Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hàm lượng giác (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Bài 7. Tìm GTLN, GTNN của các hàm số.

1) $y=6\sin x-1$. Vì $-1\le \sin x\le 1$ nên $-6\le 6\sin x\le 6$, do đó $-7\le y\le 5$.
$\max y=5$ khi $\sin x=1\iff x=\frac{\pi }{2}+k2\pi$; $\min y=-7$ khi $\sin x=-1\iff x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi$, $k\in \mathbb{Z}$.

2) $y=7-9\cos 5x$. Vì $-1\le \cos 5x\le 1$ nên $-9\le -9\cos 5x\le 9$, do đó $-2\le y\le 16$.
$\max y=16$ khi $\cos 5x=-1\iff 5x=\pi +k2\pi \iff x=\frac{\pi }{5}+\frac{k2\pi }{5}$; $\min y=-2$ khi $\cos 5x=1\iff x=\frac{k2\pi }{5}$, $k\in \mathbb{Z}$.

3) $y=\sin 2x-\cos 2x-5=\sqrt{2}\sin \left(2x-\frac{\pi }{4}\right)-5$. Vì $-1\le \sin \left(2x-\frac{\pi }{4}\right)\le 1$ nên $-\sqrt{2}-5\le y\le \sqrt{2}-5$.
$\max y=\sqrt{2}-5$ khi $2x-\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{2}+k2\pi \iff x=\frac{3\pi }{8}+k\pi$; $\min y=-\sqrt{2}-5$ khi $2x-\frac{\pi }{4}=-\frac{\pi }{2}+k2\pi \iff x=-\frac{\pi }{8}+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$.

4) $y={\cos }^{2}x+\cos x-5$. Đặt $t=\cos x\in [-1;1]$, khi đó $y=t^2+t-5={\left(t+\frac{1}{2}\right)}^2-\frac{21}{4}$ trên đoạn $[-1;1]$.
Hàm đồng biến với $t\ge -\frac{1}{2}$ nên $\min y=-\frac{21}{4}$ khi $t=-\frac{1}{2}\iff \cos x=-\frac{1}{2}\iff x=\pm \frac{2\pi }{3}+k2\pi$.
So sánh tại hai đầu: $t=1\Rightarrow y=-3$; $t=-1\Rightarrow y=-5$, nên $\max y=-3$ khi $\cos x=1\iff x=k2\pi$, $k\in \mathbb{Z}$.

Kết luận: (1) $\max y=5$, $\min y=-7$; (2) $\max y=16$, $\min y=-2$; (3) $\max y=\sqrt{2}-5$, $\min y=-\sqrt{2}-5$; (4) $\max y=-3$, $\min y=-\frac{21}{4}$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $0\le {\sin }^{2}x\le 1$ với mọi $x\in \mathbb{R}$ nên $5-3{\sin }^{2}x\in [2;5]>0$, do đó hàm số xác định trên $D=\mathbb{R}$ → a đúng. Ta có $f(-x)=\sqrt{5-3{\sin }^2(-x)}=\sqrt{5-3{\sin }^{2}x}=f(x)$, nên hàm số chẵn, không lẻ → b sai. Giá trị lớn nhất $\max f=\sqrt{5}$ (khi $\sin x=0$), không phải 2 → c sai. Vì $5-3{\sin }^{2}x$ nhận mọi giá trị trong $[2;5]$ nên tập giá trị của $f(x)$ là $[\sqrt{2};\sqrt{5}]$ → d đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $0\le {\sin }^{2}x\le 1$ nên $5-3{\sin }^{2}x\ge 2>0$ với mọi $x$, hàm số xác định trên $\mathbb{R}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f(-x)=f(x)$ nên hàm số chẵn, không phải hàm lẻ.
c) (AI giải đề cho tôi)
${\sin }^{2}x\in [0;1]$ nên $5-3{\sin }^{2}x\in [2;5]$, giá trị lớn nhất là $\sqrt{5}\approx 2,236\ne 2$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Vì $5-3{\sin }^{2}x$ nhận mọi giá trị trong $[2;5]$ nên tập giá trị của $f(x)$ là $[\sqrt{2};\sqrt{5}]$.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 4. Tìm tập xác định:

