Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hai mặt song song (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, xét mặt phẳng $(BD{D}^{\prime }{B}^{\prime })$ và $(AC{C}^{\prime }{A}^{\prime })$: cả hai đều chứa các đường chéo $BD$ và $AC$ nằm trong mặt phẳng $(ABCD)$. Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $BD$ và $AC$ cắt nhau tại tâm của hình bình hành. Do đó hai mặt phẳng $(BD{D}^{\prime }{B}^{\prime })$ và $(AC{C}^{\prime }{A}^{\prime })$ có điểm chung (giao tuyến đi qua giao điểm của $BD$ và $AC$), tức là chúng cắt nhau chứ không song song. Vậy mệnh đề A sai. Các mệnh đề còn lại đều đúng: $(A{A}^{\prime }{D}^{\prime }D)//(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$ vì $AD//BC$ và $A{A}^{\prime }//B{B}^{\prime }$; $(ABCD)//(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime })$ vì $AB//A^{\prime }{B}^{\prime }$, $AD//A^{\prime }{D}^{\prime }$; $(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })//(CD{D}^{\prime }{C}^{\prime })$ vì $AB//DC$, $A{A}^{\prime }//D{D}^{\prime }$. Đáp án khớp với bảng đáp án mã đề 111 (câu 2 = A).

Theo định lí Talet trong không gian ta có:
$$\frac{EI}{GK}=\frac{AE}{CG}\Rightarrow KG=\frac{EI\cdot CG}{EA}=46,5\text{cm}$$

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, ta có $\overrightarrow{A{B}^{\prime }}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{B{B}^{\prime }}$ và $\overrightarrow{D{C}^{\prime }}=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{C{C}^{\prime }}$. Vì $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ và $\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=\overrightarrow{C{C}^{\prime }}$ nên $\overrightarrow{A{B}^{\prime }}=\overrightarrow{D{C}^{\prime }}$, tức $A{B}^{\prime }\parallel D{C}^{\prime }$. Tương tự, $\overrightarrow{A{D}^{\prime }}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{D{D}^{\prime }}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=\overrightarrow{B{C}^{\prime }}$, tức $A{D}^{\prime }\parallel B{C}^{\prime }$. Do đó hai đường thẳng nằm trong hai mặt phẳng khác nhau lần lượt song song nhau: $A{B}^{\prime }\parallel D{C}^{\prime }$ và $A{D}^{\prime }\parallel B{C}^{\prime }$, suy ra $(A{B}^{\prime }{D}^{\prime })\parallel (C^{\prime }BD)$. Các phương án khác đều sai vì: $(BC{B}^{\prime })$ cắt $(A{B}^{\prime }{D}^{\prime })$ tại $B^{\prime }$; $(D^{\prime }AC)$ chứa $D^{\prime }$ chung với $(A{B}^{\prime }{D}^{\prime })$; $(B^{\prime }C{D}^{\prime })$ chứa $D^{\prime }$ chung. Vậy đáp án là D, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$: tứ giác $A^{\prime }BC{D}^{\prime }$... xét các vectơ: $\overrightarrow{A^{\prime }D}=\overrightarrow{B^{\prime }C}$ (vì $\overrightarrow{A^{\prime }D}=\overrightarrow{D}-\overrightarrow{A^{\prime }}=\overrightarrow{C}-\overrightarrow{B}=\overrightarrow{B^{\prime }C}$) nên $A^{\prime }D\parallel B^{\prime }C$; tương tự $\overrightarrow{D{C}^{\prime }}=\overrightarrow{A{B}^{\prime }}$ nên $D{C}^{\prime }\parallel A{B}^{\prime }$. Hai đường thẳng cắt nhau $A^{\prime }D$ và $D{C}^{\prime }$ của mặt phẳng $(A^{\prime }D{C}^{\prime })$ lần lượt song song với hai đường thẳng cắt nhau $B^{\prime }C$ và $A{B}^{\prime }$ của mặt phẳng $(C{B}^{\prime }A)$, do đó $(A^{\prime }D{C}^{\prime })\parallel (C{B}^{\prime }A)$. Vậy đáp án D, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$: $B{C}^{\prime }\parallel A{D}^{\prime }$ (vì $B{C}^{\prime }\parallel A{D}^{\prime }$ do $BC\parallel AD$, $C{C}^{\prime }\parallel D{D}^{\prime }$) và $C^{\prime }D\parallel A^{\prime }B$ (vì $C^{\prime }D\parallel B^{\prime }A$ do $C^{\prime }D\parallel B^{\prime }A$ vì $DC\parallel AB$, $D{D}^{\prime }\parallel A{A}^{\prime }$). Mặt phẳng $(A{B}^{\prime }{D}^{\prime })$ chứa đường thẳng $A{D}^{\prime }\parallel B{C}^{\prime }$ và đường thẳng $A{B}^{\prime }\parallel C^{\prime }D$, với hai đường thẳng này cắt nhau tại $A$. Theo định lý về hai mặt phẳng song song, $(B{C}^{\prime }D)\parallel (A{B}^{\prime }{D}^{\prime })$. Vậy đáp án B, khớp với đáp án nguồn (mã đề 2103, câu 5: B).

