Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hai mặt song song (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp, ta xét từng mệnh đề. (A) Đúng: $BD\parallel B^{\prime }{D}^{\prime }$ và $B{A}^{\prime }\parallel C{D}^{\prime }$ (vì $\overrightarrow{B{A}^{\prime }}=\overrightarrow{C{D}^{\prime }}$), nên $(BD{A}^{\prime })\parallel (B^{\prime }{D}^{\prime }C)$. (B) Sai: vì $A^{\prime }{B}^{\prime }\parallel AB$ nên $B^{\prime }$ nằm trong mặt phẳng $(AB{A}^{\prime })$ (tức mặt phẳng $(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$). Mặt khác $B^{\prime }\in (B^{\prime }{D}^{\prime }C)$, do đó hai mặt phẳng $(AB{A}^{\prime })$ và $(B^{\prime }{D}^{\prime }C)$ cắt nhau tại $B^{\prime }$, không song song. (C) Đúng: hai mặt bên đối diện của hình hộp song song. (D) Đúng: hai mặt đáy đối diện song song. Vậy mệnh đề sai là B, trùng với đáp án được gạch chân trong đề.

(AI giải đề cho tôi)
Theo tiên đề về giao của hai mặt phẳng: nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất chứa tất cả các điểm chung còn lại. Do đó D đúng. A sai vì đường thẳng chung không phải là duy nhất (mọi đường thẳng nằm trong giao tuyến đều chung, và giao tuyến chứa vô số đường thẳng); thực chất hai mặt phẳng có một điểm chung thì giao của chúng là một đường thẳng, không phải một điểm. B sai vì ba điểm chung của hai mặt phẳng có thể không thẳng hàng (khi đó hai mặt phẳng trùng nhau). C sai vì hai mặt phẳng phân biệt có điểm chung thì giao là cả một đường thẳng, không thể chỉ có duy nhất một điểm chung. Đáp án khớp với key nguồn: D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $M,N,P,Q$ lần lượt là trung điểm $SA,SB,SC,SD$ nên $MN\parallel AB\parallel CD$, $NP\parallel BC\parallel AD$, $MP\parallel AC$, $NQ\parallel BD$ với độ dài bằng nửa. Do đó $MN\parallel CD$ (D đúng), $MN\parallel PQ$ và $NP\parallel QM$ nên $MNPQ$ là hình bình hành (B đúng), và $MP=\frac{1}{2}AC$, $NQ=\frac{1}{2}BD$ nên $MP.NQ=\frac{1}{4}AC.BD$ (A đúng). Mặt phẳng $(MNPQ)$ song song với $(ABCD)$ (vì hai đường thẳng cắt nhau $MN,NP$ trong $(MNPQ)$ lần lượt song song với $AB,BC$ trong $(ABCD)$), nên hai mặt phẳng không có điểm chung. Vậy mệnh đề C sai.

Các cặp mặt đối diện của hình hộp song song với nhau nên A, B, C đúng. Gọi $O$, $O^{\prime }$ lần lượt là tâm của $ABCD$ và $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Hai mặt phẳng $(BD{D}^{\prime }{B}^{\prime })$ và $(AC{C}^{\prime }{A}^{\prime })$ cùng chứa $O$ và $O^{\prime }$ nên chúng cắt nhau theo giao tuyến $O{O}^{\prime }$. Vậy mệnh đề D sai. Chọn D.

Gọi $M$ là trung điểm cạnh $CD$.
Do $G_1,G_2$ lần lượt là trọng tâm các tam giác $BCD$ và $ACD$, ta có:
$\frac{M{G}_1}{MB}=\frac{M{G}_2}{MA}=\frac{1}{3}$.
Theo định lí Ta-lét trong tam giác $MAB$:
$G_1{G}_2\parallel AB$ và $\frac{G_1{G}_2}{AB}=\frac{1}{3}⟹G_1{G}_2=\frac{1}{3}AB$.
Do đó khẳng định $G_1{G}_2=\frac{2}{3}AB$ là sai. Chọn A.

Theo tính chất của hai mặt phẳng song song: nếu hai mặt phẳng song song với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng này đều song song với mặt phẳng kia. Chọn D.

