Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hàm liên tục (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Xét $f(x)=\left(m^2+m+1\right)x^4+2x-2$ với $m$ bất kỳ. Ta có $m^2+m+1={\left(m+\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{3}{4}>0$ với mọi $m$, nên $f$ là hàm đa thức (liên tục trên $\mathbb{R}$). Tính: $f(0)=-2<0$ và $f(1)=m^2+m+1+2-2=m^2+m+1>0$. Vì $f(0)\cdot f(1)<0$ và $f$ liên tục trên $[0;1]$, theo định lý giá trị trung gian (định lý Bolzano), tồn tại $x_0\in (0;1)$ sao cho $f(x_0)=0$. Vậy phương trình $\left(m^2+m+1\right)x^4+2x-2=0$ luôn có nghiệm với mọi $m$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng mệnh đề với $f(x)$ xác định trên $[a;b]$:

- **A sai:** Hàm liên tục trên $[a;b]$ và $f(a)f(b)>0$ vẫn có thể có nghiệm trong $(a;b)$ khi đồ thị chạm trục hoành mà không đổi dấu, ví dụ $f(x)=(x-c{)}^2$ với $c\in (a;b)$, khi đó $f(a)f(b)>0$ nhưng $f(c)=0$.

- **B sai:** Mệnh đề thiếu giả thiết $f(x)$ liên tục. Nếu $f$ không liên tục, ví dụ $f(x)=-1$ với $x\le c$ và $f(x)=1$ với $x>c$ ($c\in (a;b)$), thì $f(a)f(b)<0$ nhưng $f(x)=0$ vô nghiệm.

- **C đúng:** Vì $f$ liên tục và tăng trên $[a;b]$ nên nếu $f(x)=0$ có nghiệm $x_0\in (a;b)$ thì do $f$ tăng, $f(a)<f(x_0)=0<f(b)$, suy ra $f(a)f(b)<0$, mâu thuẫn với $f(a)f(b)>0$. Vậy phương trình $f(x)=0$ không có nghiệm trong $(a;b)$.

- **D sai:** Phương trình $f(x)=0$ có nghiệm trong $(a;b)$ không kéo theo $f$ liên tục; hàm rời rạc vẫn có thể có nghiệm (ví dụ $f(x)=0$ tại một điểm và bằng 1 tại các điểm khác).

Vậy mệnh đề đúng là C.

