Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: GTLN/GTNN và tối ưu (Toán học Lớp 12)

Một cơ sở sản xuất khăn đang bán mỗi chiếc khăn với giá 50.000 đồng một chiếc và mỗi tháng cơ sở bán được trung bình 34.000 chiếc khăn. Cơ sở sản xuất đang có kế hoạch tăng giá bán để có lợi nhuận tốt hơn. Sau khi tham khảo thị trường, người quản lý thấy rằng nếu từ mức giá 50.000 đồng mà cứ tăng giá thêm 1.000 đồng thì mỗi tháng sẽ bán ít hơn 500 chiếc. Biết vốn sản xuất một chiếc khăn không thay đổi là 32.000 đồng, gọi số tiền cần tăng giá mỗi chiếc khăn là $x$ (nghìn đồng). Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

Một tấm nhôm hình vuông cạnh $240\text{ cm}$. Người ta cắt ở bốn góc của tấm nhôm đó bốn hình vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh bằng $x\text{ (cm)}$, rồi gập tấm nhôm lại như hình vẽ dưới đây để được một cái hộp không nắp.

Anh Tí muốn chèo thuyền từ vị trí $A$ đến vị trí $B$ về phía hạ lưu bờ đối diện, càng nhanh càng tốt, trên một bờ sông thẳng rộng $3\text{ km}$ (như hình vẽ). Tí có thể chèo thuyền của mình trực tiếp qua sông để đến vị trí $C$ và sau đó chạy đến vị trí $B$, hay có thể chèo trực tiếp từ vị trí $A$ đến vị trí $B$, hoặc anh ta có thể chèo thuyền đến một vị trí $D$ giữa $C$ và $B$ và sau đó chạy đến $B$. Biết anh ấy có thể chèo thuyền với tốc độ $6\text{ km/h}$, chạy với tốc độ $8\text{ km/h}$ và quãng đường $BC=8\text{ km}$. Biết tốc độ của dòng nước là không đáng kể so với tốc độ chèo thuyền của anh Tí. Khoảng thời gian ngắn nhất để anh Tí đến $B$ là bao nhiêu phút? (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Một doanh nghiệp thủy sản ở Móng Cái chuyên xuất khẩu hải sản sang Trung Quốc. Hai bên đã ký kết hợp đồng: mỗi tháng phía doanh nghiệp Việt Nam sẽ xuất khẩu $x$ tấn hải sản, với số lượng tối đa là $100$ tấn mỗi tháng. Nếu số lượng đặt hàng là $x$ tấn hải sản thì giá bán cho mỗi tấn hải sản là $P(x)=45-0,001x^2$ (triệu đồng). Chi phí để doanh nghiệp chế biến và xuất khẩu hải sản gồm $100$ triệu đồng chi phí cố định, và $30$ triệu đồng chi phí biến đổi cho mỗi tấn hải sản. Hỏi doanh nghiệp có thể đạt được lợi nhuận cao nhất là bao nhiêu triệu đồng mỗi tháng từ hoạt động xuất khẩu này? (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)

Kính viễn vọng Hubble được tàu không gian Discovery đưa vào sử dụng ngày 24/4/1990. Mô hình vận tốc của tàu trong sứ mệnh này, từ lúc rời bệ phóng ($t=0$ giây) cho đến khi được tên lửa đẩy nhanh khỏi bệ tại thời điểm $t=126$ giây, được xác định bởi công thức $v(t)=0,001302t^3-0,09029t^2+23,61t-3,083\text{ (feet/s)}$ (Nguồn: James Stewart, J (2015). Calculus. Cengage Learning 8th edition, p. 282). Tính gia tốc lớn nhất của tàu trong khoảng thời gian này (đơn vị: ${\text{feet/s}}^2$, làm tròn kết quả đến hàng phần chục).

Cho hàm số $f(x)=\sin 2x+x$.

