Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Giá trị và công thức lượng giác (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Câu 37: a) Sai vì đẳng thức tanα·cotα=1 chỉ đúng khi tanα và cotα xác định (α≠0°,90°,180°); ví dụ α=90° thì tanα không xác định. b) Sai vì tan²α·cot²α=(tanα·cotα)²=1, còn tan²α+cot²α≥2 theo AM-GM (với tanα, cotα xác định), nên tan²α+cot²α≠tan²α·cot²α nói chung. c) Đúng: P=tan²α+cot²α=(tanα+cotα)²−2tanα·cotα=(tanα+cotα)²−2=m²−2. d) Đúng: P=7 ⇔ m²−2=7 ⇔ m²=9 ⇔ m=±3; và m=tanα+cotα=1/(sinαcosα) có thể nhận giá trị ±3 (ví dụ sin2α=2/3 cho m=3), nên điều kiện 'khi và chỉ khi' thỏa mãn.
a) (AI giải đề cho tôi)
tanα·cotα=1 chỉ đúng khi cả tanα, cotα xác định; tại α=0°,90°,180° biểu thức không xác định nên khẳng định 'với mọi góc α' là sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
tan²α·cot²α=(tanα·cotα)²=1, trong khi tan²α+cot²α≥2 (AM-GM) khi xác định, nên đẳng thức sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
P=tan²α+cot²α=(tanα+cotα)²−2tanα·cotα=(tanα+cotα)²−2.
d) (AI giải đề cho tôi)
P=m²−2=7 ⇔ m²=9 ⇔ m=±3; giá trị m=tanα+cotα=1/(sinαcosα) đạt được ±3 (ví dụ sin2α=2/3 hoặc −2/3), nên khẳng định đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 38: a) Đúng — định lý cơ bản: với mọi góc $\alpha$ ta có ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$. b) Đúng — $(\sin x+\cos x{)}^2={\sin }^{2}x+2\sin x\cos x+{\cos }^{2}x=1+2M$, suy ra $2M=(\sin x+\cos x{)}^2-1$. c) Sai — bình phương hai vế $\sin x+\cos x=m$ ta được $1+2\sin x\cos x=m^2$ (dấu cộng, không phải $1-2\sin \alpha \cos \alpha =m^2$). d) Sai — nếu $M=\frac{1}{4}$ thì $m^2=1+2M=\frac{3}{2}$, tức $m=\pm \sqrt{\frac{3}{2}}=\pm \frac{\sqrt{6}}{2}\ne \frac{3}{4}$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Định lý lượng giác cơ bản: với mọi góc $\alpha$, ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$(\sin x+\cos x{)}^2=1+2\sin x\cos x=1+2M$, nên $2M=(\sin x+\cos x{)}^2-1$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Từ $\sin x+\cos x=m$ bình phương hai vế được $1+2\sin x\cos x=m^2$, không phải $1-2\sin \alpha \cos \alpha =m^2$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với $M=\frac{1}{4}$: $m^2=1+2M=\frac{3}{2}$ nên $m=\pm \frac{\sqrt{6}}{2}\ne \frac{3}{4}$.

(AI giải đề cho tôi)
Với $\sin \alpha =\frac{2}{3}$ và $90^{\circ }<\alpha <180^{\circ }$ thì $\alpha$ ở góc phần tư thứ II nên $\cos \alpha <0$. Do đó $\cos \alpha =-\sqrt{1-{\sin }^2\alpha }=-\sqrt{1-\frac{4}{9}}=-\frac{\sqrt{5}}{3}$. a) Sai: vì $\cos \alpha =-\frac{\sqrt{5}}{3}<0$, không thể có $0<\cos \alpha <1$. b) Sai: do $\cos \alpha <0$ nên $\cos \alpha =-\sqrt{1-{\sin }^2\alpha }$, không phải $+\sqrt{1-{\sin }^2\alpha }$. c) Đúng: $\cot \alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }=\frac{-\sqrt{5}/3}{2/3}=-\frac{\sqrt{5}}{2}$. d) Sai: ${\tan }^2\alpha =\frac{{\sin }^2\alpha }{{\cos }^2\alpha }=\frac{4/9}{5/9}=\frac{4}{5}$, nên $A=\frac{1}{4/9}+\frac{4}{5}=\frac{9}{4}+\frac{4}{5}=\frac{61}{20}\ne 2$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $90^{\circ }<\alpha <180^{\circ }$ nên $\cos \alpha <0$; cụ thể $\cos \alpha =-\frac{\sqrt{5}}{3}$, mâu thuẫn với $0<\cos \alpha <1$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Do $\cos \alpha <0$ với $\alpha$ ở góc phần tư thứ II nên $\cos \alpha =-\sqrt{1-{\sin }^2\alpha }$, dấu phải là âm.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\cot \alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }=\frac{-\sqrt{5}/3}{2/3}=-\frac{\sqrt{5}}{2}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