1) $y=\frac{x+3}{2\sin x-1}$: Hàm số xác định khi $2\sin x-1\ne 0\iff \sin x\ne \frac{1}{2}$. Vì $\sin x=\frac{1}{2}\iff x=\frac{\pi }{6}+k2\pi$ hoặc $x=\frac{5\pi }{6}+k2\pi$, $k\in \mathbb{Z}$, nên $D=\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{\pi }{6}+k2\pi ,\frac{5\pi }{6}+k2\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}$.

2) $y=\frac{\cos x+7}{\cos 4x+1}$: Tử số $\cos x+7\ge 6>0$ luôn khác 0. Hàm số xác định khi $\cos 4x+1\ne 0\iff \cos 4x\ne -1\iff 4x\ne \pi +k2\pi \iff x\ne \frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2}$, $k\in \mathbb{Z}$. Vậy $D=\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2}\mid k\in \mathbb{Z}\right\}$.

3) $y=\tan \left(x+\frac{3\pi }{4}\right)$: Hàm tan xác định khi $x+\frac{3\pi }{4}\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \iff x\ne -\frac{\pi }{4}+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Vậy $D=\mathbb{R}\setminus \left\{-\frac{\pi }{4}+k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}$.

4) $y=\cot 2x-\tan x$: Điều kiện $\cot 2x$ xác định: $2x\ne k\pi \iff x\ne k\frac{\pi }{2}$; $\tan x$ xác định: $x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$. Vì $\left\{\frac{\pi }{2}+k\pi \right\}\subset \left\{k\frac{\pi }{2}\right\}$, nên điều kiện gộp là $x\ne k\frac{\pi }{2}$, $k\in \mathbb{Z}$. Vậy $D=\mathbb{R}\setminus \left\{k\frac{\pi }{2}\mid k\in \mathbb{Z}\right\}$.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 5. Xét tính chẵn lẻ.

1) $y={\sin }^{3}x+\tan x$. TXĐ: $D=\mathbb{R}\setminus \{\frac{\pi }{2}+k\pi \}$ đối xứng qua gốc tọa độ. Với mọi $x\in D$: $y(-x)={\sin }^3(-x)+\tan (-x)=-{\sin }^{3}x-\tan x=-y(x)$. Vậy hàm số là hàm lẻ.

2) $y={\sin }^{2}x+\cos x$. TXĐ: $D=\mathbb{R}$ đối xứng. $y(-x)={\sin }^2(-x)+\cos (-x)={\sin }^{2}x+\cos x=y(x)$. Vậy hàm số là hàm chẵn.

3) $y=\frac{\sin 2x}{x}$. TXĐ: $D=\mathbb{R}\setminus \{0\}$ đối xứng. $y(-x)=\frac{\sin (-2x)}{-x}=\frac{-\sin 2x}{-x}=\frac{\sin 2x}{x}=y(x)$. Vậy hàm số là hàm chẵn.

4) $y=\sin x+\cos x$. TXĐ: $D=\mathbb{R}$ đối xứng. $y(-x)=\sin (-x)+\cos (-x)=-\sin x+\cos x$. Ta có $y(-x)\ne y(x)$ (ví dụ $x=\frac{\pi }{4}$: $y=\sqrt{2}$, $y(-x)=0$) và $y(-x)\ne -y(x)$ (vì $-y(\frac{\pi }{4})=-\sqrt{2}\ne 0$). Vậy hàm số không chẵn không lẻ.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 6. Tìm chu kì các hàm số:
1) $y=\sin 5x$: chu kì $T=\frac{2\pi }{5}$.
2) $y=\cos \frac{2x}{3}$: chu kì $T=\frac{2\pi }{2/3}=3\pi$.
3) $y=\tan \frac{x}{2}$: chu kì $T=\frac{\pi }{1/2}=2\pi$.
4) $y=\cot 6x$: chu kì $T=\frac{\pi }{6}$.

