Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đường vuông góc mặt (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Các đường thẳng được vẽ trong hình: $SA$, $SB$, $SC$, $SD$, $AB$, $BC$, $CD$, $DA$, $AC$, $BD$, $MN$. Vì $SA\perp$ đáy nên $SA\perp BC$. Trong hình vuông $ABCD$: $AB\perp BC$, $CD\perp BC$, $AD\perp BC$. $MN$ là đoạn nối trung điểm $SC$, $SD$ nên $MN\parallel CD$, suy ra $MN\perp BC$. Các đường còn lại ($SB$, $SC$, $SD$, $AC$, $BD$, $BC$) không vuông góc với $BC$. Vậy có 5 đường thẳng: $SA$, $AB$, $AD$, $CD$, $MN$ — khớp với đáp án 5.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $a\perp (P)$ nên $a$ vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong $(P)$ và mọi đường thẳng song song với $(P)$. Xét từng mệnh đề:
A) Nếu $b\parallel (P)$ thì $b\perp a$ — đúng, vì đường thẳng song song với mặt phẳng thì vuông góc với mọi đường thẳng vuông góc với mặt phẳng đó.
B) Nếu $b\parallel a$ thì $b\perp (P)$ — đúng, vì đường thẳng song song với một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng thì cũng vuông góc với mặt phẳng đó.
C) Nếu $b\parallel a$ thì $b\parallel (P)$ — SAI, vì theo B, khi $b\parallel a$ thì $b\perp (P)$; do $a$, $b$ phân biệt nên $b$ không nằm trong $(P)$, do đó $b$ không thể song song với $(P)$.
D) Nếu $b\perp (P)$ thì $b\parallel a$ — đúng, vì hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.
Vậy mệnh đề sai là C, trùng với đáp án nguồn (mã đề 211, câu 2: C).

Lời giải (đáp án chính thức, trang 10, mục Câu 3, 0,5đ):



Ta có:
$$<table><tbody><tr><td>AD\perp AB</td></tr><tr><td>AD\perp SA</td></tr><tr><td>SA\cap AB=\{A\}</td></tr><tr><td>SA,AB\subset (SAB)</td></tr></tbody></table>\}\Rightarrow AD\perp (SAB).$$

(AI giải đề cho tôi)
Vì $a\perp (P)$ nên mọi đường thẳng song song với $a$ cũng vuông góc với $(P)$, do đó nếu $b\parallel a$ thì $b\perp (P)$ (mệnh đề C đúng), chứ không thể $b\parallel (P)$ (trừ khi $b$ nằm trong $(P)$, nhưng khi đó $b$ không song song với $a$ vì $a\perp (P)$). Vậy mệnh đề D sai. Các mệnh đề A, B đúng theo tính chất: đường thẳng song song với mặt phẳng thì vuông góc với đường thẳng vuông góc mặt phẳng đó; hai đường thẳng cùng vuông góc một mặt phẳng thì song song nhau. Đáp án khớp với mã đề 111: câu 10 là D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $BC\perp AB$ (tam giác $ABC$ vuông tại $B$) và $BC\perp SA$ (vì $SA\perp (ABC)$ nên $SA\perp BC$), suy ra $BC\perp (SAB)$. Do đó $BC\perp SB$ và $BC\perp SA$, $BC\perp AB$ (các mệnh đề B, C, D đúng). Mà $SC$ không nằm trong mặt phẳng $(SAB)$; trong tam giác $SBC$ vuông tại $B$, $SC$ là cạnh huyền nên $BC$ không vuông góc với $SC$. Vậy mệnh đề sai là A, khớp với đáp án nguồn.

Lời giải (đáp án chính thức):



Ta có:
$$<table><tbody><tr><td>AD\perp AB</td></tr><tr><td>AD\perp SA</td></tr><tr><td>SA\cap AB=\{A\}</td></tr><tr><td>SA,AB\subset (SAB)</td></tr></tbody></table>\}\Rightarrow AD\perp (SAB).$$

