Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Giá trị và công thức lượng giác (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\pi <\alpha <\frac{3\pi }{2}$ nên $\sin \alpha <0$. Theo hệ thức cơ bản: ${\sin }^2\alpha =1-{\cos }^2\alpha =1-\frac{25}{169}=\frac{144}{169}$, suy ra $\sin \alpha =-\frac{12}{13}$. Do đó $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{-12/13}{-5/13}=\frac{12}{5}=2,4$. Kết quả khớp với đáp án nguồn 2,4.

Giải (theo hướng dẫn chấm đề chẵn):

$\sin \alpha =\frac{4}{5}$

$\sin \left(\frac{\pi }{3}-\alpha \right)=\sin \frac{\pi }{3}\cos \alpha -\cos \frac{\pi }{3}\sin \alpha =\frac{-4+3\sqrt{3}}{10}$

(Thang điểm: 0,5 + 0,5.)

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi$ nên $\sin \alpha >0$: $\sin \alpha =\sqrt{1-{\cos }^2\alpha }=\sqrt{1-\frac{144}{169}}=\frac{5}{13}$. Suy ra $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{5/13}{-12/13}=-\frac{5}{12}\approx -0,4167\approx -0,4$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (-0,4).

Giải (theo hướng dẫn chấm đề lẻ):

$\cos \alpha =\frac{2\sqrt{2}}{3}$

$\cos \left(\frac{\pi }{3}-\alpha \right)=\cos \frac{\pi }{3}\cos \alpha +\sin \frac{\pi }{3}\sin \alpha =\frac{\sqrt{3}+2\sqrt{2}}{6}$

(Thang điểm: 0,5 + 0,5.)

(AI giải đề cho tôi)
Vì $0^{\circ }<\alpha <90^{\circ }$ nên $\cos \alpha >0$. Theo hệ thức cơ bản: ${\cos }^2\alpha =1-{\sin }^2\alpha =1-\frac{4}{9}=\frac{5}{9}$, suy ra $\cos \alpha =\frac{\sqrt{5}}{3}$ (dương). a) ${\cos }^2\alpha =\frac{5}{9}$: Đúng. b) $\cos \alpha =-\frac{\sqrt{5}}{3}$: Sai vì $\cos \alpha >0$. c) $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{2/3}{\sqrt{5}/3}=\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$: Đúng. d) $\frac{\sin \alpha +\sqrt{5}\cos \alpha }{2\sin \alpha +\cos \alpha }=\frac{\frac{2}{3}+\sqrt{5}\cdot \frac{\sqrt{5}}{3}}{\frac{4}{3}+\frac{\sqrt{5}}{3}}=\frac{\frac{7}{3}}{\frac{4+\sqrt{5}}{3}}=\frac{7}{4+\sqrt{5}}$: Đúng. Kết quả khớp với đáp án nguồn: a)Đ - b)S - c)Đ - d)Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
${\cos }^2\alpha =1-{\sin }^2\alpha =1-\frac{4}{9}=\frac{5}{9}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì $0^{\circ }<\alpha <90^{\circ }$ nên $\cos \alpha >0$, do đó $\cos \alpha =\frac{\sqrt{5}}{3}$ chứ không âm.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\tan \alpha =\frac{2/3}{\sqrt{5}/3}=\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Thay $\sin \alpha =\frac{2}{3}$, $\cos \alpha =\frac{\sqrt{5}}{3}$: tử số $=\frac{2+5}{3}=\frac{7}{3}$, mẫu số $=\frac{4+\sqrt{5}}{3}$, thương bằng $\frac{7}{4+\sqrt{5}}$.