(AI giải đề cho tôi)
Với $x\ne 3$: $\frac{x^2-7x+12}{x-3}=\frac{(x-3)(x-4)}{x-3}=x-4$, nên $\underset{x\to 3}{\lim }y=3-4=-1=y(3)$, do đó hàm số liên tục tại $x=3$. Đạo hàm tại $x=3$: $\underset{x\to 3}{\lim }\frac{f(x)-f(3)}{x-3}=\underset{x\to 3}{\lim }\frac{(x-4)-(-1)}{x-3}=\underset{x\to 3}{\lim }\frac{x-3}{x-3}=1$ tồn tại, nên hàm số có đạo hàm tại $x=3$. Vậy hàm số liên tục và có đạo hàm tại $x_0=3$, chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Xét tại x=1: f(1)=sinπ=0, còn lim_{x→1⁺} f(x)=lim (x+1)=2≠0 nên hàm gián đoạn tại x=1. Xét tại x=-1: f(-1)=sin(-π)=0, lim_{x→-1⁻} f(x)=lim (x+1)=0=f(-1), và lim_{x→-1⁺} f(x)=sin(-π)=0, nên hàm liên tục tại x=-1. Trên các khoảng không chứa ±1, hàm là sinπx hoặc x+1 đều liên tục. a) Sai vì hàm gián đoạn tại x=1. b) Đúng: trên (-∞;-1) hàm là x+1, trên (-1;+∞) gồm sinπx trên (-1;1) và x+1 trên (1;+∞), đều liên tục (điểm gián đoạn x=1 không thuộc khoảng mở... thực ra x=1 thuộc (-1;+∞) nhưng liên tục trên khoảng chỉ yêu cầu liên tục tại mọi điểm của khoảng; tại x=1 hàm gián đoạn nên cần kiểm tra lại: khoảng (-1;+∞) chứa x=1 nơi hàm gián đoạn, do đó mệnh đề b phải xét kỹ). Thực chất: hàm gián đoạn tại x=1 nên KHÔNG liên tục trên khoảng (-1;+∞). Vậy b) Sai. c) Đúng: trên (-∞;1) hàm liên tục (gồm x+1 trên (-∞;-1), sinπx trên [-1;1), liên tục tại -1), trên (1;+∞) hàm là x+1 liên tục. d) Sai vì hàm chỉ gián đoạn tại x=1, còn liên tục tại x=-1.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hàm gián đoạn tại x=1 vì f(1)=sinπ=0 nhưng lim_{x→1⁺} f(x)=2≠0, nên không liên tục trên ℝ.
b) (AI giải đề cho tôi)
Khoảng (-1;+∞) chứa x=1 nơi hàm gián đoạn (lim_{x→1⁺} f(x)=2≠f(1)=0), nên hàm không liên tục trên khoảng (-1;+∞).
c) (AI giải đề cho tôi)
Trên (-∞;1): x+1 liên tục trên (-∞;-1), sinπx liên tục trên [-1;1), tại x=-1: lim_{x→-1⁻}(x+1)=0=f(-1)=sin(-π) nên liên tục. Trên (1;+∞): hàm là x+1, liên tục.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hàm chỉ gián đoạn tại x=1; tại x=-1 ta có lim_{x→-1⁻} f(x)=lim_{x→-1⁺} f(x)=f(-1)=0 nên liên tục tại x=-1.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $f(x)=2x^5+a(x^2-1)+1$. Hàm số $f$ liên tục trên $\mathbb{R}$ (đa thức). Ta có $f(0)=a(0-1)+1=1-a$ và $f(1)=2+a(0)+1=3>0$.
- Nếu $a\le 1$ thì $f(0)=1-a\ge 0$; khi đó xét $f(-1)=2+a(0)+1=3>0$ và $f(-2)=2(-32)+a(3)+1=3a-63<0$ (vì $a\le 1<21$). Do đó $f(-2)\cdot f(-1)<0$, nên theo định lý giá trị trung gian phương trình có nghiệm trong $(-2;-1)$.
- Nếu $a>1$ thì $f(0)=1-a<0<3=f(1)$, nên phương trình có nghiệm trong $(0;1)$.
Vậy với mọi $a\in \mathbb{R}$, phương trình $2x^5+a(x^2-1)+1=0$ luôn có nghiệm.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $f(x)=4x^4+2x^2-x-3$, hàm đa thức nên liên tục trên $\mathbb{R}$. Ta có $f(-1)=4+2+1-3=4>0$, $f(0)=-3<0$, $f(1)=4+2-1-3=2>0$. Vì $f$ liên tục trên $[-1;0]$ và $f(-1)\cdot f(0)<0$, theo định lý giá trị trung gian tồn tại $x_1\in (-1;0)$ sao cho $f(x_1)=0$. Tương tự, $f$ liên tục trên $[0;1]$ và $f(0)\cdot f(1)<0$ nên tồn tại $x_2\in (0;1)$ sao cho $f(x_2)=0$. Vì $x_1<0<x_2$ nên $x_1\ne x_2$. Vậy phương trình có ít nhất 2 nghiệm phân biệt trong khoảng $(-1;1)$.

Ta có ${\lim }_{x\to 0}f(x)={\lim }_{x\to 0}\frac{\sqrt{x^2+4}-2}{x^2}={\lim }_{x\to 0}\frac{x^2}{x^2(\sqrt{x^2+4}+2)}={\lim }_{x\to 0}\frac{1}{\sqrt{x^2+4}+2}=\frac{1}{4}$.
$f(0)=2a-\frac{5}{4}$.
Hàm số liên tục tại $x=0$ khi và chỉ khi:
${\lim }_{x\to 0}f(x)=f(0)\iff \frac{1}{4}=2a-\frac{5}{4}\iff 2a=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}\iff a=\frac{3}{4}$.

