Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Giới hạn dãy (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Nhân liên hợp: $\sqrt{n^2-3n+1}-n=\frac{-3n+1}{\sqrt{n^2-3n+1}+n}=\frac{-3+\frac{1}{n}}{\sqrt{1-\frac{3}{n}+\frac{1}{n^2}}+1}\to \frac{-3}{2}$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Xét bậc tử và bậc mẫu của mỗi giới hạn:
- A: $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{3+2n^3}{2n^2-1}$: bậc tử (3) lớn hơn bậc mẫu (2) nên giới hạn bằng $+\infty$.
- B: $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{2n^2-3}{-2n^3-4}$: bậc tử (2) nhỏ hơn bậc mẫu (3) nên giới hạn bằng 0. Chọn B.
- C: $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{2n-3n^3}{-2n^2-1}$: bậc tử (3) lớn hơn bậc mẫu (2) nên giới hạn bằng $+\infty$.
- D: $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{2n^2-3n^4}{-2n^4+n^2}=\frac{-3}{-2}=\frac{3}{2}$ (tỉ số hệ số của $n^4$), khác 0.
Vậy chỉ có giới hạn ở phương án B bằng 0.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng dãy khi $n\to +\infty$:
- A: $\frac{1+2n}{5n+5n^2}\sim \frac{2n}{5n^2}=\frac{2}{5n}\to 0$.
- B: $\frac{n^3+2n-1}{-n+2n^3}\sim \frac{n^3}{2n^3}=\frac{1}{2}$.
- C: $\frac{2n^2-3n^4}{n^2+2n^3}\sim \frac{-3n^4}{2n^3}=-\frac{3}{2}n\to -\infty$.
- D: $\frac{n^2-2n}{5n+1}\sim \frac{n^2}{5n}=\frac{n}{5}\to +\infty$.
Vậy chỉ dãy ở phương án C có giới hạn $-\infty$.

(AI giải đề cho tôi)
Chia tử và mẫu cho $4^n$ (số mũ lớn nhất): $$\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{3^n-4\cdot 2^n-3}{3\cdot 2^n+4^n}=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{(3/4{)}^n-4\cdot (2/4{)}^n-3/4^n}{3\cdot (2/4{)}^n+1}.$$ Vì $0<(3/4{)}^n\to 0$, $(1/2{)}^n\to 0$, $1/4^n\to 0$, nên tử tiến về $0$ và mẫu tiến về $1$. Vậy giới hạn bằng $0$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Nhân liên hợp: $\sqrt{n^2-1}-\sqrt{3n^2+2}=\frac{(n^2-1)-(3n^2+2)}{\sqrt{n^2-1}+\sqrt{3n^2+2}}=\frac{-2n^2-3}{\sqrt{n^2-1}+\sqrt{3n^2+2}}$. Mẫu số cấp 1 (xấp xỉ $(1+\sqrt{3})n$), tử số cấp 2 với hệ số âm, nên giới hạn bằng $-\infty$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Chia tử và mẫu cho $n^3$: $a=\lim \frac{2-\frac{1}{n^2}+\frac{4}{n^3}}{1+\frac{1}{n}+\frac{3}{n^3}}=2$. Với $b$: chia tử mẫu cho $4^n$: $b=\lim \frac{{\left(\frac{3}{4}\right)}^n+4}{1+\frac{3}{4^n}}=4$. a) Đúng vì $a=2$. b) Đúng vì $b=4$. c) $2a-b=2\cdot 2-4=0$, đúng. d) Ba số $2,4,16$: $\frac{4}{2}=2$ nhưng $\frac{16}{4}=4\ne 2$, nên không lập thành cấp số nhân, sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Chia tử và mẫu cho $n^3$, các số hạng chứa $n$ đều tiến về 0 nên $a=2$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Chia tử và mẫu cho $4^n$: $b=\lim \frac{(3/4{)}^n+4}{1+3/4^n}=4$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$2a-b=2\cdot 2-4=0$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$2,4,16$: $\frac{4}{2}=2\ne \frac{16}{4}=4$, không là cấp số nhân.