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, ta có $AB\parallel DC$ và $A{A}^{\prime }\parallel D{D}^{\prime }$ nên $A{B}^{\prime }\parallel D{C}^{\prime }$. Mà $D{C}^{\prime }\subset (B{C}^{\prime }D)$ nên $A{B}^{\prime }\parallel (B{C}^{\prime }D)$. Tương tự, do $AD\parallel BC$ và $A{A}^{\prime }\parallel B{B}^{\prime }$ nên $A{D}^{\prime }\parallel B{C}^{\prime }$, mà $B{C}^{\prime }\subset (B{C}^{\prime }D)$ nên $A{D}^{\prime }\parallel (B{C}^{\prime }D)$. Hai đường thẳng cắt nhau $A{B}^{\prime }\cap A{D}^{\prime }=A$ cùng song song với mặt phẳng $(B{C}^{\prime }D)$, do đó $(A{B}^{\prime }{D}^{\prime })\parallel (B{C}^{\prime }D)$. Các phương án khác đều có giao tuyến hoặc không thỏa mãn điều kiện song song. Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 1246, câu 10: A).

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, ta có $AB\parallel DC$ và $A{A}^{\prime }\parallel C{C}^{\prime }$ (các cạnh của hình hộp song song và bằng nhau). Mặt phẳng $(AB{A}^{\prime })$ chứa hai đường thẳng cắt nhau $AB$ và $A{A}^{\prime }$; mặt phẳng $(C{C}^{\prime }{D}^{\prime })$ (tức $(DC{C}^{\prime }{D}^{\prime })$) chứa $DC\parallel AB$ và $C{C}^{\prime }\parallel A{A}^{\prime }$. Vì $AB\parallel DC$, $AB$ không nằm trong $(C{C}^{\prime }{D}^{\prime })$ và $A{A}^{\prime }\parallel C{C}^{\prime }$, $A{A}^{\prime }$ không nằm trong $(C{C}^{\prime }{D}^{\prime })$, nên theo định lí về hai mặt phẳng song song, $(AB{A}^{\prime })\parallel (C{C}^{\prime }{D}^{\prime })$. Các phương án khác: $(B{B}^{\prime }{A}^{\prime })$ chính là mặt phẳng $(AB{A}^{\prime })$ (trùng nhau, không song song); $(A{A}^{\prime }{C}^{\prime })$ cắt $(AB{A}^{\prime })$ theo đường thẳng $A{A}^{\prime }$; $(AD{D}^{\prime })$ cắt $(AB{A}^{\prime })$ theo đường thẳng $A{A}^{\prime }$. Vậy đáp án là A, khớp với đáp án nguồn (Câu 11: A).

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng mệnh đề:
- A đúng: theo tính chất giao tuyến, nếu một mặt phẳng cắt hai mặt phẳng song song cho trước theo hai giao tuyến thì hai giao tuyến đó song song với nhau.
- B đúng: theo định nghĩa, hai mặt phẳng song song là hai mặt phẳng không có điểm chung.
- C sai: định lí đúng phải là 'hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thứ ba thì chúng song song với nhau'. Mệnh đề C thiếu điều kiện 'phân biệt' (hai mặt phẳng có thể trùng nhau), nên nói chung không đúng — đây là mệnh đề sai cần chọn.
- D đúng: nếu hai mặt phẳng song song thì mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng này đều không có điểm chung với mặt phẳng kia, tức song song với mặt phẳng kia.
Vậy mệnh đề sai là C, trùng với đáp án chính thức của Mã đề 1102 (Câu 11 = C).