${\tan }^2\alpha =\frac{4}{5}$ nên $A=\frac{9}{4}+\frac{4}{5}=\frac{61}{20}\ne 2$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $\tan \alpha +\cot \alpha =2$, ta có $\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }+\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }=\frac{{\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha }{\sin \alpha \cos \alpha }=\frac{1}{\sin \alpha \cos \alpha }=2$, suy ra $\sin \alpha \cos \alpha =\frac{1}{2}$. a) Bình phương hai vế: ${\tan }^2\alpha +2\tan \alpha \cot \alpha +{\cot }^2\alpha =4$, mà $\tan \alpha \cot \alpha =1$ nên ${\tan }^2\alpha +{\cot }^2\alpha =2\ne 4$ → sai. b) Đúng như trên. c) $P={\sin }^6\alpha +{\cos }^6\alpha =({\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha {)}^3-3{\sin }^2\alpha {\cos }^2\alpha ({\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha )=1-3{\sin }^2\alpha {\cos }^2\alpha$, không phải $1+3{\sin }^2\alpha {\cos }^2\alpha$ → sai. d) ${\sin }^2\alpha {\cos }^2\alpha =\frac{1}{4}$ nên $P=1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}\ne \frac{1}{2}$ → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Bình phương hai vế của $\tan \alpha +\cot \alpha =2$ được ${\tan }^2\alpha +2+{\cot }^2\alpha =4$, suy ra ${\tan }^2\alpha +{\cot }^2\alpha =2\ne 4$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\tan \alpha +\cot \alpha =\frac{{\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha }{\sin \alpha \cos \alpha }=\frac{1}{\sin \alpha \cos \alpha }=2$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$P=1-3{\sin }^2\alpha {\cos }^2\alpha$ (dấu trừ, không phải dấu cộng).
d) (AI giải đề cho tôi)
Vì $\sin \alpha \cos \alpha =\frac{1}{2}$ nên $P=1-3\cdot \frac{1}{4}=\frac{1}{4}\ne \frac{1}{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 41: Cho sin x + cos x = m và M = |sin α − cos α| (đề dùng chung một góc, hiểu x ≡ α).
a) Đúng: sin²α + cos²α = 1 là hằng đẳng thức lượng giác cơ bản, đúng với mọi góc α.
b) Đúng: M² = (sin α − cos α)² = sin²α − 2 sinα cosα + cos²α = 1 − 2 sinα cosα. Mặt khác (sin x + cos x)² − 4 sinα cosα = m² − 4 sinα cosα = (1 + 2 sinα cosα) − 4 sinα cosα = 1 − 2 sinα cosα = M². Vậy khẳng định đúng.
c) Sai: từ sin x + cos x = m, bình phương hai vế ta được m² = 1 + 2 sinα cosα, tức dạng đúng phải là 1 + 2 sinα cosα = m², không phải 1 − 2 sinα cosα = m².
d) Sai: M² = 1 − 2 sinα cosα = 2 − (1 + 2 sinα cosα) = 2 − m², nên M = √(2 − m²) ≥ 0, không thể bằng −m² − 1 (giá trị âm).
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Hằng đẳng thức lượng giác sin²α + cos²α = 1 đúng với mọi góc α.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) M² = 1 − 2 sinα cosα và (sin x + cos x)² − 4 sinα cosα = m² − 4 sinα cosα = 1 + 2 sinα cosα − 4 sinα cosα = 1 − 2 sinα cosα = M².
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Bình phương sin x + cos x = m ta được m² = 1 + 2 sinα cosα, tức 1 + 2 sinα cosα = m², không phải 1 − 2 sinα cosα = m².
