(I,\Delta )=\frac{|2(-2)+3(-3)+1|}{\sqrt{4+9}}=\frac{12}{\sqrt{13}}\approx 3,33<R=\sqrt{14}\approx 3,74$ nên $\Delta$ cắt $(C)$ tại 2 điểm phân biệt → Đúng. Kết quả khớp bảng đáp án chính thức: a) Đ, b) S, c) S, d) Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tâm $I(-2;-3)$ vì $x^2+y^2+4x+6y-1=0\iff (x+2{)}^2+(y+3{)}^2=14$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$R=\sqrt{14}\approx 3,74$, không phải $R=14$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Thay $A(1;-2)$ vào phương trình: $1+4+4-12-1=-4\ne 0$, nên $A$ không thuộc $(C)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$d(I,\Delta )=\frac{12}{\sqrt{13}}\approx 3,33<R=\sqrt{14}\approx 3,74$ nên $\Delta$ cắt $(C)$ tại 2 điểm phân biệt.

a) Tọa độ trung điểm của $AB$ là $I(5;-1)$. b) Đường tròn đường kính $AB$ tâm $I(5;-1)$, bán kính $R=\frac{AB}{2}$. Ta có $\overrightarrow{AB}=(8;-10)\Rightarrow AB=\sqrt{164}$, suy ra $R=\frac{AB}{2}=\frac{\sqrt{164}}{2}$. Phương trình đường tròn cần tìm là $(x-5{)}^2+(y+1{)}^2=41$.

a) Khoảng cách từ $I(2;-1)$ đến $A(7;2)$: $d=\sqrt{(7-2{)}^2+(2+1{)}^2}=\sqrt{34}$. Bán kính phủ sóng $R=4$. Vì $\sqrt{34}>4\Rightarrow d>R$, suy ra điểm $A(7;2)$ nằm ngoài vùng phủ sóng. b) Khoảng cách ngắn nhất bằng $\sqrt{34}-4\approx 1,83$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét phương trình dạng $x^2+y^2-2ax-2by+c=0$ với điều kiện $a^2+b^2-c>0$ thì là đường tròn.
- A: $x^2+y^2-4x+2y-3=0$: $a=2,b=-1,c=-3$, $R^2=4+1+3=8>0$ → đường tròn.
- B: $x^2+y^2-6x+2y+12=0$: $a=3,b=-1,c=12$, $R^2=9+1-12=-2<0$ → không là đường tròn.
- C: $x^2+y^2-2x+2y-1=0$: $R^2=1+1+1=3>0$ → đường tròn.
- D: $x^2+y^2-6x+2y-5=0$: $R^2=9+1+5=15>0$ → đường tròn.
Vậy phương trình B không là phương trình đường tròn.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình đường tròn dạng $x^2+y^2-2ax-2by+c=0$ với điều kiện $a^2+b^2-c>0$. A có $x^2-y^2$ (hệ số của $y^2$ khác 1) nên không phải. B có $2y^2$ nên không phải. D có số hạng $6xy$ nên không phải. Xét C: $x^2+y^2+6x-4y+2=0\iff (x+3{)}^2+(y-2{)}^2=11>0$, đây là đường tròn tâm $(-3;2)$ bán kính $\sqrt{11}$. Vậy chọn C, khớp với đáp án nguồn (đề 1001, câu 4: C).