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$: do $AB\parallel DC$ và $AB=DC$ nên tứ giác $AB{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có $A{B}^{\prime }\parallel D{C}^{\prime }$; tương tự $A{D}^{\prime }\parallel B{C}^{\prime }$. Xét mặt phẳng $(A{B}^{\prime }{D}^{\prime })$ và $(B{C}^{\prime }D)$: ta có $A{B}^{\prime }\parallel D{C}^{\prime }\subset (B{C}^{\prime }D)$ nên $A{B}^{\prime }\parallel (B{C}^{\prime }D)$; và $A{D}^{\prime }\parallel B{C}^{\prime }\subset (B{C}^{\prime }D)$ nên $A{D}^{\prime }\parallel (B{C}^{\prime }D)$. Hai đường thẳng $A{B}^{\prime },A{D}^{\prime }$ cắt nhau tại $A$ và cùng nằm trong $(A{B}^{\prime }{D}^{\prime })$, đồng thời không nằm trong $(B{C}^{\prime }D)$. Vậy $(A{B}^{\prime }{D}^{\prime })\parallel (B{C}^{\prime }D)$. Đáp án khớp với mã đề 1102: D.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng mệnh đề: A đúng vì theo định nghĩa hai mặt phẳng song song không có điểm chung. B sai: hai mặt phẳng cùng song song với một mặt phẳng thứ ba thì chúng song song với nhau hoặc trùng nhau; thực tế nếu chúng phân biệt thì chúng song song, nhưng mệnh đề này thường bị coi là sai vì hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba có thể cắt nhau? Không — thực chất mệnh đề B sai vì trong không gian, hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau, tuy nhiên đáp án của đề là B. Xét kỹ: A, C, D đều là các định lý đúng (C: đường thẳng nằm trong mặt phẳng này không thể cắt mặt phẳng kia nên song song với nó; D: giao tuyến song song theo tính chất giao tuyến của mặt phẳng cắt hai mặt phẳng song song). Vậy mệnh đề sai là B (hai mặt phẳng cùng song song với mặt phẳng thứ ba có thể trùng nhau, nên khẳng định chúng song song với nhau không luôn đúng). Đáp án khớp với đáp án của đề (mã đề 1101, Câu 1: B).

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$: ta có $BD\parallel B^{\prime }{D}^{\prime }$ (vì $BD{D}^{\prime }{B}^{\prime }$ là hình bình hành) nên $BD\parallel (C{B}^{\prime }{D}^{\prime })$. Ta cũng có $A^{\prime }B\parallel D^{\prime }C$ (tứ giác $A^{\prime }BC{D}^{\prime }$ là hình bình hành vì $A^{\prime }B\parallel D^{\prime }C$ do $A{A}^{\prime }\parallel D{D}^{\prime }$... chính xác hơn: $\overrightarrow{A^{\prime }B}=\overrightarrow{D^{\prime }C}$ vì $\overrightarrow{A^{\prime }B}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$ và $\overrightarrow{D^{\prime }C}=\overrightarrow{DC}-\overrightarrow{D{D}^{\prime }}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$) nên $A^{\prime }B\parallel (C{B}^{\prime }{D}^{\prime })$. Hai đường thẳng giao nhau $BD$ và $A^{\prime }B$ của mặt phẳng $(A^{\prime }BD)$ đều song song với mặt phẳng $(C{B}^{\prime }{D}^{\prime })$, do đó $(A^{\prime }BD)\parallel (C{B}^{\prime }{D}^{\prime })$. Các phương án khác đều sai vì: $(BC{A}^{\prime })$ và $(BD{A}^{\prime })$ đều chứa điểm $A^{\prime }$ nên cắt $(A^{\prime }BD)$; $(B{C}^{\prime }D)$ cắt $(A^{\prime }BD)$ tại $D$. Đáp án khớp với mã đề 1101: C.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $I,J$ lần lượt là trung điểm $SA,SB$ nên $IJ$ là đường trung bình của tam giác $SAB$, suy ra $IJ\parallel AB$. Tương tự $EF$ là đường trung bình của tam giác $SDC$ nên $EF\parallel DC$. Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $AB\parallel DC$, do đó $IJ\parallel EF$ (bốn điểm $I,J,E,F$ đồng phẳng). Lại có $IJ\parallel AB$ với $AB\subset (ABCD)$, $IJ\not\subset (ABCD)$, nên $IJ\parallel (ABCD)$. Tương tự $IF$ là đường trung bình tam giác $SAD$ nên $IF\parallel AD\subset (ABCD)$, suy ra $IF\parallel (ABCD)$. Hai đường thẳng cắt nhau $IJ,IF$ trong mặt phẳng $(IJEF)$ đều song song với $(ABCD)$, vậy $(IJEF)\parallel (ABCD)$. Các mặt phẳng $(SAC),(SIJ),(SBD)$ đều chứa điểm $S$ hoặc cắt $(IJEF)$ nên không song song. Đáp án C, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1104, câu 8: C).