Giải thích: với $y=\sin (bx)$ hoặc $y=\cos (bx)$ chu kì là $T=\frac{2\pi }{|b|}$; với $y=\tan (bx)$ hoặc $y=\cot (bx)$ chu kì là $T=\frac{\pi }{|b|}$. Kiểm tra: $\sin 5(x+2\pi /5)=\sin (5x+2\pi )=\sin 5x$; $\cos \frac{2(x+3\pi )}{3}=\cos (2x/3+2\pi )=\cos (2x/3)$; $\tan \frac{x+2\pi }{2}=\tan (x/2+\pi )=\tan (x/2)$; $\cot 6(x+\pi /6)=\cot (6x+\pi )=\cot 6x$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng mệnh đề:
- A sai: $y=\cot x$ có $y^{\prime }=-\frac{1}{{\sin }^{2}x}<0$ trên $(0;\pi )$, nên hàm số nghịch biến trên khoảng này, không đồng biến.
- B sai: $y=\cos x$ có $y^{\prime }=-\sin x>0$ với $x\in \left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$, nên hàm số đồng biến trên khoảng này, không nghịch biến.
- C sai: $y=\sin x$ có $y^{\prime }=\cos x>0$ với $x\in (\pi ;2\pi )$, nên hàm số đồng biến trên khoảng này, không nghịch biến.
- D đúng: khoảng $\left(\frac{3\pi }{2};\frac{5\pi }{2}\right)=\left(-\frac{\pi }{2}+2\pi ;\frac{\pi }{2}+2\pi \right)$, mà $y=\sin x$ đồng biến trên mỗi khoảng $\left(-\frac{\pi }{2}+2k\pi ;\frac{\pi }{2}+2k\pi \right)$, $k\in \mathbb{Z}$.
Vậy mệnh đề đúng là D, khớp với đáp án nguồn (mã đề 2102, câu 1: D).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\cos x$ có đạo hàm $y^{\prime }=-\sin x$. Trên khoảng $(0;\pi )$ thì $\sin x>0$ nên $y^{\prime }<0$, do đó hàm số nghịch biến trên $(0;\pi )$. Kiểm tra các phương án khác: trên $(-\pi ;0)$ và $(\pi ;2\pi )$ thì $\sin x<0$ nên $y^{\prime }>0$ (đồng biến); trên $(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2})$ hàm không đơn điệu. Kết quả khớp với đáp án nguồn C (mã đề 2102, câu 11).

Gợi ý làm bài:
a) Tìm tập xác định của hàm số dạng cơ bản: $y=\frac{1-\cos 2x}{\sin x}$
Hàm số $y=\frac{1-\cos 2x}{\sin x}$ xác định khi và chỉ khi $\sin x\ne 0\iff x\ne k\pi ,k\in \mathbb{Z}$. (0.5đ)
b) Tìm tập giá trị của hàm số có dạng: $y=5{\sin }^{2}2x+2$
$-1\le \sin 2x\le 1$
$\iff 0\le {\sin }^{2}2x\le 1$ (0,25đ)
$\iff 0\le 5{\sin }^{2}2x\le 5$
$\iff 2\le 5{\sin }^{2}2x+2\le 7$
Tập giá trị: $T=[2;7]$ (0,25đ)

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\tan 2x$ xác định khi $\cos 2x\ne 0$, tức $2x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$ với $k\in \mathbb{Z}$. Suy ra $x\ne \frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2}$, $k\in \mathbb{Z}$. Vậy $D=\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2}\mid k\in \mathbb{Z}\right\}$, trùng với đáp án C (khớp với bảng đáp án mã đề 2101, câu 16 là C).

