Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hàm lượng giác (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$ xác định khi $\cos x\ne 0$, tức $x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Vậy $D=\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\right\}$. Đáp án trùng với đáp án nguồn (C, mã đề 121).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $f(x)=\tan 2x$. a) Hàm số xác định khi $\cos 2x\ne 0$, tức $2x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \iff x\ne \frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2}$, nên $D=\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2},k\in \mathbb{Z}\right\}$ → Đúng. b) $f\left(x+\frac{\pi }{2}\right)=\tan \left(2x+\pi \right)=\tan 2x=f(x)$, nên chu kì là $T=\frac{\pi }{2}$, không phải $\pi$ → Sai. c) $\tan 2x$ nhận mọi giá trị thực trên từng khoảng xác định, tập giá trị là $\mathbb{R}$, không phải $[-1;1]$ → Sai. d) $\tan 2x=1\iff 2x=\frac{\pi }{4}+k\pi \iff x=\frac{\pi }{8}+k\frac{\pi }{2}$, khớp với tập nghiệm đã cho → Đúng. Kết quả trùng với đáp án nguồn: a) Đ, b) S, c) S, d) Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\cos 2x\ne 0\iff x\ne \frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2}$, đúng như đề.
b) (AI giải đề cho tôi)
Chu kì của $\tan 2x$ là $T=\frac{\pi }{2}$, không phải $\pi$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tập giá trị của $\tan 2x$ là $\mathbb{R}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\tan 2x=1\iff 2x=\frac{\pi }{4}+k\pi \iff x=\frac{\pi }{8}+k\frac{\pi }{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $-1\le \sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)\le 1$ nên $-2\le 2\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)\le 2$, suy ra $-7\le y\le -3$. Tập giá trị là đoạn $[-7;-3]$, do đó $a=-7$, $b=-3$ và $a+b=-10$. Kết quả trùng với đáp án nguồn $-10$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét hàm số $f(x)=\tan 2x$.
a) Hàm tan xác định khi $2x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \iff x\ne \frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2}$, nên $D=\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2},k\in \mathbb{Z}\right\}$. Đúng.
b) Chu kì của $y=\tan 2x$ là $T=\frac{\pi }{2}$, không phải $\pi$. Sai.
c) Tập giá trị của hàm tan là $\mathbb{R}$, không phải $[-1;1]$. Sai.
d) $\tan 2x=1\iff 2x=\frac{\pi }{4}+k\pi \iff x=\frac{\pi }{8}+k\frac{\pi }{2}$. Đúng. Kết quả khớp với đáp án nguồn: a) Đ, b) S, c) S, d) Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Điều kiện xác định: $2x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \iff x\ne \frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2}$, đúng như đề.
b) (AI giải đề cho tôi)
Chu kì của $\tan 2x$ là $T=\frac{\pi }{2}$, không phải $\pi$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tập giá trị của $\tan 2x$ là $\mathbb{R}$, không phải $[-1;1]$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\tan 2x=1\iff 2x=\frac{\pi }{4}+k\pi \iff x=\frac{\pi }{8}+k\frac{\pi }{2}$, đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $-1\le \sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)\le 1$ nên $-2\le 2\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)\le 2$, suy ra $-7\le y\le -3$. Tập giá trị là $[-7;-3]$, do đó $a=-7$, $b=-3$ và $a+b=-10$. Kết quả trùng với đáp án nguồn $-10$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai: vì $\cos (4x)\in [-1;1]$ nên tập giá trị là $[-1;1]$, không phải $[-4;4]$. b) Đúng: $f(-x)=\cos (-4x)=\cos (4x)=f(x)$ với mọi $x\in \mathbb{R}$, nên hàm số chẵn. c) Đúng: $\cos (4x)$ xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$ nên $D=\mathbb{R}$. d) Sai: chu kỳ của $\cos (kx)$ là $T=\frac{2\pi }{|k|}=\frac{2\pi }{4}=\frac{\pi }{2}$, không phải $\frac{\pi }{4}$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tập giá trị của $\cos (4x)$ là $[-1;1]$ vì $-1\le \cos (4x)\le 1$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f(-x)=\cos (-4x)=\cos (4x)=f(x)$ nên hàm chẵn trên $\mathbb{R}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hàm cos xác định trên toàn $\mathbb{R}$, nên $D=\mathbb{R}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Chu kỳ $T=\frac{2\pi }{4}=\frac{\pi }{2}\ne \frac{\pi }{4}$.

