Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Góc lượng giác, radian (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi$ nên góc $\alpha$ thuộc góc phần tư thứ II. Khi đó $\sin \alpha >0$, $\cos \alpha <0$, do đó $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }<0$ và $\cot \alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }<0$. Vậy các khẳng định A, B, C đều đúng, khẳng định sai là D vì $\cos \alpha <0$ chứ không phải $\cos \alpha >0$. Kết quả trùng với đáp án nguồn: D.

(AI giải đề cho tôi)
Đổi $108^{\circ }$ sang radian: $108^{\circ }=108\cdot \frac{\pi }{180}=\frac{3\pi }{5}$ rad. Vậy đáp án A, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\pi$ rad $=180^{\circ }$ nên $1^{\circ }=\frac{\pi }{180}$ rad. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Quy đổi từ độ sang radian: $250^{\circ }=250\cdot \frac{\pi }{180}=\frac{25\pi }{18}$ rad. Vậy đáp án là B.

(AI giải đề cho tôi)
Quy đổi radian sang độ: $\frac{5\pi }{4}=\frac{5\pi }{4}\cdot \frac{180^{\circ }}{\pi }=225^{\circ }$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Với $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi$, góc $\alpha$ thuộc góc phần tư thứ II, nơi sin dương và cos âm: $\sin \alpha >0$, $\cos \alpha <0$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Độ dài cung tròn: $l=R\alpha =8\cdot \frac{2\pi }{9}=\frac{16\pi }{9}$ cm. Vậy chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Trong 1 phút bánh xe quay được góc $450\pi$ (rad). Quãng đường đi được bằng độ dài cung: $s=r\cdot \theta =0,3\cdot 450\pi =135\pi \approx 424,115$ m. Làm tròn đến hàng đơn vị: $424$ m.

Điểm $M(x_0;y_0)$ nằm trên nửa đường tròn đơn vị với $\widehat{xOM}=\alpha$ nên $\cos \alpha =x_0$ , $\sin \alpha =y_0$ .

Chọn A. Với $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi$ (góc phần tư thứ II), ta có $\sin \alpha >0$ và $\cos \alpha <0$.

Tâm $O$ của tuabin ở độ cao 120 m. Độ cao của một điểm trên cánh quạt so với mặt đất là $h=120+y$, với $y=75\sin \theta$ ($\theta$ là góc lượng giác của cánh tương ứng).

* Cánh $OM$: Điểm $M$ ở độ cao 49 m $\Rightarrow y_M=49-120=-71$ m $\Rightarrow \sin \alpha =-\frac{71}{75}$. Vì $-\frac{\pi }{2}<\alpha <0$ nên $\cos \alpha =\sqrt{1-{\sin }^2\alpha }=\frac{2\sqrt{146}}{75}$.

* Cánh $ON$: Góc lượng giác là $\beta =\alpha -\frac{2\pi }{3}$. Ta có

$\sin \beta =\sin \left(\alpha -\frac{2\pi }{3}\right)=-\frac{1}{2}\sin \alpha -\frac{\sqrt{3}}{2}\cos \alpha =\frac{71-2\sqrt{438}}{150}\approx 0,194$. Chiều cao của điểm $N$ là $h_N=120+75\sin \beta =120+\frac{71-2\sqrt{438}}{2}\approx 134,57$ m.

* Cánh $OP$: Góc lượng giác là $\gamma =\alpha +\frac{2\pi }{3}$. Ta có $\sin \gamma =\frac{71+2\sqrt{438}}{150}\approx 0,752$. Chiều cao của điểm $P$ là $h_P=120+75\sin \gamma =120+\frac{71+2\sqrt{438}}{2}\approx 176,43$ m.

Kết luận:

a) Đúng. Vì $\sin \alpha =-\frac{71}{75}<0$.

b) Đúng. Vì chiều cao điểm $N$ là xấp xỉ 134,57 m > 130 m.

c) Sai. Điểm $N$ nằm ở nửa mặt phẳng phía trên trục hoành $Ox$, có tung độ $y_N>0$ nên $\sin \beta >0$.

d) Đúng. Vì chiều cao điểm $P$ là xấp xỉ 176,43 m < 180 m.
a) Đúng. Vì $\sin \alpha =-\frac{71}{75}<0$.
b) Đúng. Vì chiều cao điểm $N$ là xấp xỉ 134,57 m > 130 m.
c) Sai. Điểm $N$ nằm ở nửa mặt phẳng phía trên trục hoành $Ox$, có tung độ $y_N>0$ nên $\sin \beta >0$.
d) Đúng. Vì chiều cao điểm $P$ là xấp xỉ 176,43 m < 180 m.

Đáp số: 129

Gọi $H$ là trung điểm của dây cung $AB$ và đặt $\theta =\widehat{AOB}$.

Tam giác $OAB$ cân tại $O$ với $OA=OB=100$ m, nên $OH\perp AB$ và $OH$ là tia phân giác của góc $\widehat{AOB}$.

Trong tam giác vuông $OHA$, ta có $AH=\frac{AB}{2}=60$ m và $\sin \frac{\theta }{2}=\frac{AH}{OA}=\frac{60}{100}=0,6$.

Sử dụng máy tính ở chế độ radian suy ra $\theta \approx 1,287$ rad.

Quãng đường ngắn nhất đi bộ trên bờ hồ là độ dài cung nhỏ $AB$:

$s=R\cdot \theta \approx 100\cdot 1,287\approx 129$ m.

Chọn B. Mũi tên chỉ chiều quay cùng chiều kim đồng hồ (chiều âm). Từ tia đầu $Ou$, tia quay trọn 1 vòng đầy đủ rồi quay tiếp một góc $360^{\circ }-60^{\circ }=300^{\circ }$ theo chiều âm đến tia cuối $Ov$. Do đó số đo góc lượng giác là $-360^{\circ }-300^{\circ }=-660^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Đổi radian sang độ: $\alpha =-\frac{7\pi }{4}\cdot \frac{180^{\circ }}{\pi }=-\frac{7\cdot 180^{\circ }}{4}=-315^{\circ }$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Góc $\alpha$ với $270^{\circ }<\alpha <360^{\circ }$ thuộc góc phần tư thứ IV. Khi đó $\sin \alpha <0$, $\cos \alpha >0$, do đó $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }<0$ và $\cot \alpha <0$. Vậy mệnh đề đúng là A.

Khi $\pi <\alpha <\frac{3\pi }{2}$, điểm biểu diễn góc $\alpha$ thuộc góc phần tư thứ III nên $\sin \alpha <0$, $\cos \alpha <0$, $\tan \alpha >0$, $\cot \alpha >0$. Chọn D.

$\frac{3\pi }{5}\text{rad}=\frac{3\pi }{5}\cdot \frac{180^{\circ }}{\pi }=108^{\circ }$. Chọn A.

Bánh xe quay 5 vòng được góc quay là: $\alpha =5.2\pi =10\pi (rad)$.

Ta có $R=50cm$ suy ra $l=\alpha .R=10\pi .50=500\pi \approx 1571cm$.

Điểm $M$ thuộc nửa đường tròn đơn vị và $\widehat{xOM}=30^{\circ }$ nên $a=\cos 30^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Với $\alpha \in (90^{\circ };180^{\circ })$ ta có $\sin \alpha >0$ và $\cos \alpha <0$, nên $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }<0$.

Chọn A.