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABCD$ là hình chữ nhật nên $BC\perp AB$. Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp BC$. Do đó $BC\perp (SAB)$ (cùng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau $AB$ và $SA$ trong mặt phẳng $(SAB)$). Vậy khẳng định đúng là A. Các khẳng định B, C, D sai vì $AC$ không vuông góc với các mặt phẳng đó (ví dụ $AC$ không vuông góc với $AB$ nên $AC/\perp (SAB)$, $AC$ không vuông góc với $AD$ nên $AC/\perp (SAD)$, và $AC$ không vuông góc với $BD$ trong hình chữ nhật nên $AC/\perp (SBD)$).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABC)$ mà $AC\subset (ABC)$ nên $SA\perp AC$. Khẳng định C đúng. Xét các phương án khác: $SA\perp AB$ (do $SA\perp (ABC)$) chứ không có $SA\perp SB$; tam giác $ABC$ vuông tại $B$ nên $AB\perp BC$, do đó $AC$ là cạnh huyền, $AC$ không vuông góc với $BC$ (D sai); $SB\perp SC$ không suy ra được từ giả thiết (B sai).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp (ABCD)$ là đúng (B đúng), và $SA\perp BC$, $SA\perp CD$.
- Câu C: $BC\perp AB$ (do $ABCD$ là hình chữ nhật) và $BC\perp SA$ nên $BC\perp (SAB)$ → đúng.
- Câu D: $CD\perp AD$ (hình chữ nhật) và $CD\perp SA$ nên $CD\perp (SAD)$ → đúng.
- Câu A: Để $BC\perp (SAD)$ cần $BC\perp AD$ và $BC\perp SA$. Tuy $BC\perp SA$ nhưng trong hình chữ nhật $ABCD$ ta có $BC\parallel AD$ (không vuông góc với $AD$), nên $BC$ không vuông góc với $(SAD)$ → khẳng định A không đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA=SC$ nên tam giác $SAC$ cân tại $S$, với $O$ là trung điểm $AC$ (tâm hình thoi) suy ra $SO\perp AC$. Tương tự, $SB=SD$ nên tam giác $SBD$ cân tại $S$, với $O$ là trung điểm $BD$ suy ra $SO\perp BD$. Trong mặt phẳng $(ABCD)$, $AC$ và $BD$ cắt nhau tại $O$, do đó $SO\perp (ABCD)$. Các khẳng định A, C, D không suy ra được từ giả thiết (hình thoi không nhất thiết có $AB\perp AC$ hay $CD\perp BD$). Đáp án khớp với mã đề 1101: B.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp BC$. Đáy $ABCD$ là hình chữ nhật nên $BC\perp AB$. Từ đó $BC\perp AB$ và $BC\perp SA$ với $AB,SA$ cắt nhau tại $A$ và cùng nằm trong mặt phẳng $(SAB)$, suy ra $BC\perp (SAB)$. Vậy mệnh đề đúng là A. Các phương án khác sai: $BD$ không vuông góc với $(SAC)$ vì trong hình chữ nhật $BD$ không vuông góc với $AC$; $CD$ không vuông góc với $(SAB)$ vì $CD$ song song $AB$ (không vuông góc $AB$); $AC$ không vuông góc với $(SBD)$ vì $AC$ không vuông góc với $BD$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (đề 102, câu 11: A).

(AI giải đề cho tôi)
Thiết lập tọa độ: $A(0;0;0)$, $B(1;0;0)$, $C(1;1;0)$, $D(0;1;0)$, $S(0;0;h)$ với $h>0$ (vì $SA\perp (ABCD)$).

- **A (sai):** $\overrightarrow{AC}=(1;1;0)$, $\overrightarrow{SB}=(1;0;-h)$, $\overrightarrow{SD}=(0;1;-h)$. VTCP của $(SBD)$: $\overrightarrow{SB}\times \overrightarrow{SD}=(h;h;1)$. Khi đó $\overrightarrow{AC}\cdot (h;h;1)=2h\ne 0$, nên $AC$ không vuông góc với $(SBD)$. (Chỉ có $AC\perp BD$ và $AC\perp SA$, nhưng $SA$ không nằm trong $(SBD)$.)
- **B (đúng):** $AD\perp AB$ (hình vuông) và $AD\perp SA$ (vì $SA\perp (ABCD)$), $AB,SA$ cắt nhau trong $(SAB)$ $\Rightarrow AD\perp (SAB)$.
- **C (đúng):** $BC\perp AB$ và $BC\perp SA$, $AB,SA$ cắt nhau trong $(SAB)$ $\Rightarrow BC\perp (SAB)$.
- **D (đúng):** $BD\perp AC$ (hai đường chéo hình vuông) và $BD\perp SA$, $AC,SA$ cắt nhau trong $(SAC)$ $\Rightarrow BD\perp (SAC)$.