(AI giải đề cho tôi)
Tính các giới hạn: $\lim u_n=\lim \frac{n^2-4n+7}{4n^2+3n+1}=\frac{1}{4}$ (chia tử và mẫu cho $n^2$), nên khẳng định a) sai vì $\frac{1}{4}\ne \frac{1}{2}$. Với $v_n=\frac{\sqrt{4n^2+5}}{8n+3}=\frac{\sqrt{4+5/n^2}}{8+3/n}\to \frac{2}{8}=\frac{1}{4}$, do đó $\lim \left(v_n-\frac{1}{4}\right)=0$: khẳng định b) đúng. $\lim \frac{u_n}{2v_n}=\frac{1/4}{2\cdot 1/4}=\frac{1}{2}\ne 1$: khẳng định c) sai. $\lim (2u_n-4v_n)=2\cdot \frac{1}{4}-4\cdot \frac{1}{4}=\frac{1}{2}-1=-\frac{1}{2}\ne 0$: khẳng định d) sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Chia tử và mẫu cho $n^2$: $\lim u_n=\frac{1}{4}\ne \frac{1}{2}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\lim v_n=\frac{\sqrt{4}}{8}=\frac{1}{4}$ nên $\lim \left(v_n-\frac{1}{4}\right)=0$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\lim \frac{u_n}{2v_n}=\frac{1/4}{1/2}=\frac{1}{2}\ne 1$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\lim (2u_n-4v_n)=\frac{1}{2}-1=-\frac{1}{2}\ne 0$.

(AI giải đề cho tôi)
Chia tử và mẫu cho $3^n$: $\lim \frac{\sqrt{9^n+1}}{2\cdot 3^n-1}=\lim \frac{\sqrt{1+9^{-n}}}{2-3^{-n}}=\frac{1}{2}$. Vậy $a=1,b=2$, $P=2a+b=4$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 31. a) Chia tử và mẫu cho $n^2$: ${\lim }_{n\to +\infty }\frac{4n+1}{2n^2-3n+7}=\lim \frac{\frac{4}{n}+\frac{1}{n^2}}{2-\frac{3}{n}+\frac{7}{n^2}}=\frac{0+0}{2-0+0}=0$. b) Chia tử và mẫu cho $n^3$: ${\lim }_{n\to +\infty }\frac{n^3+4}{5n^3+n+8}=\lim \frac{1+\frac{4}{n^3}}{5+\frac{1}{n^2}+\frac{8}{n^3}}=\frac{1}{5}$. c) Chia tử và mẫu cho $n$ (với $n>0$ nên $\sqrt{n^2}=n$): ${\lim }_{n\to +\infty }\frac{\sqrt{n^2+5n+3}}{6n+2}=\lim \frac{\sqrt{1+\frac{5}{n}+\frac{3}{n^2}}}{6+\frac{2}{n}}=\frac{\sqrt{1+0+0}}{6+0}=\frac{1}{6}$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 33.

a) Chia tử và mẫu cho $7^n$:
$$\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{3^n-7^n}{7^n+4}=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{{\left(\frac{3}{7}\right)}^n-1}{1+\frac{4}{7^n}}=\frac{0-1}{1+0}=-1.$$

b) Chia tử và mẫu cho $3^n$:
$$\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{2^n-5\cdot 3^{n+2}}{3^n+4}=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{{\left(\frac{2}{3}\right)}^n-5\cdot 9}{1+\frac{4}{3^n}}=\frac{0-45}{1+0}=-45.$$

Vậy a) $=-1$, b) $=-45$.

(AI giải đề cho tôi)
Giới hạn $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{(a-1)n+2}{2n+9}=\frac{a-1}{2}$. Theo đề, $\frac{a-1}{2}=1\Rightarrow a=3$. Vì $3\in (1;4)$ nên khẳng định đúng là D.

(AI giải đề cho tôi)
Nhân liên hợp: $n-\sqrt{n^2+3n-1}=\frac{n^2-(n^2+3n-1)}{n+\sqrt{n^2+3n-1}}=\frac{1-3n}{n+\sqrt{n^2+3n-1}}$. Chia tử và mẫu cho $n$: $\frac{\frac{1}{n}-3}{1+\sqrt{1+\frac{3}{n}-\frac{1}{n^2}}}\to \frac{-3}{1+1}=-\frac{3}{2}$. Vậy giới hạn bằng $-\frac{3}{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Chia tử và mẫu cho $3^n$: $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{9\cdot 2^n+3^n}{2^n+5\cdot 3^n}=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{9{\left(\frac{2}{3}\right)}^n+1}{{\left(\frac{2}{3}\right)}^n+5}$. Vì $\left|\frac{2}{3}\right|<1$ nên $\lim {\left(\frac{2}{3}\right)}^n=0$, do đó giới hạn bằng $\frac{0+1}{0+5}=\frac{1}{5}$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng phát biểu: A đúng vì dãy hằng số $u_n=c$ có giới hạn bằng $c$. B đúng vì với $k>1$, $\lim \frac{1}{n^k}=0$. C đúng vì $\lim \frac{1}{n}=0$. D sai vì với $|q|>1$ thì $|q^n|\to +\infty$, do đó $q^n$ không có giới hạn bằng 0 (đúng phải là $\lim q^n=0$ khi $|q|<1$). Vậy phát biểu sai là D, khớp với đáp án nguồn (đề 1106, câu 13: D).