a) (Đ) $(C)$ có tâm $I(2;-3)$ và bán kính $R=\sqrt{2^2+(-3{)}^2-(-12)}=5$. b) (Đ) $(E)$ có tiêu cự $F_1{F}_2=2c=2\sqrt{25-9}=8$. c) (Đ) Ta có khoảng cách từ tâm $I$ của $(C)$ đến đường thẳng $\Delta$ là $d_{(I,\Delta )}=\frac{|2+(-3)-1|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\sqrt{2}$. Nhận thấy $d_{(I,\Delta )}<R=5$, suy ra $\Delta :x+y-1=0$ cắt $(C)$ tại hai điểm phân biệt. d) (S) Thay tọa độ $M$ vào phương trình Elip ta được: $\frac{5^2}{25}+\frac{1^2}{9}=1$ (Vô lí). Chọn đáp án [a đúng | b đúng | c đúng | d sai]
a) (Đ) $(C)$ có tâm $I(2;-3)$ và bán kính $R=\sqrt{2^2+(-3{)}^2-(-12)}=5$.
b) (Đ) $(E)$ có tiêu cự $F_1{F}_2=2c=2\sqrt{25-9}=8$.
c) (Đ) Ta có khoảng cách từ tâm $I$ của $(C)$ đến đường thẳng $\Delta$ là $d_{(I,\Delta )}=\frac{|2+(-3)-1|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\sqrt{2}$. Nhận thấy $d_{(I,\Delta )}<R=5$, suy ra $\Delta :x+y-1=0$ cắt $(C)$ tại hai điểm phân biệt.
d) (S) Thay tọa độ $M$ vào phương trình Elip ta được: $\frac{5^2}{25}+\frac{1^2}{9}=1$ (Vô lí).

Gọi (C) là phương trình đường tròn có tâm $I(1;-2)$ và bán kính $R=IA=\sqrt{(4-1{)}^2+(2+2{)}^2}=5$. Vậy $(C):(x-1{)}^2+(y+2{)}^2=25$

a) (Đ) Đường tròn đường kính $AB$ có tâm là $I$ (là trung điểm của $AB$) nên $I(3;1)$ và bán kính $R=IA=\sqrt{(3-2{)}^2+(1+1{)}^2}=\sqrt{5}$. Suy ra đường tròn đường kính $AB$ có phương trình là: $(x-3{)}^2+(y-1{)}^2=5$. b) (S) $d_{(M;AB)}=\frac{|2.5-(-1)-5|}{\sqrt{1^2+2^2}}=\frac{6}{\sqrt{5}}$. c) (Đ) Đường thẳng $AB$ có véc tơ chỉ phương là: $\overrightarrow{u_{AB}}=\overrightarrow{AB}=(2;4)\Rightarrow$ véc tơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_{AB}}=(4;-2)$ và đi qua điểm $B(4;3)$. Suy ra: $AB:4(x-4)-2(y-3)=0\iff AB:2x-y-5=0$. d) (Đ) $\overrightarrow{AB}=(4-2;3+1)=(2;4)$. Chọn đáp án [a đúng | b sai | c đúng | d đúng]
a) (Đ) Đường tròn đường kính $AB$ có tâm là $I$ (là trung điểm của $AB$) nên $I(3;1)$ và bán kính $R=IA=\sqrt{(3-2{)}^2+(1+1{)}^2}=\sqrt{5}$. Suy ra đường tròn đường kính $AB$ có phương trình là: $(x-3{)}^2+(y-1{)}^2=5$.
b) (S) $d_{(M;AB)}=\frac{|2.5-(-1)-5|}{\sqrt{1^2+2^2}}=\frac{6}{\sqrt{5}}$.
c) (Đ) Đường thẳng $AB$ có véc tơ chỉ phương là: $\overrightarrow{u_{AB}}=\overrightarrow{AB}=(2;4)\Rightarrow$ véc tơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_{AB}}=(4;-2)$ và đi qua điểm $B(4;3)$. Suy ra: $AB:4(x-4)-2(y-3)=0\iff AB:2x-y-5=0$.
d) (Đ) $\overrightarrow{AB}=(4-2;3+1)=(2;4)$.

- Gọi $(C)$ là phương trình đường tròn tâm $I$ và tiếp xúc với $\Delta$. Do tiếp xúc với $\Delta$ nên ta được: (Vì là tiếp tuyến nên bán kính $R$ vuông góc với $\Delta$, cũng chính là khoảng cách từ $I$ đến $\Delta$) $$R=d_{(I,\Delta )}=\frac{|3.3-4.1+5|}{\sqrt{3^2+(-4{)}^2}}=\frac{10}{5}=2$$ - Vậy $(C):(x-3{)}^2+(y-1{)}^2=2^2=4$. Đáp án: $(C):(x-3{)}^2+(y-1{)}^2=2^2=4$