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) M² = 1 − 2 sinα cosα = 2 − m² nên M = √(2 − m²) ≥ 0, không thể bằng −m² − 1 < 0.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $\cos x\ne 0$ và $\tan x\ne 1$.
a) Đúng: $\frac{1}{{\cos }^{2}x}=\frac{{\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x}{{\cos }^{2}x}={\tan }^{2}x+1$.
b) Đúng: chia tử và mẫu cho ${\cos }^{2}x$: $A=\frac{{\tan }^{2}x+3\tan x-4}{1+{\tan }^{2}x}$.
c) Đúng: $A=\frac{(\tan x+4)(\tan x-1)}{1+{\tan }^{2}x}$ nên $P=\frac{A}{\tan x-1}=\frac{\tan x+4}{1+{\tan }^{2}x}$.
d) Sai: với $\cos x=\frac{1}{2}$ thì $\sin x=\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\tan x=\sqrt{3}$, do đó $P=\frac{\sqrt{3}+4}{4}\approx 1,68\ne \frac{\sqrt{3}}{4}$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đúng vì $\frac{1}{{\cos }^{2}x}=\frac{{\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x}{{\cos }^{2}x}={\tan }^{2}x+1$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Đúng: chia tử và mẫu của $A$ cho ${\cos }^{2}x\ne 0$ ta được $A=\frac{{\tan }^{2}x+3\tan x-4}{1+{\tan }^{2}x}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Đúng: $A=\frac{(\tan x+4)(\tan x-1)}{1+{\tan }^{2}x}$, với $\tan x\ne 1$ nên $P=\frac{\tan x+4}{1+{\tan }^{2}x}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Sai: khi $\cos x=\frac{1}{2}$ thì $\tan x=\sqrt{3}$, $P=\frac{\sqrt{3}+4}{4}\approx 1,68\ne \frac{\sqrt{3}}{4}$.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $t={\sin }^{2}x{\cos }^{2}x$ (chú ý ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$).
a) Sai: ${\sin }^{4}x+{\cos }^{4}x=({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x{)}^2-2{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x=1-2{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x$, không bằng $({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x{)}^2$.
b) Đúng: ${\sin }^{8}x+{\cos }^{8}x=({\sin }^{4}x+{\cos }^{4}x{)}^2-2{\sin }^{4}x{\cos }^{4}x=(1-2t{)}^2-2t^2=1-4t+2t^2=1-4{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x+2{\sin }^{4}x{\cos }^{4}x$.
c) Đúng: ${\sin }^{4}x+{\cos }^{4}x+{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x=1-2t+t=1-t$, nên $P=2(1-t{)}^2-(1-4t+2t^2)=2(1-{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x{)}^2-1+4{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x-2{\sin }^{4}x{\cos }^{4}x$.
d) Đúng: khai triển $2(1-2t+t^2)-1+4t-2t^2=2-4t+2t^2-1+4t-2t^2=1$. Vậy $P=1$ với mọi $x$.
a) (AI giải đề cho tôi)
${\sin }^{4}x+{\cos }^{4}x=({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x{)}^2-2{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x=1-2{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x$, khác $({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x{)}^2$.
b) (AI giải đề cho tôi)
${\sin }^{8}x+{\cos }^{8}x=(1-2{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x{)}^2-2{\sin }^{4}x{\cos }^{4}x=1-4{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x+2{\sin }^{4}x{\cos }^{4}x$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Vì ${\sin }^{4}x+{\cos }^{4}x+{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x=1-{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x$ và kết quả ở b, ta được đúng dạng đã cho.
d) (AI giải đề cho tôi)
Khai triển với $t={\sin }^{2}x{\cos }^{2}x$: $P=2(1-2t+t^2)-1+4t-2t^2=1$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai: $(\sin x+\cos x{)}^2={\sin }^{2}x+2\sin x\cos x+{\cos }^{2}x=1+2\sin x\cos x$, không phải $1-2\sin x\cos x$. b) Đúng: ${\tan }^{2}x-{\sin }^{2}x={\tan }^{2}x(1-{\cos }^{2}x)={\tan }^{2}x{\sin }^{2}x$. c) Đúng: Tử số $={\tan }^{2}x-{\sin }^{2}x+(1+2\sin x\cos x)-1={\tan }^{2}x{\sin }^{2}x+2\sin x\cos x$, nên $A=\frac{{\tan }^{2}x{\sin }^{2}x+2\sin x\cos x}{{\tan }^{2}x{\sin }^{2}x}$. d) Đúng: $A=1+\frac{2\sin x\cos x}{{\tan }^{2}x{\sin }^{2}x}=1+\frac{2\sin x\cos x}{\frac{{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}\cdot {\sin }^{2}x}=1+\frac{2{\cos }^{3}x}{{\sin }^{3}x}=1+2{\cot }^{3}x=B$ (với điều kiện $\sin x\ne 0,\cos x\ne 0$).
a) (AI giải đề cho tôi)
$(\sin x+\cos x{)}^2=1+2\sin x\cos x$, không phải $1-2\sin x\cos x$.