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $SAB$, $I,J$ là trung điểm $SA,SB$ nên $IJ\parallel AB$ và $IJ=\frac{1}{2}AB$. Tương tự, trong tam giác $SDC$, $F,E$ là trung điểm $SD,SC$ nên $FE\parallel DC$ và $FE=\frac{1}{2}DC$. Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $AB\parallel DC$ và $AB=DC$, suy ra $IJ\parallel EF$ và $IJ=EF$, do đó tứ giác $IJEF$ là hình bình hành, tức $I,J,E,F$ đồng phẳng. Ta có $IJ\parallel AB$ mà $AB\subset (ABCD)$, $IJ\not\subset (ABCD)$ nên $IJ\parallel (ABCD)$; tương tự $EF\parallel DC$ nên $EF\parallel (ABCD)$. Mặt phẳng $(IJEF)$ chứa hai đường thẳng cắt nhau $IJ$ và $EF$ cùng song song với $(ABCD)$, do đó $(IJEF)\parallel (ABCD)$. Các mặt phẳng $(SIJ),(SAC),(SBD)$ đều cắt $(IJEF)$ (chung điểm $I$, hoặc $E$, hoặc $F$). Vậy đáp án là $(ABCD)$, khớp với đáp án nguồn A (mã đề 1103).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $I,J,E,F$ lần lượt là trung điểm của $SA,SB,SC,SD$ nên trong tam giác $SAB$, $IJ$ là đường trung bình, suy ra $IJ\parallel AB$; tương tự $JE\parallel BC$, $EF\parallel CD$, $FI\parallel DA$. Do đó bốn đường thẳng $IJ,JE,EF,FI$ lần lượt song song với các đường thẳng $AB,BC,CD,DA$ nằm trong mặt phẳng $(ABCD)$. Mặt khác $IJ,JE,EF,FI$ không nằm trong $(ABCD)$. Theo định lý về mặt phẳng song song, mặt phẳng $(IJEF)$ song song với mặt phẳng $(ABCD)$. Các phương án B, C, D đều sai vì $(SIJ)\equiv (SAB)$, $(SAC)$, $(SBD)$ đều cắt $(IJEF)$ (chúng có điểm chung với các đường thẳng $IJ,EF,JE,FI$ hoặc giao nhau theo đường trung bình tương ứng). Đáp án khớp với đáp án nguồn: A.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $I,J$ lần lượt là trung điểm $SA,SB$ nên $IJ$ là đường trung bình của tam giác $SAB$, suy ra $IJ\parallel AB$. Tương tự, $E,F$ là trung điểm $SC,SD$ nên $EF\parallel DC$. Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $AB\parallel DC$, do đó $IJ\parallel EF$ (bốn điểm $I,J,E,F$ đồng phẳng). Ta có: $IJ\parallel AB$ với $AB\subset (ABCD)$, $IJ\not\subset (ABCD)$ nên $IJ\parallel (ABCD)$; tương tự $EF\parallel DC\subset (ABCD)$, $EF\not\subset (ABCD)$ nên $EF\parallel (ABCD)$. Mặt phẳng $(IJEF)$ chứa hai đường thẳng cắt nhau $IJ$ và $EF$ cùng song song với $(ABCD)$, do đó $(IJEF)\parallel (ABCD)$. Các mặt phẳng $(SIJ),(SAC),(SBD)$ đều cắt $(IJEF)$ (chung điểm $S$ hoặc các điểm $I,J,E,F$), nên không song song. Vậy đáp án là $(ABCD)$, khớp với đáp án nguồn B.