Một nhà hàng bán buffet hải sản. Khi nhà hàng bán với giá 300 ngàn đồng một suất thì mỗi ngày nhà hàng bán được 100 suất. Nhà hàng dự định có đợt giảm giá bán để kích cầu trong dịp cuối năm. Theo khảo sát từ thị trường thì mỗi lần giảm giá 10 ngàn đồng một suất thì nhà hàng bán thêm được 10 suất, hỏi nhà hàng cần bán với giá mới là bao nhiêu ngàn đồng một suất để doanh thu trong một ngày là lớn nhất?

Một showroom ô tô trung bình bán được 45 ô tô loại A mỗi quý với giá 1,299 tỷ đồng một xe. Một cuộc khảo sát thị trường chỉ ra rằng nếu cứ giảm giá bán 200 triệu đồng, số lượng ô tô loại A đó bán ra sẽ tăng thêm khoảng 20 xe mỗi quý. Biết rằng hàm chi phí hàng quý là $C(x)=0,001x^3-0,085x^2+1,437x+0,3$ (tỷ đồng), trong đó $x$ là số ô tô bán ra trong một quý. Nhà sản xuất nên đặt giá bán (đơn vị tỷ đồng) như thế nào để lợi nhuận là lớn nhất (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?

Một công ty sản xuất $x$ chiếc điều hòa trong mỗi tháng. Chi phí sản xuất $x$ chiếc điều hòa được cho bởi hàm chi phí $C(x)=16000+500x-1,6x^2+0,004x^3$ (nghìn đồng). Biết giá bán của mỗi chiếc điều hòa là một hàm số phụ thuộc vào số lượng điều hòa $x$ và được cho bởi công thức $p(x)=1700-7x$ (nghìn đồng). Kết quả khảo sát thị trường cho thấy số điều hòa sản xuất ra đều được tiêu thụ hết. Hỏi mỗi tháng nhà máy nên sản xuất bao nhiêu chiếc điều hòa để lợi nhuận thu được là lớn nhất?

Một doanh nghiệp dự định sản xuất $x$ sản phẩm ($1\le x\le 1100$) thì doanh thu nhận được khi bán hết số sản phẩm đó là $F(x)=x^3-2199x^2+1219000x+2025000$ (đồng), trong khi chi phí sản xuất bình quân cho một sản phẩm là $G(x)=x+9000+\frac{2025000}{x}$ (đồng). Doanh nghiệp cần sản xuất bao nhiêu sản phẩm để lợi nhuận thu được là lớn nhất?

Một cửa hàng có bán loại sản phẩm A. Khi cửa hàng bán sản phẩm A với giá 400 ngàn đồng thì mỗi tuần cửa hàng bán được 200 sản phẩm. Cửa hàng dự định có đợt giảm giá bán để kích cầu trong dịp lễ sắp tới. Theo khảo sát từ thị trường, mỗi lần giảm giá 20 ngàn đồng một sản phẩm thì cửa hàng bán được thêm 20 sản phẩm mỗi tuần. Hỏi cửa hàng cần bán một sản phẩm với giá là bao nhiêu ngàn đồng để doanh thu trong một tuần là lớn nhất?

Bạn An muốn làm một hộp quà dạng hình hộp chữ nhật có đáy là hình vuông. Biết diện tích toàn phần của hộp quà luôn bằng $600{\text{ cm}}^2$. Hỏi độ dài cạnh đáy của hộp quà bằng bao nhiêu xentimét để thể tích hộp quà lớn nhất?

Một sợi dây kim loại dài $60\text{ dm}$ được cắt thành hai đoạn. Đoạn dây thứ nhất uốn thành hình vuông cạnh $a$, đoạn dây thứ hai uốn thành đường tròn bán kính $r$. Để tổng diện tích của hình vuông và hình tròn nhỏ nhất thì tỉ số $\frac{a}{r}$ bằng bao nhiêu?

Một doanh nghiệp dự định sản xuất $200$ máy tính bảng dành cho học sinh. Nếu doanh nghiệp đó bán $x$ máy tính bảng $(1\le x\le 200,x\in \mathbb{N})$ thì giá bán cho mỗi máy tính bảng là $p(x)=4000-10x$ (nghìn đồng), trong đó chi phí để sản xuất mỗi máy tính bảng là $c(x)=x^2-70x+400+\frac{1000}{x}$ (nghìn đồng). Hỏi doanh nghiệp đó sẽ bán bao nhiêu máy tính bảng để lợi nhuận cao nhất?