Gọi $d$ là phương trình cần viết. Vì $d$ là tiếp tuyến của $(C)$ với $A$ là tiếp điểm do đó $IA\perp d$ nên ta có: $\overrightarrow{IA}=(1;3)$ và đi qua điểm $A(-2;4)$. Vậy nên $d$ có phương trình là: $1\cdot (x+2)+3\cdot (y-4)=0\iff x+3y-10=0$.
Chọn đáp án (B).

a. Phương trình đường tròn mô tả ranh giới bên ngoài của vùng phủ sóng có tâm là $I(1;4)$ và bán kính $R=6m$ suy ra: $(x-1{)}^2+(y-4{)}^2=36$.
b. Gọi $E$ là giao điểm của $IB$ với đường tròn tâm $I$. Suy ra: Khoảng cách ngắn nhất để một người ở vị trí $B$ đi đến vùng phủ sóng (có ranh giới là đường tròn tâm $I$) là khoảng cách $BE$.
$$BE=BI-IE=\sqrt{(1-7{)}^2+(4-12{)}^2}-6=4(m)$$
Vậy khoảng cách ngắn nhất cần đi là 4 mét.
Đáp án: $(x-1{)}^2+(y-4{)}^2=36$; 4

(AI giải đề cho tôi)
a) Thay A(4;1) vào (C): (4-1)^2+1^2=9+1=10 nên A∈(C): đúng. b) Δ: x=t, y=-t nên với t=0 được O(0;0), vecto chỉ phương u=(1;-1): đúng. c) Bán kính R=√10 nên đường kính 2√10 ≠ √10: sai. d) Tâm I(1;0), vecto IA=(3;1) là pháp tuyến của tiếp tuyến tại A (vì tiếp tuyến vuông góc bán kính): đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
(4-1)^2+1^2=10 nên A∈(C).
b) (AI giải đề cho tôi)
t=0 cho điểm O(0;0), vecto chỉ phương (1;-1).
c) (AI giải đề cho tôi)
R=√10 nên đường kính = 2√10.
d) (AI giải đề cho tôi)
IA=(3;1) vuông góc tiếp tuyến tại A, là vecto pháp tuyến của tiếp tuyến.

(AI giải đề cho tôi)
Bán kính đường tròn bằng khoảng cách từ tâm $I(-1;2)$ đến đường thẳng $\Delta :x-2y+7=0$: $R=\frac{|-1-2\cdot 2+7|}{\sqrt{1^2+(-2{)}^2}}=\frac{2}{\sqrt{5}}$. Suy ra $R^2=\frac{4}{5}$, nên phương trình đường tròn là $(x+1{)}^2+(y-2{)}^2=\frac{4}{5}$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Tâm I là trung điểm AB: I(2;3). Bán kính R = AB/2 = √((1−3)²+(4−2)²)/2 = (2√2)/2 = √2. a) Sai: bán kính là BA/2, không phải BA. b) Đúng: (x−2)²+(y−3)²=2. c) Sai: vectơ pháp tuyến của tiếp tuyến tại A là IA = (1;−1), tiếp tuyến: 1(x−3)−1(y−2)=0 ⇔ x−y−1=0, không phải x+y−2=0. d) Đúng: R=√2. Kết quả SĐSĐ khớp đáp án chính thức.
a) (AI giải đề cho tôi)
Bán kính bằng nửa đường kính: R = BA/2 = √2, không phải BA = 2√2.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tâm I(2;3), R² = 2 nên (x−2)²+(y−3)²=2.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tiếp tuyến tại A có pháp tuyến IA = (1;−1): x−y−1=0, khác x+y−2=0.
d) (AI giải đề cho tôi)
AB = √((−2)²+2²) = 2√2 nên R = √2.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $x^2+y^2-4x-6y-12=0$, ta có $(x-2{)}^2+(y-3{)}^2=25$, suy ra tâm $I(2;3)$ và bán kính $R=\sqrt{25}=5$. Khớp với đáp án A (mã đề 101, câu 8 là A).