Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: GTLN/GTNN và tối ưu (Toán học Lớp 12)

Ông An muốn xây một bể cá dạng hình hộp chữ nhật không nắp có thể tích $288m^3$. Đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng, giá thuê công nhân xây bể là $500$ nghìn đồng$/m^2$. Nếu ông An biết xác định các kích thước của bể cá một cách hợp lí thì chi phí thuê nhân công sẽ thấp nhất. Hỏi ông An trả chi phí thấp nhất để xây dựng bể cá đó là bao nhiêu? (đơn vị triệu đồng).

Khi ho ép khí quản co lại, ảnh hưởng đến tốc độ không khí đi vào khí quản. Tốc độ của không khí đi vào khí quản khi ho đo được bởi công thức : $V=k(18-r)r^2$ với $0\le r<18$, trong đó $k\ne 0$ là hằng số, $r$ là bán kính khí quản khi ho. Hỏi bán kính khí quản khi ho bằng bao nhiêu thì tốc độ của không khí đi vào khí quản là lớn nhất?

Ông An muốn xây một bể cá dạng hình hộp chữ nhật không nắp có thể tích $288m^3$. Đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng, giá thuê công nhân xây bể là $500$ nghìn đồng$/m^2$. Nếu ông An biết xác định các kích thước của bể cá một cách hợp lí thì chi phí thuê nhân công sẽ thấp nhất. Hỏi ông An trả chi phí thấp nhất để xây dựng bể cá đó là bao nhiêu? (đơn vị triệu đồng).

Một công ty muốn xây một đường ống dẫn từ một điểm $A$ trên bờ biển đến một điểm $B$ trên một hòn đảo. Giá để xây đường ống trên bờ là 30 triệu đồng mỗi km và 50 triệu đồng để xây mỗi km dưới nước. Gọi $C$ là điểm trên bờ biển sao cho $BC$ vuông góc với bờ biển, $BC=6$ km, $AC=9$ km. Gọi $M$ là vị trí trên đoạn $AC$ sao cho khi làm ống dẫn theo đường gấp khúc $AMB$ thì chi phí ít nhất (tham khảo hình vẽ). Hỏi chi phí thấp nhất để hoàn thành việc xây dựng đường ống dẫn là bao nhiêu triệu đồng? (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Một công ty muốn xây một đường ống dẫn từ một điểm $A$ trên bờ biển đến một điểm $B$ trên một hòn đảo. Giá để xây đường ống trên bờ là 30 triệu đồng mỗi km và 50 triệu đồng để xây mỗi km dưới nước. Gọi $C$ là điểm trên bờ biển sao cho $BC$ vuông góc với bờ biển, $BC=6$ km, $AC=9$ km. Gọi $M$ là vị trí trên đoạn $AC$ sao cho khi làm ống dẫn theo đường gấp khúc $AMB$ thì chi phí ít nhất (tham khảo hình vẽ). Hỏi chi phí thấp nhất để hoàn thành việc xây dựng đường ống dẫn là bao nhiêu triệu đồng? (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Một đoàn tàu chuyển động thẳng khởi hành từ một nhà ga. Quãng đường (theo đơn vị mét ($m$)) đi được của đoàn tàu là một hàm số của thời gian $t$ (theo đơn vị giây ($s$)) cho bởi phương trình là $s=-t^3+6t^2$. Tìm thời điểm $t$ mà tại đó vận tốc $v(m/s)$ của đoàn tàu đạt giá trị lớn nhất.

Câu 3 (1,0 điểm). Anh An đang trên chiếc thuyền tại vị trí A cách bờ sông $2km$, anh dự định chèo thuyền vào bờ và tiếp tục chạy bộ theo một đường thẳng để đến một địa điểm B nằm ven bờ sông, B cách vị trí O trên bờ gần với thuyền nhất là $4km$ (hình vẽ). Gọi $P$ là vị trí anh An chèo thuyền vào. Biết rằng anh chèo thuyền với vận tốc $5km/h$ và chạy bộ trên bờ với vận tốc $10km/h$. Tính khoảng thời gian (phút) ngắn nhất để anh An từ vị trí xuất phát đến được điểm B (giả sử vận tốc dòng nước không đáng kể).

Anh Bình đang trên chiếc thuyền tại vị trí A cách bờ sông $2km$, anh dự định chèo thuyền vào bờ và tiếp tục chạy bộ theo một đường thẳng để đến một địa điểm B nằm ven bờ sông, B cách vị trí O trên bờ gần với thuyền nhất là $4km$ (hình vẽ). Gọi $P$ là vị trí anh Bình chèo thuyền vào. Biết rằng anh chèo thuyền với vận tốc $6km/h$ và chạy bộ trên bờ với vận tốc $12km/h$. Tính khoảng thời gian (phút) ngắn nhất để anh Bình từ vị trí xuất phát đến được điểm B (giả sử vận tốc dòng nước không đáng kể).

Một chủ trại nuôi gia cầm muốn rào thành 2 chuồng hình chữ nhật sát nhau và sát một con sông, một chuồng nuôi gà và một chuồng nuôi vịt. Biết rằng đã có sẵn $240m$ hàng rào và cạnh bờ sông thì không phải rào. Hỏi diện tích lớn nhất có thể bao quanh chuồng là bao nhiêu?