(AI giải đề cho tôi)
Với $\sin x=\frac{2}{3}$ thì ${\cos }^{2}x=1-{\sin }^{2}x=1-\frac{4}{9}=\frac{5}{9}$. Do đó $P=3\cdot \frac{4}{9}+8\cdot \frac{5}{9}=\frac{12+40}{9}=\frac{52}{9}\approx 5,78$. Kết quả khớp với đáp án nguồn 5,78.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $0^{\circ }<\alpha <90^{\circ }$ nên $\cos \alpha >0$. Theo định lý cơ bản: ${\cos }^2\alpha =1-{\sin }^2\alpha =1-\frac{4}{9}=\frac{5}{9}$, suy ra $\cos \alpha =\frac{\sqrt{5}}{3}$ (dương). a) ${\cos }^2\alpha =\frac{5}{9}$: đúng. b) $\cos \alpha =-\frac{\sqrt{5}}{3}$: sai vì $\cos \alpha >0$ với góc nhọn. c) $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{2/3}{\sqrt{5}/3}=\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$: đúng. d) Thay $\sin \alpha =\frac{2}{3},\cos \alpha =\frac{\sqrt{5}}{3}$: $\frac{\sin \alpha +\sqrt{5}\cos \alpha }{2\sin \alpha +\cos \alpha }=\frac{\frac{2}{3}+\frac{5}{3}}{\frac{4}{3}+\frac{\sqrt{5}}{3}}=\frac{7}{4+\sqrt{5}}$: đúng. Kết quả khớp với đáp án nguồn a)Đ - b)S - c)Đ - d)Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
${\cos }^2\alpha =1-{\sin }^2\alpha =1-\frac{4}{9}=\frac{5}{9}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì $\alpha$ nhọn nên $\cos \alpha =+\frac{\sqrt{5}}{3}>0$, không phải $-\frac{\sqrt{5}}{3}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\tan \alpha =\frac{2/3}{\sqrt{5}/3}=\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Thay vào biểu thức: $\frac{\frac{2}{3}+\frac{5}{3}}{\frac{4}{3}+\frac{\sqrt{5}}{3}}=\frac{7}{4+\sqrt{5}}$.

(AI giải đề cho tôi)
Với $\sin x=\frac{2}{3}$, ta có ${\cos }^{2}x=1-{\sin }^{2}x=1-\frac{4}{9}=\frac{5}{9}$. Khi đó $P=3{\sin }^{2}x+8{\cos }^{2}x=3\cdot \frac{4}{9}+8\cdot \frac{5}{9}=\frac{12+40}{9}=\frac{52}{9}\approx 5,78$. Kết quả khớp với đáp án nguồn 5,78.

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra từng công thức biến đổi tổng thành tích: A) $\cos x+\cos y=2\cos \frac{x+y}{2}\cos \frac{x-y}{2}$ đúng. B) Công thức đúng là $\cos x-\cos y=-2\sin \frac{x+y}{2}\sin \frac{x-y}{2}$, thiếu dấu trừ nên công thức ở B sai. C) $\sin x-\sin y=2\cos \frac{x+y}{2}\sin \frac{x-y}{2}$ đúng. D) $\sin x+\sin y=2\sin \frac{x+y}{2}\cos \frac{x-y}{2}$ đúng. Vậy công thức sai là B, trùng với đáp án giữ kín (mã đề 102, câu 10: B).

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng công thức hiệu hai sin: $\sin a-\sin b=2\cos \frac{a+b}{2}\sin \frac{a-b}{2}$ với $a=x+\frac{\pi }{4}$, $b=x-\frac{\pi }{4}$. Khi đó $\frac{a+b}{2}=x$, $\frac{a-b}{2}=\frac{\pi }{4}$, nên $P=2\cos x\cdot \sin \frac{\pi }{4}=2\cos x\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}\cos x$. Cách khác: khai triển $\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}(\sin x+\cos x)$ và $\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}(\sin x-\cos x)$, hiệu hai biểu thức bằng $\sqrt{2}\cos x$. Kết quả khớp với đáp án D trong bảng đáp án (mã đề 2345, câu 2: D).