b) (AI giải đề cho tôi)
${\tan }^{2}x-{\sin }^{2}x={\tan }^{2}x(1-{\cos }^{2}x)={\tan }^{2}x{\sin }^{2}x$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tử số rút gọn thành ${\tan }^{2}x{\sin }^{2}x+2\sin x\cos x$ nên $A=\frac{{\tan }^{2}x{\sin }^{2}x+2\sin x\cos x}{{\tan }^{2}x{\sin }^{2}x}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$A=1+\frac{2\sin x\cos x}{{\tan }^{2}x{\sin }^{2}x}=1+2{\cot }^{3}x=B$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $P={\cos }^{4}x+{\cos }^{2}x{\sin }^{2}x+{\sin }^{2}x={\cos }^{2}x({\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x)+{\sin }^{2}x={\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x=1$. Vậy $P=1$, khớp với đáp số nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $t=\tan \alpha$, từ $\tan \alpha -\cot \alpha =2$ ta có $t-\frac{1}{t}=2$, suy ra ${\left(t+\frac{1}{t}\right)}^2={\left(t-\frac{1}{t}\right)}^2+4=4+4=8$.

Ta có $\frac{1}{{\cos }^2\alpha {\sin }^2\alpha }=\frac{({\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha {)}^2}{{\sin }^2\alpha {\cos }^2\alpha }={\tan }^2\alpha +2+{\cot }^2\alpha ={\left(\tan \alpha +\cot \alpha \right)}^2=8$.

Vậy $P=8+8=16$, khớp với đáp số 16 của nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\alpha +\beta =90^{\circ }$ nên $\sin \beta =\cos \alpha$. Đặt $x={\sin }^2\alpha$, $y={\cos }^2\alpha$ với $x+y=1$. Khi đó:
$$T={\sin }^6\alpha +{\cos }^6\alpha +3{\sin }^2\alpha {\cos }^2\alpha =x^3+y^3+3xy.$$
Sử dụng hằng đẳng thức $x^3+y^3+3xy(x+y)=(x+y{)}^3$, mà $x+y=1$ nên:
$$T=(x+y{)}^3=1^3=1.$$
Kết quả khớp với đáp số nguồn: 1.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có: ${\tan }^{2}x-{\sin }^{2}x=\frac{{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}-{\sin }^{2}x=\frac{{\sin }^{4}x}{{\cos }^{2}x}$ và ${\cot }^{2}x-{\cos }^{2}x=\frac{{\cos }^{2}x}{{\sin }^{2}x}-{\cos }^{2}x=\frac{{\cos }^{4}x}{{\sin }^{2}x}$. Do đó $\frac{{\tan }^{2}x-{\sin }^{2}x}{{\cot }^{2}x-{\cos }^{2}x}=\frac{{\sin }^{4}x}{{\cos }^{2}x}\cdot \frac{{\sin }^{2}x}{{\cos }^{4}x}=\frac{{\sin }^{6}x}{{\cos }^{6}x}={\tan }^{6}x$, suy ra $n=6$. Từ $\sin x+\cos x=\frac{1}{3}$, bình phương: $1+2\sin x\cos x=\frac{1}{9}\Rightarrow \sin x\cos x=\frac{1/9-1}{2}=-\frac{4}{9}$. Khi đó $P={\sin }^{6}x+{\cos }^{6}x=({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x{)}^3-3{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x)=1-3{\left(-\frac{4}{9}\right)}^2=1-\frac{48}{81}=\frac{33}{81}=\frac{11}{27}\approx 0,41$. Kết quả khớp với đáp số đã cho: 0,41.

(AI giải đề cho tôi)
Từ công thức $d=\frac{v_0^2\sin 2\phi }{g}$ ta có $\sin 2\phi =\frac{d\cdot g}{v_0^2}=\frac{18\cdot 10}{15^2}=\frac{180}{225}=0,8$. Vì $0^{\circ }<\phi <90^{\circ }$ nên $0^{\circ }<2\phi <180^{\circ }$, do đó $\cos 2\phi =\pm \sqrt{1-{\sin }^{2}2\phi }=\pm \sqrt{1-0,64}=\pm 0,6$. Với góc đánh bóng thực tế $\phi <45^{\circ }$ (để bóng đi xa nhất hướng tới), ta chọn $\cos 2\phi =0,6$. Kết quả khớp với đáp số nguồn: 0,6.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $d$ là khoảng cách từ vận động viên đến bức tường, $d=10\sqrt{5}$ (m). Khi góc ngắm là $\frac{\alpha }{2}$, mục tiêu cao $10$ m nên $\tan \frac{\alpha }{2}=\frac{10}{10\sqrt{5}}=\frac{1}{\sqrt{5}}$. Do đó ${\cos }^2\frac{\alpha }{2}=\frac{1}{1+{\tan }^2\frac{\alpha }{2}}=\frac{1}{1+\frac{1}{5}}=\frac{5}{6}$. Vậy $P=3\cdot \frac{5}{6}=\frac{5}{2}=2,5$, trùng với đáp số đã cho.