(AI giải đề cho tôi)
Chu kì của hàm $h(t)=10\sin \left(\frac{\pi }{6}t\right)$ là $T=\frac{2\pi }{\pi /6}=12$ giây. Khoảng cách giữa hai lần liên tiếp phao ở đỉnh sóng đúng bằng một chu kì, nên sau 12 giây phao lại ở đỉnh của con sóng tiếp theo.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có các tiệm cận đứng tại $x=k\pi$ và mỗi nhánh nghịch biến, cắt trục hoành tại $x=\frac{\pi }{2}+k\pi$. Đây là đặc điểm của hàm số $y=\cot x$ ($\tan x$ có tiệm cận đứng tại $x=\frac{\pi }{2}+k\pi$ và đồng biến; $\sin$, $\cos$ không có tiệm cận đứng). Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}$ xác định khi $\sin x\ne 0$, tức $x\ne k\pi$ với $k\in \mathbb{Z}$. Vậy tập xác định là $D=\mathbb{R}\setminus \{k\pi ,k\in \mathbb{Z}\}$, tương ứng với phương án B.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $f(x)=\cos (2x)$. a) $f(-x)=\cos (-2x)=\cos (2x)=f(x)$ nên hàm chẵn trên $\mathbb{R}$: đúng. b) Chu kỳ $T=\frac{2\pi }{2}=\pi \ne 2\pi$: sai. c) Vì $-1\le \cos (2x)\le 1$ với mọi $x$ và giá trị $\pm 1$ đều đạt được, tập giá trị là $[-1;1]$: đúng. d) $\cos (2x)$ xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$, nên tập xác định là $D=\mathbb{R}$, không phải $\mathbb{R}\setminus \{0\}$: sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$f(-x)=\cos (-2x)=\cos (2x)=f(x)$ với mọi $x$, nên hàm số chẵn trên $\mathbb{R}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Chu kỳ của $\cos (2x)$ là $T=\frac{2\pi }{2}=\pi$, không phải $2\pi$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Vì $-1\le \cos (2x)\le 1$ và mọi giá trị trong đoạn này đều đạt được, tập giá trị là $[-1;1]$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\cos (2x)$ xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$, nên $D=\mathbb{R}$ chứ không phải $\mathbb{R}\setminus \{0\}$.

(AI giải đề cho tôi)
Chu kỳ của hàm số $T(t)=15\cos \left(\frac{\pi }{12}t\right)$ là $T=\frac{2\pi }{\omega }=\frac{2\pi }{\pi /12}=24$ ngày. Vậy sau 24 ngày chu kỳ biến đổi nhiệt độ lặp lại hoàn toàn.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị đi qua gốc tọa độ $O(0;0)$, đồng biến tại $x=0$, đạt giá trị lớn nhất bằng 1 tại $x=\frac{\pi }{2}+k2\pi$ và giá trị nhỏ nhất bằng -1 tại $x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi$, chu kỳ $2\pi$. Đây là đặc điểm của hàm số $y=\sin x$. Loại $y=\cos x$ vì tại $x=0$ có $y=1$; loại $y=\tan x$ và $y=\cot x$ vì đồ thị không liên tục, không có giá trị lớn nhất/nhỏ nhất bằng $\pm 1$. Vậy đáp án là D.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\cos x$ xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$ vì cosin của mọi số thực đều tồn tại. Vậy tập xác định là $D=\mathbb{R}$, tương ứng phương án A. Các phương án B, C, D là tập xác định của $y=\tan x$ hoặc $y=\cot x$, không đúng với $y=\cos x$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số chẵn thỏa $f(-x)=f(x)$. Xét từng hàm: $y=\tan x$ và $y=\cot x$ là hàm lẻ vì $\tan (-x)=-\tan x$, $\cot (-x)=-\cot x$; $y=\sin x$ là hàm lẻ vì $\sin (-x)=-\sin x$; còn $y=\cos x$ thỏa $\cos (-x)=\cos x$ nên là hàm số chẵn.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm lượng mưa: $f(t)=200\cos \left(\frac{\pi t}{6}+\frac{\pi }{6}\right)+350$ (mm), với $t\in \{1,2,\dots ,12\}$ (tháng trong năm).

