Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Giới hạn hàm (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Câu 95 (Câu 92 trong dữ liệu):

a) Vì ${\lim }_{x\to +\infty }(x^2+2)=+\infty$ nên ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{1}{x^2+2}=0$.

b) Khi $x\to 3^{+}$ thì $x-3\to 0^{+}$ nên ${\lim }_{x\to 3^{+}}\frac{1}{x-3}=+\infty$.

c) Chia tử và mẫu cho $x$: ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{3x+2}{4x-5}={\lim }_{x\to +\infty }\frac{3+\frac{2}{x}}{4-\frac{5}{x}}=\frac{3}{4}$.

d) $3x^2-4x+1=(3x-1)(x-1)$, do đó với $x\ne 1$:
$$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{3x^2-4x+1}{x-1}=\underset{x\to 1}{\lim }(3x-1)=2.$$

(AI giải đề cho tôi)
Câu 96: a) Chia tử và mẫu cho $x$: ${\lim }_{x\to -\infty }\frac{-5+\frac{2}{x}}{3+\frac{1}{x}}=-\frac{5}{3}$.

b) Bậc tử thấp hơn bậc mẫu nên ${\lim }_{x\to -\infty }\frac{-2x+3}{3x^2+2x+5}=0$.

c) Với $x\to +\infty$, $\sqrt{9x^2+3}=3x$ (vì $x>0$), do đó ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{3x}{x+1}=3$.

d) Với $x\to -\infty$, $\sqrt{9x^2+3}=|3x|=-3x$ (vì $x<0$), do đó ${\lim }_{x\to -\infty }\frac{-3x}{x+1}=-3$.

e) $2x^2-8x+6=2(x-1)(x-3)$ và $x^2-1=(x-1)(x+1)$, nên ${\lim }_{x\to 1}\frac{2(x-3)}{x+1}=\frac{2\cdot (-2)}{2}=-2$.

g) $-x^2+2x+15=-(x-5)(x+3)$ và $x^2+4x+3=(x+3)(x+1)$, nên ${\lim }_{x\to -3}\frac{-(x-5)}{x+1}=\frac{-(-8)}{-2}=-4$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo giả thiết ${\lim }_{x\to 1}f(x)=2$. Áp dụng tính chất của giới hạn (giới hạn của tích một hàm số với một hằng số): $$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{f(x)}{2}=\underset{x\to 1}{\lim }\left(\frac{1}{2}\cdot f(x)\right)=\frac{1}{2}\cdot \underset{x\to 1}{\lim }f(x)=\frac{1}{2}\cdot 2=1.$$ Vậy ${\lim }_{x\to 1}\frac{f(x)}{2}=1$. Đpcm.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có ${\lim }_{x\to 2}\frac{f(x)-5}{x-2}=3$. Vì mẫu số $x-2\to 0$ mà thương có giới hạn hữu hạn bằng 3, nên tử số phải tiến về 0, tức là ${\lim }_{x\to 2}(f(x)-5)=0$. Suy ra ${\lim }_{x\to 2}f(x)=5$. Giải thích chi tiết: nếu ${\lim }_{x\to 2}(f(x)-5)=L\ne 0$ thì $\frac{f(x)-5}{x-2}$ sẽ tiến về $\pm \infty$, mâu thuẫn với giới hạn bằng 3. Vậy ${\lim }_{x\to 2}f(x)=5$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\frac{xf(x)}{x+1}=f(x)\cdot \frac{x}{x+1}$. Vì ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=2022$ và ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{x}{x+1}={\lim }_{x\to +\infty }\frac{1}{1+\frac{1}{x}}=1$, theo tính chất giới hạn của tích: ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{xf(x)}{x+1}=2022\cdot 1=2022$.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng chi phí sản xuất $x$ sản phẩm là $C(x)=30000+8x$ (USD).

a) Chi phí trung bình để sản xuất một sản phẩm là:
$$\overline{C}(x)=\frac{C(x)}{x}=\frac{30000+8x}{x}=\frac{30000}{x}+8\text{ (USD/sản phẩm)},x\in {\mathbb{N}}^{\ast }.$$

b) Khi $x\to +\infty$ thì $\frac{30000}{x}\to 0$, do đó:
$$\underset{x\to +\infty }{\lim }\overline{C}(x)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\frac{30000}{x}+8\right)=8\text{ (USD)}.$$

Vậy chi phí trung bình giảm dần và tiến tới 8 USD khi sản lượng tăng vô hạn.