Trong tam giác $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$, $N,P$ lần lượt là trung điểm của $A^{\prime }{C}^{\prime },B^{\prime }{C}^{\prime }$, do đó $NP$ là đường trung bình của tam giác $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$, suy ra $NP\parallel A^{\prime }{B}^{\prime }$. Mà $A^{\prime }{B}^{\prime }\subset (AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$, nên $NP\parallel (AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$.
Gọi $I$ là trung điểm $B^{\prime }{C}^{\prime }$. Khi đó $M,P$ là trung điểm của $BC,B^{\prime }{C}^{\prime }$ nên $MP\parallel B{B}^{\prime }$. Mà $B{B}^{\prime }\subset (AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$, nên $MP\parallel (AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$.
Do đó mặt phẳng $(MNP)$ chứa hai đường thẳng cắt nhau $NP$ và $MP$ cùng song song với $(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$, nên $(MNP)\parallel (AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$. Chọn A.

Vì $(P)\parallel (Q)$ nên mọi đường thẳng nằm trong $(P)$ đều không có điểm chung với $(Q)$, do đó đều song song với $(Q)$. Chọn D.

Chọn B.

Trong hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$: $ABCD$ là hình bình hành nên $AB\parallel CD$ (i đúng); $B{B}^{\prime }\parallel C{C}^{\prime }\subset (C{C}^{\prime }{D}^{\prime }D)$ và $B{B}^{\prime }\not\subset (C{C}^{\prime }{D}^{\prime }D)$ nên $B{B}^{\prime }\parallel (C{C}^{\prime }{D}^{\prime }D)$ (ii đúng); hai mặt đáy $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime })$ và $(ABCD)$ song song nên $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })\parallel (ABD)$ (iii đúng). Vậy cả $3$ mệnh đề đều đúng.

Ta có $OM\parallel SC$ (đường trung bình của $△SAC$) và $MN\parallel AD\parallel BC$ (đường trung bình của $△SAD$), nên $(MNO)\parallel (SBC)$. Đáp án chính thức của đề (Mã đề 0101, trang 5): A.

Gọi $K$ là trung điểm cạnh $CD$. Khi đó trong tam giác $BCD$, trọng tâm $M$ nằm trên đường trung tuyến $BK$ và thỏa mãn $\frac{KM}{KB}=\frac{1}{3}$.

Xét mặt phẳng $(ABK)$ chứa đường thẳng $AB$ và điểm $M$. Trong $(ABK)$, qua $M$ kẻ đường thẳng song song với $AB$ cắt cạnh $AK$ tại điểm $N$.

Vì $AK\subset (ACD)$ nên giao điểm của đường thẳng này với mặt phẳng $(ACD)$ chính là điểm $N$.

Áp dụng định lý Thales trong tam giác $ABK$ với $MN\parallel AB$:
$\frac{MN}{AB}=\frac{KM}{KB}=\frac{1}{3}$.

Mặt phẳng $(AB{A}^{\prime })$ chính là mặt bên $(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$, chứa điểm $B^{\prime }$. Mặt phẳng $(C{B}^{\prime }{D}^{\prime })$ cũng chứa điểm $B^{\prime }$, nên hai mặt phẳng $(AB{A}^{\prime })$ và $(C{B}^{\prime }{D}^{\prime })$ có điểm chung $B^{\prime }$ (cắt nhau), không song song với nhau.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 101, trang 9), Câu 11 (Phần I) chọn đáp án B.

Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AB,AD$ và $G_1,G_2$ là trọng tâm $△SAB,△SAD$. Khi đó $\frac{S{G}_1}{SM}=\frac{S{G}_2}{SN}=\frac{2}{3}⟹G_1{G}_2//MN//BD$.

Vì $MN$ là đường trung bình của $△SAD$ nên $MN\parallel AD\parallel BC$, suy ra $MN\parallel (SBC)$. Lại có $MO$ là đường trung bình của $△SAC$ nên $MO\parallel SC\subset (SBC)$. Do đó $(MNO)\parallel (SBC)$. Chọn B.

Mặt phẳng $(AB{A}^{\prime })\equiv (AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$ cắt mặt phẳng $(B^{\prime }{D}^{\prime }C)$ nên không thể song song với nhau. Vậy D sai.