(AI giải đề cho tôi)
Chia $A$ cho ${\cos }^{2}x$ (vì $\tan x$ xác định nên $\cos x\ne 0$): $A={\cos }^{2}x\left(2025+2b\tan x+c{\tan }^{2}x\right)$. Với $t=\tan x=\frac{2b}{2025-c}$, ta có $2bt+c{t}^2=\frac{4b^2}{2025-c}+\frac{4b^{2}c}{(2025-c{)}^2}=\frac{4b^2(2025-c+c)}{(2025-c{)}^2}=\frac{2025\cdot 4b^2}{(2025-c{)}^2}=2025{\tan }^{2}x$. Do đó $2025+2b\tan x+c{\tan }^{2}x=2025(1+{\tan }^{2}x)=\frac{2025}{{\cos }^{2}x}$, suy ra $A={\cos }^{2}x\cdot \frac{2025}{{\cos }^{2}x}=2025$. Kết quả khớp với đáp số nguồn: 2025.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $s={\sin }^2\alpha$, $c={\cos }^2\alpha$ với $s+c=1$. Giả thiết $\frac{s^2}{2}+\frac{c^2}{3}=\frac{1}{5}$, nhân 6: $3s^2+2c^2=\frac{6}{5}$. Thay $c=1-s$: $3s^2+2(1-2s+s^2)=\frac{6}{5}\Rightarrow 5s^2-4s+\frac{4}{5}=0\Rightarrow 25s^2-20s+4=0\Rightarrow (5s-2{)}^2=0$. Vậy $s=\frac{2}{5}$, $c=\frac{3}{5}$, tức ${\sin }^2\alpha =\frac{2}{5}$, ${\cos }^2\alpha =\frac{3}{5}$. Do đó ${\sin }^8\alpha ={\left(\frac{2}{5}\right)}^4=\frac{16}{625}$, ${\cos }^8\alpha ={\left(\frac{3}{5}\right)}^4=\frac{81}{625}$. Khi đó $A=\frac{16}{625\cdot 8}+\frac{81}{625\cdot 27}=\frac{2}{625}+\frac{3}{625}=\frac{5}{625}=\frac{1}{125}$. Suy ra $5A=\frac{5}{125}=\frac{1}{25}=0,04$, khớp với đáp số nguồn. Vậy $5A=0,04$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $\sin x+\cos x=\frac{1}{2}$, bình phương hai vế: $1+2\sin x\cos x=\frac{1}{4}$, suy ra $2\sin x\cos x=-\frac{3}{4}$, tức $\sin x\cos x=-\frac{3}{8}$. Khi đó $P^2=(\sin x-\cos x{)}^2=1-2\sin x\cos x=1+\frac{3}{4}=\frac{7}{4}$. Vậy $P=\sqrt{\frac{7}{4}}$, với $\frac{a}{b}=\frac{7}{4}$ tối giản nên $a=7$, $b=4$, do đó $a+b=11$. Kết quả trùng với đáp án nguồn: 11.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $a={\sin }^2\alpha$, $b={\cos }^2\alpha$ với $a+b=1$, $a,b\ge 0$. Điều kiện $3{\sin }^4\alpha -{\cos }^4\alpha =\frac{1}{2}$ trở thành $3a^2-b^2=\frac{1}{2}$. Thay $b=1-a$: $3a^2-(1-a{)}^2=\frac{1}{2}\iff 3a^2-1+2a-a^2=\frac{1}{2}\iff 2a^2+2a-\frac{3}{2}=0\iff 4a^2+4a-3=0$. Giải được $a=\frac{1}{2}$ (nhận, vì $a\ge 0$; nghiệm $a=-\frac{3}{2}$ loại). Suy ra $b=\frac{1}{2}$. Khi đó $A=2{\sin }^4\alpha -{\cos }^4\alpha =2a^2-b^2=2\cdot \frac{1}{4}-\frac{1}{4}=\frac{1}{4}=0,25$. Kết quả trùng với đáp số nguồn: 0,25.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\sin 150^{\circ }=\frac{1}{2}$, $\cos 135^{\circ }=-\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\sin 120^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$. Do đó $P=\sqrt{3}\cdot \frac{1}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$. Vậy chọn đáp án D.