Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Góc hai đường (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, ta có $B^{\prime }{C}^{\prime }\parallel BC$ (do $BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }$ là hình vuông). Vậy góc giữa hai đường thẳng $AB$ và $B^{\prime }{C}^{\prime }$ bằng góc giữa $AB$ và $BC$. Vì $ABCD$ là hình vuông nên $AB\perp BC$, do đó góc giữa $AB$ và $B^{\prime }{C}^{\prime }$ bằng $90^{\circ }$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Trong lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$, do tính chất lăng trụ, $A^{\prime }{B}^{\prime }\parallel AB$ nên $B^{\prime }{A}^{\prime }\parallel AB$. Do đó góc giữa hai đường thẳng chéo nhau $BC$ và $B^{\prime }{A}^{\prime }$ bằng góc giữa $BC$ và $AB$, tức là góc giữa $BC$ và $BA$ (cùng đỉnh $B$). Vậy đáp án A, khớp với đáp án mã đề 1002 (câu 6: A).

(AI giải đề cho tôi)
Trong lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$, ta có $A{A}^{\prime }\parallel C{C}^{\prime }$ và $A{A}^{\prime }=C{C}^{\prime }$ nên tứ giác $AC{C}^{\prime }{A}^{\prime }$ là hình bình hành, suy ra $A^{\prime }{C}^{\prime }\parallel AC$. Do đó góc giữa hai đường thẳng $AB$ và $A^{\prime }{C}^{\prime }$ bằng góc giữa hai đường thẳng $AB$ và $AC$, tức là góc $BAC$ trong mặt đáy. Vậy đáp án là A, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1001, câu 6: A).

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, $ABCD$ là hình vuông nên $AD\perp CD$. Vì $A{A}^{\prime }\perp (ABCD)$ nên $A{A}^{\prime }\perp AD$. Do đó $AD$ vuông góc với cả $CD$ và $A{A}^{\prime }$, đồng thời cắt $CD$ tại $D$ và cắt $A{A}^{\prime }$ tại $A$, nên $AD$ là đường vuông góc chung của $CD$ và $A{A}^{\prime }$. Các phương án khác: $BC\parallel CD$ (không cắt), $B{B}^{\prime }\parallel A{A}^{\prime }$ (không cắt), $CD$ trùng với một đường đã cho. Kết quả khớp đáp án nguồn (đề 102, Câu 9: A).

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, ta có $ABCD$ là hình vuông nên $BC\perp AB$. Ngoài ra $C{C}^{\prime }\perp (ABCD)$ nên $C{C}^{\prime }\perp BC$. Như vậy $BC$ vuông góc với cả $AB$ và $C{C}^{\prime }$, đồng thời $BC$ cắt $AB$ tại $B$ và cắt $C{C}^{\prime }$ tại $C$, nên $BC$ là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau $AB$ và $C{C}^{\prime }$. Các phương án khác: $AD$ song song với $BC$ nên cũng vuông góc với cả hai đường nhưng không cắt chúng (không phải đường vuông góc chung); $B{B}^{\prime }$ song song với $C{C}^{\prime }$; $CD$ vuông góc với $C{C}^{\prime }$ nhưng không vuông góc với $AB$ (vì $CD\parallel AB$). Đáp án khớp với đáp án nguồn (Câu 9, mã đề 101: B).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $C{C}^{\prime }\parallel B{B}^{\prime }$ nên góc giữa $A{B}^{\prime }$ và $C{C}^{\prime }$ bằng góc giữa $A{B}^{\prime }$ và $B{B}^{\prime }$. Tam giác $AB{B}^{\prime }$ vuông tại $B$ với $AB=B{B}^{\prime }$ (cạnh hình lập phương) nên vuông cân, do đó $\widehat{A{B}^{\prime }B}=45^{\circ }$. Vậy góc giữa hai đường thẳng $A{B}^{\prime }$ và $C{C}^{\prime }$ bằng $45^{\circ }$, khớp đáp án nguồn (Mã đề 0102, Câu 4: 45).