Một khách sạn có 60 phòng. Người ta ước lượng được rằng nếu đặt ra mức giá cho một phòng là $x$ (nghìn đồng/ngày) thì mỗi ngày sẽ cho thuê được số phòng là $f(x)=60-\frac{x}{20}$ với $x\in [0;1200]$. Khách sạn cần đưa ra mức giá $x$ là bao nhiêu nghìn đồng để doanh thu hàng ngày lớn nhất?

Người ta bơm xăng vào bình xăng của một xe máy Honda Lead. Biết rằng thể tích $V$ (lít) của lượng xăng trong bình được tính theo thời gian bơm xăng $t$ (phút) cho bởi công thức $V(t)=4\left(3t^2-2t^3\right)+1$ với $0\le t\le 1$. Gọi $V^{\prime }(t)$ là tốc độ tăng thể tích tại thời điểm $t$ với $0\le t\le 1$. Xăng chảy vào bình vào thời điểm ở giây thứ bao nhiêu thì tốc độ tăng thể tích là lớn nhất?

Một vận động viên thể thao hai môn phối hợp luyện tập với một bể bơi hình chữ nhật rộng $400m$, dài $800m$.

[Hình cần kiểm tra lại: p8_f1]

Vận động viên chạy phối hợp với bơi như sau: Xuất phát từ điểm $A$, chạy đến điểm $X$ và bơi từ điểm $X$ đến điểm $C$ (Hình vẽ). Hỏi nên chọn điểm $X$ cách $A$ bằng bao nhiêu mét để vận động viên đến $C$ nhanh nhất (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)? Biết rằng vận tốc chạy là 30 km/h, vận tốc bơi là 6 km/h.

Một công ty sản xuất dụng cụ thể thao nhận được một đơn đặt hàng sản xuất 8000 quả bóng tennis. Công ty này sở hữu một số máy móc, mỗi máy có thể sản xuất 30 quả bóng trong một giờ. Chi phí thiết lập các máy này là 200 nghìn đồng cho mỗi máy. Khi được thiết lập, hoạt động sản xuất sẽ hoàn toàn diễn ra tự động dưới sự giám sát. Số tiền phải trả cho người giám sát là 192 nghìn đồng một giờ. Số máy móc công ty nên sử dụng là bao nhiêu để chi phí hoạt động là thấp nhất?

Bác An có một sợi dây kim loại dài 60 dm và Bác An cắt sợi dây này thành hai đoạn. Đoạn thứ nhất được uốn thành một hình vuông và đoạn thứ hai được uốn thành một hình tròn. Hỏi khi tổng diện tích của hình vuông và hình tròn được tạo ra nhỏ nhất thì chiều dài đoạn dây uốn thành hình vuông bằng bao nhiêu dm (làm tròn đến hàng phần chục)?

Bạn Phúc An tham dự giải đi bộ trực tuyến. Quãng đường bạn Phúc An đi được biểu diễn bằng hàm số $s(t)=a{t}^3+b{t}^2+ct+d$ (với $a\ne 0$) có đồ thị như hình bên. (trong đó $t$ là thời gian tính bằng giờ, $s$ là quãng đường tính bằng km).

Khi đó, vận tốc tối đa của bạn Phúc An đạt được là bao nhiêu?

Một người cần phải chèo thuyền từ vị trí $A$ đến vị trí $C$ trên bờ $BD$, sau đó chạy bộ từ $C$ đến $B$. Biết rằng vận tốc chèo thuyền bằng $6km/h$, vận tốc chạy bộ là $8km/h$, khoảng cách từ vị trí $A$ đến bờ $BD$ bằng $4km$, khoảng cách hai vị trí $B,D$ bằng $10km$. Tính khoảng cách giữa hai vị trí $B,C$ để tổng thời gian người đó chèo thuyền và chạy bộ là nhỏ nhất (Làm tròn đến kết quả hàng phần trăm).

Cho hàm số $y=\frac{x-m}{x+1}$ với $m$ là số thực. Tìm tất cả các giá trị của $m$ để tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên $[0;2]$ bằng 6.

Nhà xe khoán cho hai tài xế An và Toàn mỗi người lần lượt nhận 32 lít và 72 lít xăng trong một tháng. Biết rằng trong một ngày tổng số xăng cả hai người sử dụng là 10 lít. Tổng số ngày ít nhất để hai tài xế sử dụng hết số xăng được khoán là bao nhiêu (biết số lít xăng tiêu thụ trong các ngày là như nhau).

Ông Sơn muốn xây một bể cá chứa nước dạng khối hộp chữ nhật không nắp có thể tích 288 $m^3$ . Đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng, giá thuê công nhân xây bể là 500.000 đồng /$m^2$ . Nếu ông Sơn biết xác định các kích thước một cách hợp lí thì chi phí thuê nhân công sẽ thấp nhất. Hỏi ông Sơn trả chi phí thấp nhất ( tính theo đơn vị triệu đồng) để xây dựng bể cá đó là bao nhiêu ?

Trên mảnh đất hình chữ nhật $ABCD$ có diện tích $25m^2$, người chủ lấy một phần đất để trồng cỏ. Biết phần đất trồng cỏ này có dạng hình chữ nhật với hai đỉnh đối diện là $A$ và $H$, với $H$ thuộc cạnh $BD$. Hỏi số tiền lớn nhất người chủ cần chuẩn bị để trồng cỏ (miền tô đậm) là bao nhiêu với chi phí trồng cỏ là 100.000 đồng/ $m^2$?