(AI giải đề cho tôi)
Câu 1 (mã đề 1072): Xét từng đẳng thức. A: $\cos 2a=1-2{\sin }^{2}a$ đúng (hệ quả của $\cos 2a={\cos }^{2}a-{\sin }^{2}a$ và ${\cos }^{2}a+{\sin }^{2}a=1$). C: $\cos 2a={\cos }^{2}a-{\sin }^{2}a$ đúng. D: $\sin 2a=2\sin a\cos a$ đúng. B: công thức đúng của tangent của góc kép là $\tan 2a=\frac{2\tan a}{1-{\tan }^{2}a}$ (với $a\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$, $a\ne \frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2}$), còn mẫu $1+{\tan }^{2}a$ ở đáp án B là sai. Vậy đẳng thức SAI là B, trùng với đáp án nguồn (B).

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích: $\sin a-\sin b=2\cos \frac{a+b}{2}\sin \frac{a-b}{2}$ với $a=x+\frac{\pi }{4}$, $b=x-\frac{\pi }{4}$.
Ta có $\frac{a+b}{2}=x$ và $\frac{a-b}{2}=\frac{\pi }{4}$.
Do đó $P=2\cos x\cdot \sin \frac{\pi }{4}=2\cos x\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}\cos x$.
Kết quả khớp với đáp án C trong bảng đáp án (Câu 2, mã đề 1072: C).

Lời giải (ĐÁP ÁN ĐỀ THI GIỮA HỌC KÌ 1 – LỚP 11, năm 2025-2026):

Ta có: $\frac{\cos 7a+\cos 5a}{\cos 7a-\cos 5a}=\frac{2\cos 6a\cos a}{-2\sin 6a\sin a}=-\tan 6a\tan a$. (0,5đ)

Lời giải (ĐÁP ÁN ĐỀ THI GIỮA HỌC KÌ 1 – LỚP 11, năm 2025-2026):

Ta có: $\frac{\cos 7a+\cos 5a}{\cos 7a-\cos 5a}=\frac{2\cos 6a\cos a}{-2\sin 6a\sin a}=-\tan 6a\tan a$. (0,5đ)

(AI giải đề cho tôi)
Câu 14: a) Áp dụng công thức hiệu hai cos: cos(x−π/4)−cos x = −2·sin((2x−π/4)/2)·sin(−π/8) = 2·sin(x−π/8)·sin(π/8), không bằng −2cos(x+π/8) ⇒ Sai. b) cos(x−π/4)=cos x ⇔ x−π/4 = ±x + 2kπ. Với dấu '+': −π/4 = 2kπ (vô nghiệm); với dấu '−': 2x = π/4 + 2kπ ⇔ x = π/8 + kπ ⇒ Đúng. c) f(π/4)=cos 0=1, g(π/2)=cos(π/2)=0, tổng bằng 1 ⇒ Đúng. d) Hàm y=cos x nghịch biến trên (0; π), do đó nghịch biến trên (π/2; π) ⇒ Đúng. Khớp đáp án mã đề 122: SĐĐĐ.
a) (AI giải đề cho tôi)
cos(x−π/4)−cos x = −2·sin(x−π/8)·sin(−π/8) = 2sin(x−π/8)sin(π/8) ≠ −2cos(x+π/8) ⇒ Sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
cos(x−π/4)=cos x ⇔ x−π/4 = −x+2kπ ⇔ x = π/8 + kπ, k∈ℤ ⇒ Đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
f(π/4)=cos 0=1 và g(π/2)=0 nên tổng bằng 1 ⇒ Đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
y=cos x nghịch biến trên (0; π), do đó nghịch biến trên (π/2; π) ⇒ Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $0<\alpha <\frac{\pi }{2}$ nên $\cos \alpha >0$: $\cos \alpha =\sqrt{1-{\sin }^2\alpha }=\sqrt{1-\frac{1}{9}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$. Do đó $\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha =2\cdot \frac{1}{3}\cdot \frac{2\sqrt{2}}{3}=\frac{4\sqrt{2}}{9}\approx 0,628\approx 0,6$. Kết quả khớp với đáp án nguồn $0,6$.