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, ta có $C{C}^{\prime }\parallel B{B}^{\prime }$. Do đó góc giữa hai đường thẳng $A{B}^{\prime }$ và $C{C}^{\prime }$ bằng góc giữa $A{B}^{\prime }$ và $B{B}^{\prime }$. Xét mặt phẳng $(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$ là hình vuông, đường chéo $A{B}^{\prime }$ tạo với cạnh $B{B}^{\prime }$ một góc bằng $45^{\circ }$ (vì tam giác $AB{B}^{\prime }$ vuông cân tại $B$ có $AB=B{B}^{\prime }$). Vậy góc giữa $A{B}^{\prime }$ và $C{C}^{\prime }$ bằng $45^{\circ }$. Kết quả trùng với đáp án nguồn ở trang 5 (bảng PHẦN III, Mã đề 0101, Câu 3 = 45).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $DA{A}^{\prime }{D}^{\prime }$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{D^{\prime }{A}^{\prime }}=\overrightarrow{DA}$. Do đó góc giữa $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{D^{\prime }{A}^{\prime }}$ bằng góc giữa $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{DA}$. Trong hình vuông $ABCD$, $\widehat{DAC}=45^{\circ }$; vì $\overrightarrow{DA}$ ngược hướng với $\overrightarrow{AD}$ nên góc giữa hai vecto bằng $180^{\circ }-45^{\circ }=135^{\circ }$. Kết quả trùng với đáp án nguồn B.

(AI giải đề cho tôi)
Trong không gian, hai đường thẳng vuông góc là hai đường thẳng cắt nhau và tạo góc $90^{\circ }$ theo định nghĩa SGK; tuy nhiên theo cách hiểu góc giữa hai đường thẳng (góc giữa chúng bằng $90^{\circ }$), hai đường thẳng $a$ và $b$ có thể cắt nhau hoặc chéo nhau (ví dụ: $a$ nằm trong mặt phẳng $(P)$, $b$ vuông góc với $(P)$ nhưng không đi qua giao điểm thì $a$ và $b$ chéo nhau và vuông góc). Do đó đáp án đúng là A, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1102, câu 8: A).

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, ta có $A^{\prime }{B}^{\prime }\parallel AB$ nên $BC\perp A^{\prime }{B}^{\prime }$ (vì $BC\perp AB$ trong đáy hình vuông). Đồng thời $C{C}^{\prime }\perp (ABCD)$ nên $C{C}^{\prime }\perp BC$. Ngoài ra $BC$ cắt $C{C}^{\prime }$ tại $C$. Vậy $BC$ vuông góc với cả hai đường thẳng $A^{\prime }{B}^{\prime }$ và $C{C}^{\prime }$ và cắt đường thẳng $C{C}^{\prime }$, tức $BC$ là đường vuông góc chung của $A^{\prime }{B}^{\prime }$ và $C{C}^{\prime }$. Các phương án khác: $B^{\prime }{C}^{\prime }$ song song với $A^{\prime }{B}^{\prime }$ nên không vuông góc; $B{B}^{\prime }$ song song với $C{C}^{\prime }$; $DC$ song song với $A^{\prime }{B}^{\prime }$ nên không vuông góc với $A^{\prime }{B}^{\prime }$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, ta có $A^{\prime }{B}^{\prime }\parallel AB$ và $C{C}^{\prime }$ là cạnh bên vuông góc với mặt đáy. Xét đoạn thẳng $BC$: vì $ABCD$ là hình vuông nên $BC\perp AB$, suy ra $BC\perp A^{\prime }{B}^{\prime }$; mặt khác $BC$ nằm trong mặt đáy nên $BC\perp C{C}^{\prime }$. Hơn nữa $BC$ cắt $A^{\prime }{B}^{\prime }$ tại $B$ và cắt $C{C}^{\prime }$ tại $C$. Vậy $BC$ là đường vuông góc chung của $A^{\prime }{B}^{\prime }$ và $C{C}^{\prime }$. Các đáp án khác: $B^{\prime }{C}^{\prime }$ song song với $A^{\prime }{B}^{\prime }$; $B{B}^{\prime }$ song song với $C{C}^{\prime }$; $DC$ song song với $AB$ nên song song với $A^{\prime }{B}^{\prime }$ — đều không phải đường vuông góc chung.