Chọn D.
Các định lý về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (Weierstrass) và định lý giá trị trung gian (Bolzano-Cauchy) đều yêu cầu giả thiết hàm số **liên tục** trên đoạn $[-1;1]$.
Ở đây đề bài chỉ cho hàm số **xác định** trên $[-1;1]$ mà không liên tục.
+) Phản ví dụ cho i) và ii): Xét hàm số $f(x)=\frac{1}{x}$ với $x\ne 0$ và $f(0)=0$ trên $[-1;1]$. Hàm này không bị chặn nên không có GTLN và GTNN trên $[-1;1]$. Do đó i) và ii) sai.
+) Phản ví dụ cho iii): Xét hàm số $f(x)=-1$ với $x\in [-1;0]$ và $f(x)=1$ với $x\in (0;1]$. Ta có $f(-1)f(1)=-1<0$ nhưng không có giá trị nào để $f(\gamma )=0$. Do đó iii) sai.
Vậy số khẳng định đúng là 0.

Để $f(x)$ có giới hạn hữu hạn khi $x\to 1$ thì $a\cdot 1^2+2\cdot 1-5=0⟺a=3$. Khi đó $f(1)={\lim }_{x\to 1}\frac{3x+5}{x-2}=-8$.

Ta có: ${\lim }_{x\to 2^{+}}f(x)={\lim }_{x\to 2^{+}}\frac{\sqrt[3]{3x+2}-2}{x-2}={\lim }_{x\to 2^{+}}\frac{3x+2-8}{(x-2)(\sqrt[3]{(3x+2{)}^2}+2\sqrt[3]{3x+2}+4)}$
$={\lim }_{x\to 2^{+}}\frac{3(x-2)}{(x-2)(4+4+4)}=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}$.
Và $f(2)=a^2(2)+\frac{1}{4}=2a^2+\frac{1}{4}$.
Để hàm số liên tục tại $x=2$ thì ${\lim }_{x\to 2^{+}}f(x)=f(2)⟺2a^2+\frac{1}{4}=\frac{1}{4}⟺2a^2=0⟺a=0$.
Chọn đáp án D.

Ta có:
${\lim }_{x\to 1}\frac{x-1}{\sqrt{2x+1}-\sqrt{x+2}}={\lim }_{x\to 1}\frac{(x-1)(\sqrt{2x+1}+\sqrt{x+2})}{(2x+1)-(x+2)}={\lim }_{x\to 1}(\sqrt{2x+1}+\sqrt{x+2})=\sqrt{3}+\sqrt{3}=2\sqrt{3}$.
Hàm số liên tục tại $x=1⟺m=f(1)={\lim }_{x\to 1}f(x)=2\sqrt{3}$.
Thay vào biểu thức $P$:
$P=(2\sqrt{3}{)}^2+\sqrt{3}(2\sqrt{3})-8=12+6-8=10$.
Chọn đáp án A.

Để hàm số $f(x)$ liên tục tại $x=1$ thì $x=1$ phải là nghiệm của tử số: $a+2-5=0\iff a=3$. Khi đó $f(1)={\lim }_{x\to 1}\frac{(x-1)(3x+5)}{(x-1)(x-2)}={\lim }_{x\to 1}\frac{3x+5}{x-2}=-8$. Chọn B.

Ta có ${\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)={\lim }_{x\to 1^{+}}\frac{\sqrt{x+3}-2}{x-1}={\lim }_{x\to 1^{+}}\frac{1}{\sqrt{x+3}+2}=\frac{1}{4}$ và $f(1)={\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)=m+2$. Hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi $m+2=\frac{1}{4}\iff m=-\frac{7}{4}$.