Một trang trại rau sạch ở Đà Lạt mỗi ngày thu hoạch được 1 tấn rau. Nếu giá bán rau là $30000\text{ đoˆˋng/kg}$ thì 1 tấn rau thu hoạch được bán hết. Nếu giá bán rau cao hơn $30000\text{ đoˆˋng/kg}$ thì không bán hết 1 tấn rau. Cứ bán tăng thêm $1000\text{ đoˆˋng}$ cho 1 kg rau, số rau thừa lại tăng thêm $20\text{ kg}$. Số rau thừa này được một cơ sở chăn nuôi thu mua hết để làm thức ăn chăn nuôi với giá $2000\text{ đoˆˋng/kg}$. Hỏi để mỗi ngày thu được số tiền bán rau lớn nhất thì trang trại đó nên bán rau với giá bao nhiêu nghìn đồng?

Một hộ làm nghề dệt vải lụa tơ tằm mỗi ngày sản xuất được $x$ mét vải lụa ($1\le x\le 19$). Tổng chi phí sản xuất $x$ mét vải lụa cho bởi công thức $C(x)=\frac{x^3}{3}+4x^2+200$ (nghìn đồng). Giá của một mét vải lụa là 240 nghìn đồng và giả sử hộ luôn bán hết số sản phẩm trong ngày. Để đạt lợi nhuận tối đa thì mỗi ngày hộ cần sản xuất bao nhiêu mét vải lụa?

Một cửa hàng bán lẻ bán được 2500 cái tivi mỗi năm. Để bán được số tivi đó, họ phải đặt hàng từ nhà máy sản xuất tivi nhiều lần trong năm, mỗi lần đặt hàng với số lượng tivi như nhau. Mỗi lần lấy hàng từ nhà máy về thì cửa hàng chỉ trưng bày được một nửa số tivi đó, một nửa còn lại phải lưu vào kho; chi phí gửi trong kho là 10 USD cho một cái tivi và chỉ tính cho một lần nhập hàng trong năm. Chi phí cố định cho mỗi lần đặt hàng là 20 USD, ngoài ra cửa hàng phải trả thêm 9 USD cho mỗi tivi. Hỏi mỗi lần đặt hàng trong năm thì cửa hàng cần đặt bao nhiêu tivi để chi phí mà cửa hàng phải trả là nhỏ nhất?

Một người cần xây một nhà kho có mặt tiền mở và sàn hình vuông ($0<x<50,x<y$) và có thể tích là $10000{\text{ m}}^3$. Biết chi phí thi công sàn là 500 ngàn đồng/m², chi phí thi công vách là 800 ngàn đồng/m², chi phí thi công phần mái là 1 triệu đồng/m². Biết tổng chi phí thi công nhà kho là thấp nhất, khi đó diện tích sàn nhà kho bằng bao nhiêu mét vuông?

Một công ty nước ngoài đang cần thuê nhân viên để bán các hợp đồng bảo hiểm cho khách hàng. Công ty nhận thấy nếu thuê $x$ nhân viên với chi phí là $750\text{ USD/tuaˆˋn}$ cho mỗi nhân viên thì công ty sẽ bán được $q(x)=x^3-12x^2+60x$ hợp đồng bảo hiểm. Do hạn chế về không gian, công ty không thể thuê quá 7 nhân viên. Biết công ty nhận được $50\text{ USD}$ cho mỗi hợp đồng bán ra, chi phí cố định mỗi tuần là $2500\text{ USD}$.

Một hình chữ nhật $ABCD$ được vẽ bên trong parabol $(P)$ sao cho $A,B$ thuộc $(P)$, $C,D$ thuộc trục $Ox$ như hình vẽ (đơn vị trên trục $Ox,Oy$ là mét). Hình chữ nhật $ABCD$ có diện tích lớn nhất là bao nhiêu mét vuông? (Kết quả làm tròn đến hàng phần mười).