(AI giải đề cho tôi)
Trong lăng trụ tam giác $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$, ta có $B^{\prime }{C}^{\prime }\parallel BC$. Do đó góc giữa hai đường thẳng $AC$ và $B^{\prime }{C}^{\prime }$ bằng góc giữa $AC$ và $BC$, tức là góc $ACB$ của tam giác $ABC$. Tam giác $ABC$ vuông tại $B$ và $\widehat{BAC}=60^0$ nên $\widehat{ACB}=90^0-60^0=30^0$. Vậy góc giữa $AC$ và $B^{\prime }{C}^{\prime }$ bằng $30^0$.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, ta có $CD\parallel BA$. Do đó góc giữa $B{A}^{\prime }$ và $CD$ bằng góc giữa $B{A}^{\prime }$ và $BA$, tức là góc $A^{\prime }BA$. Tam giác $AB{A}^{\prime }$ vuông cân tại $A$ (vì $A{A}^{\prime }\perp AB$ và $A{A}^{\prime }=AB$), nên $\widehat{A^{\prime }BA}=45^{\circ }$. Vậy góc giữa hai đường thẳng $B{A}^{\prime }$ và $CD$ bằng $45^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo hình vẽ, hình lập phương $ABCD.EFGH$ có $E,F,G,H$ lần lượt nằm trên các đường thẳng vuông góc với mặt đáy qua $A,B,C,D$, tức $E$ ở trên $A$, $F$ ở trên $B$, $G$ ở trên $C$, $H$ ở trên $D$. Khi đó $FG\parallel BC$ và cùng hướng với $BC$, nên $\overrightarrow{FG}=\overrightarrow{BC}$. Vậy góc giữa $\overrightarrow{FG}$ và $\overrightarrow{BD}$ bằng góc giữa $\overrightarrow{BC}$ và $\overrightarrow{BD}$. Xét tam giác $BCD$ vuông tại $C$ với $BC=CD$ (cạnh hình vuông), nên tam giác vuông cân, suy ra $\widehat{CBD}=45^{\circ }$. Do đó góc giữa hai vecto $\overrightarrow{FG}$ và $\overrightarrow{BD}$ bằng $45^{\circ }$, trùng với đáp án nguồn D.

Vì $SA\perp (ABCD)$ và đường thẳng $BC$ nằm trong mặt phẳng $(ABCD)$ nên $SA\perp BC$. Do đó góc giữa hai đường thẳng $SA$ và $BC$ bằng $90^{\circ }$. Chọn C.

Ta có $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{C{D}^{\prime }})=(\overrightarrow{DC},\overrightarrow{C{D}^{\prime }})=180^{\circ }-(\overrightarrow{CD},\overrightarrow{C{D}^{\prime }})=180^{\circ }-45^{\circ }=135^{\circ }$.

Vì $A^{\prime }D\parallel B^{\prime }C$ nên góc giữa $A^{\prime }B$ và $B^{\prime }C$ bằng góc giữa $A^{\prime }B$ và $A^{\prime }D$. Xét tam giác $A^{\prime }BD$, ta có $A^{\prime }B=BD=A^{\prime }D$ (đều là đường chéo của các mặt hình vuông bằng nhau của hình lập phương), nên tam giác $A^{\prime }BD$ đều, suy ra $\widehat{B{A}^{\prime }D}=60^{\circ }$. Vậy góc giữa $A^{\prime }B$ và $B^{\prime }C$ bằng $60^{\circ }$. Chọn A.

Do $BC\parallel AD$ nên $(BC,SD)=(AD,SD)=\widehat{SDA}$ (vì $△SAD$ vuông tại $A$). Ta có $\tan \widehat{SDA}=\frac{SA}{AD}=\frac{a}{a\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow \widehat{SDA}=30^{\circ }$.

Do $A^{\prime }D\parallel B^{\prime }C$ nên góc giữa $AC$ và $A^{\prime }D$ bằng góc giữa $AC$ và $B^{\prime }C$. Xét tam giác $AC{B}^{\prime }$, các đoạn $AC,C{B}^{\prime },A{B}^{\prime }$ đều là đường chéo của các mặt hình vuông bằng nhau của hình lập phương, nên $AC=C{B}^{\prime }=A{B}^{\prime }$. Do đó tam giác $AC{B}^{\prime }$ đều, suy ra $\widehat{AC{B}^{\prime }}=60^{\circ }$. Vậy góc giữa $AC$ và $A^{\prime }D$ bằng $60^{\circ }$. Chọn B.

Trong tam giác $ADC$, $MN$ là đường trung bình nên $MN\parallel AC$. Lại có $AC\parallel A^{\prime }{C}^{\prime }$ nên $MN\parallel A^{\prime }{C}^{\prime }$. Góc giữa hai đường thẳng song song bằng $0^{\circ }$. Chọn B.