Lượng mưa lớn nhất khi $\cos \left(\frac{\pi t}{6}+\frac{\pi }{6}\right)=1$, tức:
$$\frac{\pi t}{6}+\frac{\pi }{6}=2k\pi \Rightarrow t=12k-1,k\in \mathbb{Z}.$$

Với $t$ là số tháng từ 1 đến 12, chỉ có $k=1$ cho $t=11$.

Vậy tháng 11 có lượng mưa lớn nhất, với giá trị:
$$f(11)=200\cos \left(\frac{11\pi }{6}+\frac{\pi }{6}\right)+350=200\cos (2\pi )+350=200+350=550\text{ (mm)}.$$

Kết luận: Tháng 11 có lượng mưa lớn nhất, bằng $550$ mm.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\tan x$ xác định khi $\cos x\ne 0$, tức $x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$ với $k\in \mathbb{Z}$. Vậy tập xác định là $D=\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\right\}$, tương ứng phương án A. Phương án C chỉ loại $\frac{\pi }{2}+k2\pi$ (thiếu các điểm $-\frac{\pi }{2}+k2\pi$), phương án D loại nhầm các điểm $k\pi$ (là nơi tan bằng 0, vẫn xác định).

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có giá trị lớn nhất bằng 1 tại $x=0$, cắt trục hoành tại $x=\pm \frac{\pi }{2}$, đạt giá trị nhỏ nhất $-1$ tại $x=\pi$. Đây là đặc điểm của đồ thị hàm số $y=\cos x$ (với $y=\sin x$ thì đồ thị đi qua gốc tọa độ và đạt cực đại tại $x=\frac{\pi }{2}$; tan, cot không có dạng sóng liên tục này). Vậy đáp án là $y=\cos x$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{1-\cos 3x}{\sin x}$ xác định khi và chỉ khi mẫu số khác 0, tức $\sin x\ne 0\iff x\ne k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Vậy $D=\mathbb{R}\setminus \{k\pi ,k\in \mathbb{Z}\}$. Lưu ý: mặc dù tại $x=k\pi$ tử số $1-\cos 3k\pi =0$, hàm số vẫn không xác định vì mẫu bằng 0, nên không thể rút gọn trước khi tìm tập xác định. Kết quả khớp với đáp án D (bảng đáp án mã đề 111, câu 12).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y=4{\sin }^2\frac{x}{2}-1=2(1-\cos x)-1=1-2\cos x$. Vì $\cos x\in [-1;1]$ nên $y\in [1-2;1+2]=[-1;3]$. Vậy $a=-1$, $b=3$, $P=b-a=3-(-1)=4$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (cột 3 hàng 1 của bảng trả lời ngắn là 4).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\sin x$ có đạo hàm $y^{\prime }=\cos x$. Trên khoảng $\left(\frac{\pi }{2};\pi \right)$ ta có $\cos x<0$ nên hàm số nghịch biến. Quan sát đồ thị: từ $x=\frac{\pi }{2}$ (đạt giá trị lớn nhất $1$) đến $x=\pi$ (giá trị $0$), đồ thị đi xuống, xác nhận hàm nghịch biến. Các khoảng khác: trên $\left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$ hàm đồng biến; trên $(-\pi ;0)$ và $(0;\pi )$ hàm vừa đồng biến vừa nghịch biến. Vậy đáp án là B, trùng với đáp án nguồn (mã đề 111, câu 2: B).