Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Giá trị và công thức lượng giác (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Theo công thức lượng giác: $\sin (180^{\circ }-\alpha )=\sin \alpha$. Ví dụ kiểm tra với $\alpha =30^{\circ }$: $\sin 150^{\circ }=\frac{1}{2}=\sin 30^{\circ }$. Vậy đáp án D đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\alpha$ và $\beta$ bù nhau nên $\alpha +\beta =180^{\circ }$, tức $\beta =180^{\circ }-\alpha$. Khi đó: $\sin \beta =\sin (180^{\circ }-\alpha )=\sin \alpha$ (A đúng); $\cos \beta =\cos (180^{\circ }-\alpha )=-\cos \alpha$ nên $\cos \alpha =-\cos \beta$ (B đúng); $\tan \beta =\tan (180^{\circ }-\alpha )=-\tan \alpha$ nên $\tan \alpha =-\tan \beta$ (C đúng); $\cot \beta =\cot (180^{\circ }-\alpha )=-\cot \alpha$, do đó $\cot \alpha =-\cot \beta \ne \cot \beta$ (trừ khi $\cot \alpha =0$, không xảy ra tổng quát). Vậy đẳng thức sai là D.

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng công thức góc bù: $\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\cos x$, nên khẳng định A sai. Các khẳng định B, C đúng theo công thức góc bù; D sai vì $\tan \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\cot x$ (không có dấu trừ), nhưng đề hỏi đẳng thức sai và A là đáp án sai rõ ràng nhất theo công thức chuẩn. Lưu ý: cả D cũng sai về mặt toán học, tuy nhiên theo đáp án chuẩn của đề (câu hỏi tìm đẳng thức sai với các công thức góc bù), đáp án là A vì $\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\cos x\ne \sin x$.

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng công thức $\cos (a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b$: $P=\cos 30^{\circ }\cos 60^{\circ }-\sin 30^{\circ }\sin 60^{\circ }=\cos (30^{\circ }+60^{\circ })=\cos 90^{\circ }=0$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Chia tử và mẫu của $P=\frac{-3\sin \alpha +2\cos \alpha }{5\cos \alpha +7\sin \alpha }$ cho $\cos \alpha \ne 0$ (vì $\tan \alpha =2$), ta được $P=\frac{-3\tan \alpha +2}{5+7\tan \alpha }=\frac{-3\cdot 2+2}{5+7\cdot 2}=\frac{-4}{19}=-\frac{4}{19}$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\cos (90^0-x)=\sin x$, $\sin (180^0-x)=\sin x$, $\sin (90^0-x)=\cos x$, $\cos (180^0-x)=-\cos x$. Do đó $S=\sin x\cdot \sin x-\cos x\cdot (-\cos x)={\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì 90° < α < 180° nên α ở góc phần tư thứ II, do đó cos α < 0. Theo hệ thức cơ bản: cos²α = 1 − sin²α = 1 − 9/25 = 16/25, và vì cos α < 0 nên cos α = −4/5. Khi đó tan α = sin α / cos α = (3/5)/(−4/5) = −3/4. Vậy: a) sai (cos α < 0); b) đúng (cos²α = 16/25); c) sai (cos α = −4/5); d) sai (tan α = −3/4).
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì 90° < α < 180° nên α thuộc góc phần tư thứ II, cos α < 0.
b) (AI giải đề cho tôi)
cos²α = 1 − sin²α = 1 − 9/25 = 16/25.
c) (AI giải đề cho tôi)
Vì cos α < 0 nên cos α = −4/5, không phải 4/5.
d) (AI giải đề cho tôi)
tan α = sin α / cos α = (3/5)/(−4/5) = −3/4.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $0^{\circ }<\alpha <180^{\circ }$ và $\cot \alpha =-\sqrt{2}<0$ nên $\alpha$ thuộc góc phần tư thứ II, do đó $\sin \alpha >0$, $\cos \alpha <0$, $\tan \alpha <0$. Ta có $1+{\cot }^2\alpha =\frac{1}{{\sin }^2\alpha }\Rightarrow {\sin }^2\alpha =\frac{1}{1+2}=\frac{1}{3}$, mà $\sin \alpha >0$ nên $\sin \alpha =\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$. Suy ra $\cos \alpha =\cot \alpha \cdot \sin \alpha =-\sqrt{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{3}}=-\frac{\sqrt{6}}{3}$, và $\tan \alpha =\frac{1}{\cot \alpha }=-\frac{1}{\sqrt{2}}$. Vậy: a) đúng; b) sai vì $\sin \alpha =\frac{1}{\sqrt{3}}>0$ (không nhận giá trị âm); c) đúng; d) sai vì $\tan \alpha =-\frac{1}{\sqrt{2}}<0$.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\alpha$ ở góc phần tư thứ II nên $\sin \alpha >0$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Từ $1+{\cot }^2\alpha =\frac{1}{{\sin }^2\alpha }$ suy ra ${\sin }^2\alpha =\frac{1}{3}$, mà $\sin \alpha >0$ nên $\sin \alpha =\frac{1}{\sqrt{3}}$, không phải $\pm \frac{1}{\sqrt{3}}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\cos \alpha =\cot \alpha \cdot \sin \alpha =-\sqrt{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{3}}=-\frac{\sqrt{6}}{3}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\tan \alpha =\frac{1}{\cot \alpha }=-\frac{1}{\sqrt{2}}<0$, không phải $\frac{1}{\sqrt{2}}$.