(AI giải đề cho tôi)
Với $x<-1$ thì $f(x)=x-2$; với $x\ge -1$ thì $f(x)=\sqrt{x^2+1}$.
a) $x\to -2$ nằm trong miền $x<-1$, nên ${\lim }_{x\to -2}f(x)={\lim }_{x\to -2}(x-2)=-4\ne \sqrt{5}$ → Sai.
b) ${\lim }_{x\to -1^{-}}f(x)={\lim }_{x\to -1^{-}}(x-2)=-1-2=-3$ → Đúng.
c) ${\lim }_{x\to -1^{+}}f(x)=\sqrt{(-1{)}^2+1}=\sqrt{2}$ → Đúng.
d) Vì giới hạn trái $-3$ khác giới hạn phải $\sqrt{2}$ nên ${\lim }_{x\to -1}f(x)$ không tồn tại → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $x\to -2<-1$ nên dùng nhánh $f(x)=x-2$, giới hạn bằng $-4\ne \sqrt{5}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
${\lim }_{x\to -1^{-}}(x-2)=-3$.
c) (AI giải đề cho tôi)
${\lim }_{x\to -1^{+}}\sqrt{x^2+1}=\sqrt{2}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Giới hạn trái $-3$ khác giới hạn phải $\sqrt{2}$ nên giới hạn tại $x=-1$ không tồn tại.

(AI giải đề cho tôi)
Chi phí trung bình là $\overline{C}(x)=\frac{C(x)}{x}=\frac{2x+55}{x}=2+\frac{55}{x}$. Khi $x\to +\infty$ thì $\frac{55}{x}\to 0$, do đó $\underset{x\to +\infty }{\lim }\overline{C}(x)=2$. Vậy chi phí trung bình càng gần với 2 triệu đồng.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }f(x)=\sqrt{2-2}+3=3$ và $\underset{x\to 2^{-}}{\lim }f(x)=2a-1$. Để $\underset{x\to 2}{\lim }f(x)$ tồn tại thì hai giới hạn một bên phải bằng nhau: $2a-1=3\iff a=2$. Vậy $a=2$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 127: Tính các giới hạn dạng 0/0 bằng phân tích nhân tử.

a) $x^2+x-30=(x-5)(x+6)$; $2x^2-9x-5=(x-5)(2x+1)$. Với $x\to 5$, $x\ne 5$ nên
$$\underset{x\to 5}{\lim }\frac{(x-5)(x+6)}{(x-5)(2x+1)}=\underset{x\to 5}{\lim }\frac{x+6}{2x+1}=\frac{11}{11}=1.$$

b) $2x^2-5x+2=(2x-1)(x-2)$; $4x^2-1=(2x-1)(2x+1)$. Với $x\to \frac{1}{2}$, $x\ne \frac{1}{2}$ nên
$$\underset{x\to 1/2}{\lim }\frac{(2x-1)(x-2)}{(2x-1)(2x+1)}=\underset{x\to 1/2}{\lim }\frac{x-2}{2x+1}=\frac{\frac{1}{2}-2}{1+1}=-\frac{1}{2}.$$

c) $2x^2+3x+1=(2x+1)(x+1)$; $-x^2+4x+5=-(x^2-4x-5)=-(x-5)(x+1)=(5-x)(x+1)$. Với $x\to -1$, $x\ne -1$ nên
$$\underset{x\to -1}{\lim }\frac{(2x+1)(x+1)}{(5-x)(x+1)}=\underset{x\to -1}{\lim }\frac{2x+1}{5-x}=\frac{-2+1}{5+1}=-\frac{1}{6}.$$

(AI giải đề cho tôi)
Câu 129:

a) $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^3-3x+2}{x^4-4x+3}$: cả tử và mẫu triệt tiêu tại $x=1$. Phân tích:
$x^3-3x+2=(x-1{)}^2(x+2)$; $x^4-4x+3=(x-1{)}^2(x^2+2x+3)$.
Vậy giới hạn $=\frac{1+2}{1+2+3}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$.

b) $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{4x^2+x-18}{x^3-8}$: tại $x=2$ cả hai đều bằng 0. Phân tích:
$4x^2+x-18=(x-2)(4x+9)$; $x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4)$.
Vậy giới hạn $=\frac{4\cdot 2+9}{2^2+2\cdot 2+4}=\frac{17}{12}$.

c) $\underset{x\to 3}{\lim }\frac{x^4-x^2-72}{x^2-2x-3}$: tại $x=3$ cả hai đều bằng 0. Phân tích:
$x^4-x^2-72=(x^2-9)(x^2+8)=(x-3)(x+3)(x^2+8)$; $x^2-2x-3=(x-3)(x+1)$.
Vậy giới hạn $=\frac{(3+3)(3^2+8)}{3+1}=\frac{6\cdot 17}{4}=\frac{102}{4}=\frac{51}{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 130 (lời giải do AI cung cấp, trang 27 chỉ in đề):

a) $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{1-\sqrt{x^2+3}}{-x^2+3x-2}$

Khi $x\to 1$: tử số $1-\sqrt{x^2+3}\to 1-\sqrt{4}=-1\ne 0$; mẫu số $-x^2+3x-2=-(x-1)(x-2)\to 0$.