(AI giải đề cho tôi)
Thay $m=3$ vào công thức $t(m)=1,665\sin (m+3)+5,485$ (với $m+3$ tính theo radian): $t(3)=1,665\sin (6)+5,485$. Vì $\sin (6)\approx -0,2794$ nên $t(3)\approx 1,665\cdot (-0,2794)+5,485\approx -0,465+5,485\approx 5,02$ giờ. Vậy mặt trời mọc lúc khoảng 5 giờ (bỏ qua số phút lẻ), khớp với đáp án đã cho là 5.

$A=\sin (x+30^0)\cos (x-30^0)=\frac{1}{2}(\sin 2x+\sin 60^0)=\frac{1}{2}\sin 2x+\frac{\sqrt{3}}{4}$ (Thang điểm 0.25 / 0.25).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi$ nên $\cos \alpha <0$: $\cos \alpha =-\sqrt{1-{\sin }^2\alpha }=-\sqrt{1-\frac{1}{9}}=-\frac{2\sqrt{2}}{3}$. Áp dụng công thức: $\cos \left(\alpha -\frac{\pi }{6}\right)=\cos \alpha \cos \frac{\pi }{6}+\sin \alpha \sin \frac{\pi }{6}=\left(-\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{6}}{3}+\frac{1}{6}=\frac{1-2\sqrt{6}}{6}$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 122, câu 9: C).

(AI giải đề cho tôi)
Câu 13: a) $f(x)=g(x)\iff \sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=\sin x\iff 2\cos \left(x+\frac{\pi }{8}\right)\sin \left(\frac{\pi }{8}\right)=0$. Vì $\sin \left(\frac{\pi }{8}\right)\ne 0$ nên $\cos \left(x+\frac{\pi }{8}\right)=0\Rightarrow x+\frac{\pi }{8}=\frac{\pi }{2}+k\pi \Rightarrow x=\frac{3\pi }{8}+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Đúng. b) $g(x)=\sin x$ tuần hoàn với chu kỳ cơ bản $T=2\pi$ vì $\sin (x+2\pi )=\sin x$. Đúng. c) $f\left(\frac{3\pi }{4}\right)=\sin \left(\frac{3\pi }{4}+\frac{\pi }{4}\right)=\sin \pi =0$; $g\left(\frac{\pi }{2}\right)=\sin \left(\frac{\pi }{2}\right)=1$; tổng bằng $0+1=1$. Đúng. d) Theo công thức tổng hai sin: $\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)+\sin x=2\sin \left(x+\frac{\pi }{8}\right)\cos \left(\frac{\pi }{8}\right)$. Vì $\cos \left(\frac{\pi }{8}\right)\ne 1$ nên biểu thức không bằng $2\sin \left(x+\frac{\pi }{8}\right)$. Sai. Kết quả khớp đáp án mã đề 121: Đ-Đ-Đ-S.
a) $\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=\sin x\iff 2\cos \left(x+\frac{\pi }{8}\right)\sin \left(\frac{\pi }{8}\right)=0\Rightarrow \cos \left(x+\frac{\pi }{8}\right)=0\Rightarrow x=\frac{3\pi }{8}+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$.
b) $\sin (x+2\pi )=\sin x$ với mọi $x$ nên chu kỳ là $2\pi$.
c) $f\left(\frac{3\pi }{4}\right)=\sin \pi =0$, $g\left(\frac{\pi }{2}\right)=1$, tổng bằng $1$.
d) $\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)+\sin x=2\sin \left(x+\frac{\pi }{8}\right)\cos \left(\frac{\pi }{8}\right)\ne 2\sin \left(x+\frac{\pi }{8}\right)$ vì $\cos \left(\frac{\pi }{8}\right)\ne 1$.