(AI giải đề cho tôi)
Quãng đường rơi lần đầu là $20$ m. Sau mỗi lần chạm đất, bóng nảy lên độ cao bằng $\frac{2}{3}$ lần trước rồi lại rơi xuống cùng độ cao đó, nên mỗi chu kỳ (nảy lên + rơi xuống) sau lần đầu góp phần $2\cdot 20{\left(\frac{2}{3}\right)}^k$ với $k=1,2,3,\dots$ Tổng quãng đường: $$S=20+2\cdot 20\left(\frac{2}{3}+{\left(\frac{2}{3}\right)}^2+\cdots \right)=20+40\cdot \frac{\frac{2}{3}}{1-\frac{2}{3}}=20+40\cdot 2=100\text{ m}.$$ Kết quả khớp với đáp án nguồn là 100.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng phát biểu: A đúng vì với $k>1$, $\lim \frac{1}{n^k}=0$. B đúng vì $\lim \frac{1}{n}=0$. C đúng vì dãy hằng số $u_n=c$ có giới hạn bằng $c$. D sai vì với $|q|>1$ thì $q^n$ không có giới hạn bằng 0 (đúng phải là $\lim q^n=0$ khi $|q|<1$; khi $|q|>1$ thì $|q^n|\to \infty$). Vậy phát biểu sai là D, trùng với đáp án nguồn (đề 1105, câu 16: D).

(AI giải đề cho tôi)
Chia tử và mẫu cho $n^3$: $\lim \frac{2n+1}{n^3-n^2+1}=\lim \frac{\frac{2}{n^2}+\frac{1}{n^3}}{1-\frac{1}{n}+\frac{1}{n^3}}=\frac{0+0}{1-0+0}=0$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Phần IV, Câu 1:

a) Chia tử và mẫu cho $n^2$:
$$\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{3n^2-7n+2}{2n^2+n-1}=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{3-\frac{7}{n}+\frac{2}{n^2}}{2+\frac{1}{n}-\frac{1}{n^2}}=\frac{3-0+0}{2+0-0}=\frac{3}{2}.$$

b) Với $x\to -\infty$ ta có $|x|=-x$, nên $\sqrt{x^2-5x+1}=|x|\sqrt{1-\frac{5}{x}+\frac{1}{x^2}}=-x\sqrt{1-\frac{5}{x}+\frac{1}{x^2}}$. Do đó:
$$\sqrt{x^2-5x+1}-2x=-x\sqrt{1-\frac{5}{x}+\frac{1}{x^2}}-2x=|x|\left(-\sqrt{1-\frac{5}{x}+\frac{1}{x^2}}-2\right).$$
Khi $x\to -\infty$ thì $\sqrt{1-\frac{5}{x}+\frac{1}{x^2}}\to 1$ nên biểu thức trong ngoặc tiến về $-3<0$, còn $|x|\to +\infty$. Vậy:
$$\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(\sqrt{x^2-5x+1}-2x\right)=+\infty .$$

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số nhân có số hạng đầu $u_1=\frac{2}{3}$ và công bội $q=\frac{1}{3}$ với $|q|<1$. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn là $S=\frac{u_1}{1-q}=\frac{2/3}{1-1/3}=\frac{2/3}{2/3}=1$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng khẳng định: A đúng vì dãy hằng số có giới hạn bằng chính nó. B đúng vì với $|q|<1$ thì $\lim q^n=0$. C đúng vì $\lim \frac{1}{n}=0$. D sai vì nếu $k$ là số nguyên âm, ví dụ $k=-1$ thì $\frac{1}{n^k}=n$, có giới hạn $+\infty$ chứ không bằng 0. Khẳng định đúng phải là $k$ là số nguyên dương. Vậy khẳng định sai là D.