Xét dấu hai phía:
- Với $x\to 1^{-}$: $(x-1)(x-2)>0$ nên mẫu số âm, do đó $\frac{1-\sqrt{x^2+3}}{-x^2+3x-2}\to \frac{-1}{0^{-}}=+\infty$.
- Với $x\to 1^{+}$: $(x-1)(x-2)<0$ nên mẫu số dương, do đó biểu thức $\to \frac{-1}{0^{+}}=-\infty$.

Hai giới hạn một bên khác nhau, nên $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{1-\sqrt{x^2+3}}{-x^2+3x-2}$ không tồn tại.

b) $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{\sqrt{4x+1}-3}{x^2-4}$

Nhân liên hợp:
$$\underset{x\to 2}{\lim }\frac{(4x+1)-9}{(x^2-4)\left(\sqrt{4x+1}+3\right)}=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{4(x-2)}{(x-2)(x+2)\left(\sqrt{4x+1}+3\right)}=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{4}{(x+2)\left(\sqrt{4x+1}+3\right)}=\frac{4}{4\cdot 6}=\frac{1}{6}.$$

c) $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x-\sqrt{x+2}}{x^3-8}$

Nhân liên hợp với $x+\sqrt{x+2}$:
$$\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x^2-(x+2)}{(x^3-8)\left(x+\sqrt{x+2}\right)}=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{(x-2)(x+1)}{(x-2)(x^2+2x+4)\left(x+\sqrt{x+2}\right)}=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x+1}{(x^2+2x+4)\left(x+\sqrt{x+2}\right)}=\frac{3}{12\cdot 4}=\frac{1}{16}.$$

Kết quả: a) không tồn tại (trái $+\infty$, phải $-\infty$); b) $\frac{1}{6}$; c) $\frac{1}{16}$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 4: a) Thay trực tiếp $x=2$: $\frac{2^2+2-2}{2-1}=\frac{4}{1}=4\ne 3$, nên khẳng định a) SAI. b) Với $x\ne 1$: $\frac{x^2+x-2}{x-1}=\frac{(x-1)(x+2)}{x-1}=x+2$, do đó $\underset{x\to 1}{\lim }f(x)=\underset{x\to 1}{\lim }(x+2)=3$, khẳng định b) ĐÚNG. c) $f(1)=2a-1$ phụ thuộc tham số $a$, không cố định bằng $1$, nên khẳng định c) SAI. d) Với $a=2$ thì $f(1)=2\cdot 2-1=3=\underset{x\to 1}{\lim }f(x)$, nên $f$ liên tục tại $x=1$; khẳng định d) ĐÚNG.
a) (AI giải đề cho tôi)
Thay $x=2$: $\frac{4+2-2}{2-1}=4\ne 3$, nên SAI.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với $x\ne 1$, $\frac{x^2+x-2}{x-1}=x+2$, nên $\underset{x\to 1}{\lim }f(x)=3$: ĐÚNG.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f(1)=2a-1$ phụ thuộc $a$, không chắc bằng $1$: SAI.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với $a=2$, $f(1)=3=\underset{x\to 1}{\lim }f(x)$ nên $f$ liên tục tại $x=1$: ĐÚNG.

(AI giải đề cho tôi)
Khi $x\to -3$, tử số $2x+5\to 2(-3)+5=-1<0$, mẫu số $(x+3{)}^2\to 0^{+}$ (luôn dương). Do đó $\underset{x\to -3}{\lim }\frac{2x+5}{(x+3{)}^2}=\frac{-1}{0^{+}}=-\infty$. Vậy đáp án là C.

(AI giải đề cho tôi)
Rút gọn: $f(x)=\frac{(3x-1)(x-1)}{(x-1)(x+1)}=\frac{3x-1}{x+1}$ với $x\ne 1,x\ne -1$. a) ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)=\lim \frac{3x-1}{x+1}=3$ → đúng. b) ${\lim }_{x\to 1}f(x)=\frac{3-1}{1+1}=1$ → đúng. c) ${\lim }_{x\to -2}f(x)=\frac{-6-1}{-2+1}=\frac{-7}{-1}=7$ → đúng. d) SAI: mẫu số bằng 0 tại $x=-1$ với tử bằng 8, nên hàm không xác định và không liên tục tại $x=-1\in (-\infty ;1)$; do đó hàm không liên tục trên khoảng $(-\infty ;1)$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Chia tử và mẫu cho $x^2$: ${\lim }_{x\to -\infty }\frac{3-4/x+1/x^2}{1-1/x^2}=3$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với $x\ne 1$, rút gọn $f(x)=\frac{(3x-1)(x-1)}{(x-1)(x+1)}=\frac{3x-1}{x+1}$, thay $x=1$: $\frac{2}{2}=1$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f(-2)=\frac{3(-2)-1}{-2+1}=\frac{-7}{-1}=7$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Mẫu số $x^2-1=0$ tại $x=\pm 1$. Tại $x=-1$: tử bằng $3(-1{)}^2-4(-1)+1=8\ne 0$, nên $f$ không xác định tại $x=-1$ và ${\lim }_{x\to -1}f(x)$ không tồn tại (không thể khử nhân tử). Vì $-1\in (-\infty ;1)$, hàm số không liên tục trên khoảng $(-\infty ;1)$ → ý d SAI. (Rút gọn $f(x)=\frac{3x-1}{x+1}$ chỉ hợp lệ khi $x\ne 1$ và $x\ne -1$.)