Gợi ý làm bài:
a)
Điều kiện: $x+\frac{\pi }{3}\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \iff x\ne \frac{\pi }{6}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$

TXĐ: $D=\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{\pi }{6}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\right\}$.

b)
$\forall x\in \mathbb{R}$, ta có: $0\le {\sin }^2\left(2x+\frac{\pi }{5}\right)\le 1$

$\Rightarrow 4.0-5\le 4{\sin }^2\left(2x+\frac{\pi }{5}\right)-5\le 4.1-5$

$\Rightarrow -5\le y\le -1$.
Vậy hàm số có tập giá trị là $\left[-5;-1\right]$

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\cos x$ có tập xác định $\mathbb{R}$. Xét từng phát biểu:
- A sai: đồ thị $y=\cos x$ nhận trục tung (không phải trục hoành) làm trục đối xứng vì $\cos (-x)=\cos x$ (hàm chẵn).
- B sai: giá trị lớn nhất của hàm số là $1$, không phải $2$.
- C đúng: trên khoảng $(\pi ;2\pi )$, đạo hàm $y^{\prime }=-\sin x<0$... xét dấu: với $x\in (\pi ;2\pi )$ thì $\sin x<0$, do đó $y^{\prime }=-\sin x>0$, nên hàm số đồng biến trên khoảng này (đúng như đồ thị: từ điểm thấp nhất tại $x=\pi$ tăng lên điểm cao nhất tại $x=2\pi$).
- D sai: đồ thị cắt trục hoành tại vô số điểm $x=\frac{\pi }{2}+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$.
Vậy phát biểu đúng là C, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1002, câu 3: C).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\cos x$ có tập giá trị $[-1;1]$ nên giá trị lớn nhất là $1$, không phải $2$ (A sai). Trên $(\pi ;2\pi )$, đạo hàm $y^{\prime }=-\sin x$; với $x\in (\pi ;2\pi )$ thì $\sin x<0$ nên $y^{\prime }=-\sin x>0$, hàm số đồng biến (B đúng). Đồ thị cắt trục hoành tại vô số điểm $x=\frac{\pi }{2}+k\pi$ (C sai). Đồ thị $y=\cos x$ nhận trục $Oy$ làm trục đối xứng, không phải trục hoành (D sai). Khớp với đáp án nguồn B (bảng đáp án mã đề 1001, câu 1 = B).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{1-\cos x}{\sin x}$ xác định khi và chỉ khi mẫu số khác 0, tức $\sin x\ne 0$. Ta có $\sin x=0\iff x=k\pi$ với $k\in \mathbb{Z}$. Vậy tập xác định là $D=\mathbb{R}\setminus \left\{k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}$. Kết quả này trùng với đáp án nguồn (C) trong bảng đáp án mã đề 101.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y=\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$. Vì $-1\le \sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)\le 1$ nên giá trị nhỏ nhất của hàm số là $-\sqrt{2}\approx -1,414$, làm tròn đến hàng phần mười là $-1,4$. Kết quả trùng với đáp án nguồn $-1,4$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét hàm số $y=\sin 2x$. a) Hàm số xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$ nên tập xác định là $\mathbb{R}$: Đúng. b) Chu kỳ $T=\frac{2\pi }{2}=\pi$: Đúng. c) Vì $-1\le \sin 2x\le 1$ nên tập giá trị là $[-1;1]$, không phải $[-2;2]$: Sai. d) $\sin 2(-x)=-\sin 2x$ nên hàm số lẻ, đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ: Đúng. Khớp với đáp án nguồn Đề 102: Đ Đ S Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hàm $y=\sin 2x$ xác định với mọi $x$ thực, tập xác định $D=\mathbb{R}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Chu kỳ $T=\frac{2\pi }{|2|}=\pi$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Vì $-1\le \sin 2x\le 1$ nên tập giá trị là $[-1;1]$, không phải $[-2;2]$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hàm số là hàm lẻ: $\sin 2(-x)=-\sin 2x$, nên đồ thị nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=x\tan x$ không tuần hoàn vì nếu nó tuần hoàn với chu kỳ $T>0$ thì $x\tan x=(x+T)\tan (x+T)=(x+T)\tan x$ với mọi $x$ (do $\tan$ tuần hoàn chu kỳ $\pi$, nên $T=k\pi$), suy ra $T\tan x=0$ với mọi $x$, vô lý. Các hàm $y=\cot x$, $y=\cos x$, $y=\sin x$ đều tuần hoàn (chu kỳ lần lượt $\pi$, $2\pi$, $2\pi$). Đáp án khớp với đáp án nguồn (mã đề 102, Câu 5: C).