Vậy phát biểu sai là A, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $a\perp (P)$ nên mọi đường thẳng song song với $a$ cũng vuông góc với $(P)$, không thể song song với $(P)$. Do đó mệnh đề D 'Nếu $b//a$ thì $b//(P)$' là sai. Các mệnh đề A, B đúng theo tính chất đường thẳng vuông góc với mặt phẳng; mệnh đề C đúng vì nếu $b//(P)$ thì $b$ vuông góc với mọi đường thẳng vuông góc với $(P)$, tức $b\perp a$. Khớp với đáp án nguồn: D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA$ vuông với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đáy, đặc biệt $SA\perp AC$ và $SA\perp AD$. Hai đường thẳng cắt nhau $AC$ và $AD$ cùng nằm trong mặt phẳng $(ACD)$, do đó $SA\perp (ACD)$. Các phương án khác sai: $(BSC)$ chứa $S$ nên không thể vuông góc với $SA$ (tương tự $(BSA)$ chứa $SA$); $(BSD)$ không chứa hai đường thẳng cắt nhau cùng vuông góc với $SA$. Đáp án khớp với mã đề 1001: câu 8 là A.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, ta có $A{A}^{\prime }\perp (ABCD)$. Vì $AC,AD,AB$ đều nằm trong mặt phẳng $(ABCD)$ nên theo tính chất đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, $A{A}^{\prime }\perp AC$, $A{A}^{\prime }\perp AD$, $A{A}^{\prime }\perp AB$. Do đó $A{A}^{\prime }$ vuông góc với cả ba đường thẳng ở các phương án A, B, D. Đối với $A{B}^{\prime }$: đây là đường chéo của mặt phẳng bên $AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }$, cắt $A{A}^{\prime }$ tại $A$ nhưng góc giữa $A{A}^{\prime }$ và $A{B}^{\prime }$ bằng $45^{\circ }$ (vì tam giác $AB{B}^{\prime }$ vuông cân tại $B$... chính xác hơn, tam giác $A{A}^{\prime }{B}^{\prime }$ vuông cân tại $A^{\prime }$ nên góc $B^{\prime }A{A}^{\prime }=45^{\circ }$), tức $A{A}^{\prime }$ không vuông góc với $A{B}^{\prime }$. Vậy đường thẳng $A{A}^{\prime }$ không vuông góc với $A{B}^{\prime }$. Đáp án trùng với đáp án nguồn (C).

(AI giải đề cho tôi)
Vì đáy $ABCD$ là hình vuông nên $CD\perp AD$. Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp CD$. Từ đó $CD\perp AD$ và $CD\perp SA$, với $AD$ và $SA$ là hai đường thẳng cắt nhau trong mặt phẳng $(SAD)$, suy ra $CD\perp (SAD)$. Đáp án A, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1102, Câu 5: A).

(AI giải đề cho tôi)
Vì đáy $ABCD$ là hình vuông nên $BC\perp AB$. Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp BC$. Do đó $BC$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau $AB$ và $SA$ trong mặt phẳng $(SAB)$, suy ra $BC\perp (SAB)$. Đáp án A, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1101, Câu 5: A).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $a\perp (P)$ nên $a$ vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong $(P)$. Xét từng khẳng định:
- A đúng: hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song và cùng vuông góc mặt phẳng đó, nên nếu $b//a$ thì $b\perp (P)$.
- B đúng: nếu $b//(P)$ thì $b$ không vuông góc $(P)$, mà $a\perp (P)$ nên $b$ không song song $a$; hơn nữa đường thẳng song song với $(P)$ vuông góc với mọi đường thẳng vuông góc $(P)$, suy ra $b\perp a$.
- C sai: nếu $b\perp a$ thì $b$ có thể nằm trong $(P)$, song song $(P)$, hoặc cắt $(P)$ mà không vuông góc. Ví dụ $b$ nằm trong $(P)$ thì $b\perp a$ nhưng $b$ không song song $(P)$. Vậy C là khẳng định sai.
- D đúng: hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song, nên $b\perp (P)$ và $a\perp (P)$ cho $b//a$.
Khớp với đáp án nguồn: C.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $b\perp (P)$ nên $b$ vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong $(P)$. Do $a//(P)$, tồn tại đường thẳng $a^{\prime }\subset (P)$ với $a^{\prime }//a$. Suy ra $b\perp a^{\prime }$, mà $a//a^{\prime }$ nên $b\perp a$. Khẳng định B đúng.

Các khẳng định còn lại sai:
- A sai: $a//(P)$ và $b\perp a$ chỉ cho $b$ có thể song song, cắt hoặc nằm trong $(P)$, không kết luận được $b\perp (P)$.
- C sai: tương tự, $b$ có thể cắt $(P)$.
- D sai: nếu $a\perp (P)$ và $b\perp a$ thì $b$ có thể nằm trong $(P)$ hoặc song song với $(P)$, nên khẳng định $b//(P)$ không luôn đúng.

Kết quả trùng với đáp án nguồn: B.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABC)$ nên $SA\perp BC$. Vì $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ trên $BC$ nên $AH\perp BC$. Từ đó $BC$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau $SA$ và $AH$ trong mặt phẳng $(SAH)$, suy ra $BC\perp (SAH)$. Các khẳng định B, C, D không suy ra được từ giả thiết (ví dụ $BC$ không vuông góc với $AC$ nói chung, $SH$ không vuông góc với $(ABC)$ vì $SH$ nằm trong $(SAH)$ và không trùng $SA$...). Đáp án đúng là A, trùng với đáp án nguồn (mã đề 102, câu 8: A).