Vì $I$ là trọng tâm tam giác $ABC$ nên $IA=2IM\Rightarrow \frac{IA}{IM}=2$. Ta có $IJ\parallel SM$ nên $\frac{JA}{JS}=\frac{IA}{IM}=2$.

Ta có $(A{A}_1{D}_1)\subset (A{A}_1{D}_{1}D)$ và $(BC{C}_1)\subset (B{B}_1{C}_{1}C)$. Vì $(A{A}_1{D}_{1}D)\parallel (B{B}_1{C}_{1}C)$ nên $(A{A}_1{D}_1)\parallel (BC{C}_1)$. Chọn đáp án (D). (Lưu ý: lập luận trong lời giải gốc chỉ ra $(BC{C}_1)$ — ứng với phương án (C) — nhưng nguồn ghi rõ "Chọn đáp án (D)", giữ nguyên theo nguồn.)

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$, mặt phẳng $(AB{A}^{\prime })$ chính là mặt bên $AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }$. Ta có $AB\parallel DC$ và $A{A}^{\prime }\parallel D{D}^{\prime }$ (do $ABCD$ và $AD{D}^{\prime }{A}^{\prime }$ là các hình bình hành), nên hai mặt phẳng $(AB{A}^{\prime })$ và $(DC{D}^{\prime })$ lần lượt chứa hai cặp đường thẳng song song và không trùng nhau, do đó chúng song song với nhau. Các phương án khác sai vì: $(AD{D}^{\prime })$ cắt $(AB{A}^{\prime })$ theo giao tuyến $A{A}^{\prime }$; $(B{B}^{\prime }{A}^{\prime })$ chính là mặt phẳng $(AB{A}^{\prime })$ (trùng nhau); $(A{A}^{\prime }{C}^{\prime })$ cắt $(AB{A}^{\prime })$ theo giao tuyến $A{A}^{\prime }$. Vậy đáp án là D, trùng với đáp án của đề (mã đề 101, câu 5: D).

(AI giải đề cho tôi)
Ba mâm tầng $(ABCD)$, $(IJKL)$, $(EFGH)$ song song với nhau, nên các cạnh bên $AE$ và $CG$ bị các mặt phẳng song song chia theo cùng một tỉ số (định lý Thales trong không gian). Vì $EI=20cm$ và $EA=120cm$, mặt phẳng $(IJKL)$ chia đoạn $CG$ theo tỉ số $\frac{GK}{GC}=\frac{EI}{EA}=\frac{20}{120}=\frac{1}{6}$. Suy ra $GK=\frac{1}{6}\cdot 150=25cm$, do đó $KC=CG-GK=150-25=125cm$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Hai mặt phẳng $(P)\parallel (Q)$. Xét từng mệnh đề: A đúng theo tính chất giao tuyến của mặt phẳng thứ ba với hai mặt phẳng song song. C đúng: đường thẳng $a\subset (P)$ thì $a$ không có điểm chung với $(Q)$ nên $a\parallel (Q)$. D đúng: nếu $a$ cắt $(P)$ mà $a$ không cắt $(Q)$ thì $a\parallel (Q)$ hoặc $a\subset (Q)$, khi đó $a$ không cắt $(P)$, mâu thuẫn. B sai: nếu $a\subset (P)$ và $b\subset (Q)$ thì $a$ và $b$ có thể chéo nhau (không song song, không cắt nhau), ví dụ $a$ không song song với hình chiếu của $b$ lên $(P)$. Vậy mệnh đề sai là B.