a) Ta có: $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{-3n}{4n^2-2n+1}=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{n^2\left(-\frac{3}{n}\right)}{n^2\left(4-\frac{2}{n}+\frac{1}{n^2}\right)}=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{-\frac{3}{n}}{4-\frac{2}{n}+\frac{1}{n^2}}=0$. : 0,5 điểm
b) $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{4x}{\sqrt{9+x}-3}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{4x\left(\sqrt{9+x}+3\right)}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }\left[4\left(\sqrt{9+x}+3\right)\right]=24$. : 0,5 điểm

a) Ta có: ${\lim }_{n\to +\infty }\frac{n+2}{n^2+n+1}={\lim }_{n\to +\infty }\frac{n^2\left(1+\frac{2}{n}\right)}{n^2\left(1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}\right)}={\lim }_{n\to +\infty }\frac{1+\frac{2}{n}}{1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}}=0$. : 0,5 điểm
b) ${\lim }_{x\to 2}\frac{x-2}{\sqrt{7+x}-3}={\lim }_{x\to 2}\frac{(x-2)\left(\sqrt{7+x}+3\right)}{x-2}={\lim }_{x\to 2}\left(\sqrt{7+x}+3\right)=6$. : 0,5 điểm

(AI giải đề cho tôi)
Với $x>1$: $f(x)=\frac{x^2-3x+2}{x^2-1}=\frac{(x-1)(x-2)}{(x-1)(x+1)}=\frac{x-2}{x+1}$, nên $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f(x)=\frac{-1}{2}$. Mặt khác $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f(x)=-\frac{1}{2}$ và $f(1)=-\frac{1}{2}$.
a) Sai: $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f(x)=-\frac{1}{2}\ne \frac{1}{2}$.
b) Đúng: $g(x)=x^2-3x+1$ là đa thức nên liên tục trên $\mathbb{R}$, do đó liên tục tại $x_0=1$ (và $g(1)=-1$).
c) Sai: $\underset{x\to 1}{\lim }f(x)=-\frac{1}{2}$ còn $\underset{x\to 1}{\lim }g(x)=g(1)=-1\ne \frac{1}{2}$.
d) Đúng: $\underset{x\to 1}{\lim }f(x)=f(1)=-\frac{1}{2}$ nên $f$ liên tục tại $x_0=1$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Rút gọn với $x>1$: $f(x)=\frac{(x-1)(x-2)}{(x-1)(x+1)}=\frac{x-2}{x+1}$, nên $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f(x)=\frac{-1}{2}\ne \frac{1}{2}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$g(x)=x^2-3x+1$ là hàm đa thức, liên tục trên $\mathbb{R}$, nên liên tục tại $x_0=1$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\underset{x\to 1}{\lim }f(x)=-\frac{1}{2}$ (hai giới hạn trái phải đều bằng $-\frac{1}{2}$), còn $\underset{x\to 1}{\lim }g(x)=g(1)=-1\ne \frac{1}{2}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\underset{x\to 1}{\lim }f(x)=-\frac{1}{2}=f(1)$ nên $f$ liên tục tại $x_0=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Phân thức dạng 0/0 khi $x\to -2$. Phân tử: $-2x^2-6x-4=-2(x^2+3x+2)=-2(x+1)(x+2)$; phân mẫu: $5x+10=5(x+2)$. Vậy $\underset{x\to -2}{\lim }\frac{-2(x+1)(x+2)}{5(x+2)}=\underset{x\to -2}{\lim }\frac{-2(x+1)}{5}=\frac{-2(-1)}{5}=\frac{2}{5}$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Phân tích tử số: $3x^2-4x-4=(3x+2)(x-2)$. Với $x\to 2$, $x\ne 2$ nên $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{(3x+2)(x-2)}{4(x-2)}=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{3x+2}{4}=\frac{6+2}{4}=2$. Vậy đáp án A.