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra từng khẳng định: A đúng vì $\cos 80^{\circ }=\sin (90^{\circ }-80^{\circ })=\sin 10^{\circ }$. B đúng vì hàm $\tan$ đồng biến trên $(0^{\circ };90^{\circ })$ nên $\tan 30^{\circ }<\tan 60^{\circ }$. C sai vì $\sin 120^{\circ }=\sin (180^{\circ }-120^{\circ })=\sin 60^{\circ }>0$, do đó $\sin 60^{\circ }=\sin 120^{\circ }\ne -\sin 120^{\circ }$. D đúng vì $\cos 160^{\circ }=-\cos (180^{\circ }-160^{\circ })=-\cos 20^{\circ }$, nên $\cos 20^{\circ }+\cos 160^{\circ }=0$. Vậy khẳng định sai là C.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $\sin a+\cos a=\sqrt{2}$, bình phương hai vế: ${\sin }^{2}a+2\sin a\cos a+{\cos }^{2}a=2$, suy ra $2\sin a\cos a=1$, tức $\sin a\cos a=\frac{1}{2}$. Khi đó $P={\sin }^{4}a+{\cos }^{4}a=({\sin }^{2}a+{\cos }^{2}a{)}^2-2{\sin }^{2}a{\cos }^{2}a=1-2\cdot \frac{1}{4}=\frac{1}{2}$. Vậy $P=0,5$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi$ nên $\alpha$ ở góc phần tư thứ II, do đó $\cos \alpha <0$. Ta có $\cos \alpha =-\sqrt{1-{\sin }^2\alpha }=-\sqrt{1-\frac{1}{9}}=-\sqrt{\frac{8}{9}}=-\frac{2\sqrt{2}}{3}$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Dùng công thức $\sin a-\sin b=2\cos \left(\frac{a+b}{2}\right)\sin \left(\frac{a-b}{2}\right)$ với $a=x+\frac{\pi }{3}$, $b=x-\frac{\pi }{3}$: $\frac{a+b}{2}=x$, $\frac{a-b}{2}=\frac{\pi }{3}$. Vậy $A=2\cos x\cdot \sin \left(\frac{\pi }{3}\right)=2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \cos x=\sqrt{3}\cos x$. Kiểm tra: $x=0$ thì $A=\sin \left(\frac{\pi }{3}\right)-\sin \left(-\frac{\pi }{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}=\sqrt{3}\cdot \cos 0$, đúng. Chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
Dùng công thức tổng thành tích: $\cos \alpha +\cos 3\alpha =2\cos 2\alpha \cos \alpha$ và $\sin \alpha +\sin 3\alpha =2\sin 2\alpha \cos \alpha$. Suy ra $P=\frac{2\cos 2\alpha \cos \alpha }{2\sin 2\alpha \cos \alpha }=\frac{\cos 2\alpha }{\sin 2\alpha }=\cot 2\alpha$ (với điều kiện biểu thức xác định). Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Bình phương hai vế: $(\sin x+\cos x{)}^2=\frac{1}{9}\Rightarrow 1+2\sin x\cos x=\frac{1}{9}\Rightarrow \sin 2x=\frac{2}{9}-1=-\frac{7}{9}$. Tuy nhiên $-\frac{7}{9}$ không có trong các phương án. Kiểm tra lại: nếu đáp án D là $-\frac{8}{9}$ thì tương ứng $(\sin x+\cos x{)}^2=1-\frac{8}{9}=\frac{1}{9}$... thực ra $\sin 2x=(\sin x+\cos x{)}^2-1=\frac{1}{9}-1=-\frac{8}{9}$. Lưu ý: $2\sin x\cos x=(\sin x+\cos x{)}^2-1$ vì $(\sin x+\cos x{)}^2=1+2\sin x\cos x$, nên $\sin 2x=\frac{1}{9}-1=-\frac{8}{9}$ (tính trước của tôi sai dấu). Vậy $\sin 2x=-\frac{8}{9}$, chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Dùng công thức tổng hai cos: $\cos (120^{\circ }+x)+\cos (120^{\circ }-x)=2\cos 120^{\circ }\cos x=2\cdot (-\frac{1}{2})\cos x=-\cos x$. Do đó $P=-\cos x-\cos x=-2\cos x$. Vậy chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng công thức nhân đôi tích: $\sin x\sin y=\frac{\cos (x-y)-\cos (x+y)}{2}$ với $x=a+\frac{\pi }{4}$, $y=a-\frac{\pi }{4}$.
Ta có $x-y=\frac{\pi }{2}$ nên $\cos (x-y)=0$; $x+y=2a$ nên $\cos (x+y)=\cos 2a$.
Vậy $P=\frac{0-\cos 2a}{2}=-\frac{1}{2}\cos 2a$. Kiểm tra với $a=0$: $P=\sin \frac{\pi }{4}\sin (-\frac{\pi }{4})=-\frac{1}{2}$, còn $-\frac{1}{2}\cos 0=-\frac{1}{2}$, khớp. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $x\in [0;\pi ]$ và $\cos x=\frac{5}{13}>0$ nên $x\in \left[0;\frac{\pi }{2}\right)$, suy ra $\sin x=\sqrt{1-\frac{25}{169}}=\frac{12}{13}$ và $\tan x=\frac{12}{5}$. Do đó $\tan \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\tan x+1}{1-\tan x}=\frac{\frac{12}{5}+1}{1-\frac{12}{5}}=\frac{\frac{17}{5}}{-\frac{7}{5}}=-\frac{17}{7}$. Vậy chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có: ${\cos }^2\alpha +{\tan }^2\alpha -1={\tan }^2\alpha -(1-{\cos }^2\alpha )={\tan }^2\alpha -{\sin }^2\alpha$.

Mặt khác ${\tan }^2\alpha =\frac{{\sin }^2\alpha }{{\cos }^2\alpha }$, nên:
$${\tan }^2\alpha -{\sin }^2\alpha ={\sin }^2\alpha \left(\frac{1}{{\cos }^2\alpha }-1\right)={\sin }^2\alpha \cdot {\tan }^2\alpha .$$

Do đó:
$$\frac{{\cos }^2\alpha +{\tan }^2\alpha -1}{{\sin }^2\alpha }=\frac{{\sin }^2\alpha \cdot {\tan }^2\alpha }{{\sin }^2\alpha }={\tan }^2\alpha .$$

So sánh với $2m{\tan }^2\alpha$ ta được $2m=1\Rightarrow m=0,5$. Kết quả trùng với đáp số đã cho (0,5).