(AI giải đề cho tôi)
Xét hàm số $y=\cos 2x$. a) Hàm số xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$ nên tập xác định là $\mathbb{R}$: Đúng. b) Hàm số tuần hoàn với chu kỳ $T=\frac{2\pi }{2}=\pi$, không phải $2\pi$: Sai. c) Vì $-1\le \cos 2x\le 1$ nên tập giá trị là $[-1;1]$, không phải $[-2;2]$: Sai. d) $\cos (2(-x))=\cos (-2x)=\cos 2x$ nên hàm số là hàm chẵn, đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng: Đúng. Kết quả khớp với đáp án của đề (Đ S S Đ).
a) (AI giải đề cho tôi)
Hàm $y=\cos 2x$ xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Chu kỳ là $T=\frac{2\pi }{2}=\pi \ne 2\pi$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Vì $-1\le \cos 2x\le 1$ nên tập giá trị là $[-1;1]$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\cos (-2x)=\cos 2x$ nên hàm chẵn, đồ thị đối xứng qua trục tung.

Đáp án theo bảng đáp án chính thức (mã đề 0102, Câu 10): a) Đúng, b) Đúng, c) Sai, d) Sai.

Lời giải tham chiếu (AI solution agent, tách biệt với đáp án nguồn):
a) Đúng. Hàm số $y=4\cos 2x+3$ có chu kì $T=\frac{2\pi }{2}=\pi$.
b) Đúng. Vì $-1\le \cos 2x\le 1$ nên $-4\le 4\cos 2x\le 4$, suy ra $-1\le y\le 7$. Tập giá trị là $[-1;7]$.
c) Sai. Hàm số $y=4\cos 2x+3$ xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$, không phải $[-1;1]$.
d) Theo bảng đáp án chính thức của nguồn, phát biểu này được ghi là Sai (S). Lưu ý: về mặt toán học $f(-x)=4\cos (-2x)+3=4\cos 2x+3=f(x)$ nên hàm số là hàm chẵn; đáp án được giữ nguyên theo nguồn (có thể nguồn nhầm hoặc key in sai).
a) Chu kì $T=\frac{2\pi }{2}=\pi$ (AI solution agent).
b) $-1\le \cos 2x\le 1\Rightarrow -1\le y\le 7$ (AI solution agent).
c) Tập xác định là $\mathbb{R}$ (AI solution agent).
d) Bảng đáp án chính thức ghi Sai (S). Về mặt toán học $f(-x)=f(x)$ nên hàm chẵn; đáp án giữ nguyên theo nguồn (AI solution agent, ghi chú mâu thuẫn).

Đáp án theo bảng đáp án chính thức (mã đề 0101, Câu 9): a) Sai, b) Đúng, c) Đúng, d) Sai.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $-1\le \sin \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)\le 1$ nên $-4\le 4\sin \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)\le 4$, suy ra $-3\le y\le 5$. Vậy $M=5$, $m=-3$, do đó $M+m=5+(-3)=2$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (Phần III, Câu 1: 2).