Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hàm mũ/logarit (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y={\log }_2(x^2-4x+3)$ xác định khi $x^2-4x+3>0$. Phương trình $x^2-4x+3=0$ có nghiệm $x=1$, $x=3$, nên $x^2-4x+3=(x-1)(x-3)>0\iff x<1$ hoặc $x>3$. Vậy $\mathcal{D}=(-\infty ;1)\cup (3;+\infty )$.

(AI giải đề cho tôi)
Thay $P=\frac{7}{10}{P}_0$ vào công thức: $h=-19,3\cdot \log \left(\frac{7}{10}\right)=-19,3\cdot \log 0,7$. Vì $\log 0,7\approx -0,1549020$ nên $h\approx 19,3\times 0,1549020\approx 2,9896$ km. Làm tròn đến hàng phần trăm: $h\approx 2,99$ km.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số xác định khi $10x-x^2>0\iff 0<x<10$. Ta có $y^{\prime }=\frac{10-2x}{(10x-x^2)\ln 5}$. Trên khoảng $(0;5)$, $10-2x>0$ nên $y^{\prime }>0$, hàm số đồng biến. Trên $(5;10)$ hàm số nghịch biến. Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $(0;5)$, đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y={\log }_2(x^2-3x-4)$ xác định khi $x^2-3x-4>0\iff (x-4)(x+1)>0\iff x<-1$ hoặc $x>4$. Vì ${\log }_{2}t$ đồng biến nên hàm số đồng biến khi $t=x^2-3x-4$ đồng biến, tức khi $x>\frac{3}{2}$. Kết hợp với điều kiện xác định, hàm số đồng biến trên khoảng $(4;+\infty )$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $f(x)={\log }_{\frac{\sqrt{2}}{2}}(4x-3)$ xác định khi $4x-3>0\iff x>\frac{3}{4}$. Cơ số $\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}\in (0;1)$ nên hàm ${\log }_{\frac{\sqrt{2}}{2}}t$ nghịch biến theo $t$; trong khi $t=4x-3$ đồng biến theo $x$. Do đó $f(x)$ nghịch biến trên toàn miền xác định, tức trên mọi khoảng con của $\left(\frac{3}{4};+\infty \right)$. Trong các đáp án, chỉ có khoảng $(1;+\infty )\subset \left(\frac{3}{4};+\infty \right)$ nên hàm số nghịch biến trên khoảng này. Các khoảng $\left(-\infty ;\frac{3}{4}\right)$, $\left(0;\frac{3}{4}\right)$ không nằm trong miền xác định, còn $(-\infty ;+\infty )$ thì hàm không nghịch biến trên đó. Vậy chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=3^x$ có cơ số $3>1$ nên đồng biến trên $\mathbb{R}$, đồ thị luôn nằm phía trên trục hoành, đi qua điểm $(0;1)$ và tiệm cận ngang trục hoành khi $x\to -\infty$. Xét các hình: A là hàm nghịch biến đi qua $(0;1)$ (dạng $y=a^x$ với $0<a<1$); B là hàm đồng biến đi qua $(1;0)$ (dạng $y={\log }_{a}x$); D là hàm nghịch biến; chỉ có hình C là hàm đồng biến, đi qua điểm $(0;1)$ — đúng là đồ thị của $y=3^x$. Kết quả trùng với đáp án C trong bảng mã đề 101.

(AI giải đề cho tôi)
Đường cong trong hình đi qua điểm $(2;1)$, cắt trục hoành tại $x=1$ và đồng biến trên $(0;+\infty )$ — đây là đồ thị hàm số $y={\log }_{a}x$ với cơ số $a>1$. Xét các phương án: $y={\log }_{2}x$ thỏa ${\log }_{2}2=1$ và ${\log }_{2}1=0$ (thỏa mãn). $y={\log }_{1/2}x$ nghịch biến (loại). $y=2^x$ có tập xác định $\mathbb{R}$, đi qua $(0;1)$ (loại). $y={\log }_{3}x$ thì ${\log }_{3}2\ne 1$ (loại). Vậy đáp án là $y={\log }_{2}x$, khớp với đáp án A của đề (mã đề 1002, câu 10: A).

(AI giải đề cho tôi)
Đường cong trong hình là đồ thị hàm số mũ đồng biến, đi qua điểm $(0;1)$ và điểm $(1;3)$. Xét các phương án: với $y=3^x$ ta có $y(0)=1$, $y(1)=3$ và hàm đồng biến vì cơ số $3>1$ — khớp hoàn toàn với hình. Loại A vì $y=2^x$ cho $y(1)=2\ne 3$; loại B vì $y={\log }_{3}x$ không xác định tại $x\le 0$ và không đi qua $(0;1)$; loại C vì $y={\left(\frac{1}{3}\right)}^x$ nghịch biến. Vậy đáp án là D, trùng với đáp án nguồn (Mã đề 1001, Câu 11: D).

(AI giải đề cho tôi)
Năm 2025 là mốc, $P=60$ (triệu người), $r=0,0094$, $t=2045-2025=20$ năm. Dân số năm 2045: $A=60e^{0,0094\cdot 20}=60e^{0,188}\approx 60\times 1,2068\approx 72,41$ triệu người. Làm tròn đến hàng phần chục: $72,4$ triệu người, khớp với đáp án nguồn.

Đáp án chính thức (bảng đáp án mã 1102, câu 16): a) Sai, b) Đúng, c) Đúng, d) Đúng.

Đáp án chính thức (bảng đáp án mã 1101, câu 16): a) Đúng, b) Sai, c) Sai, d) Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng khẳng định với $a,b,c>0$, $a,b\ne 1$:
- A: Theo công thức đổi cơ số, ${\log }_{a}b=\frac{1}{{\log }_{b}a}$, chứ không phải $-{\log }_{b}a$. Ví dụ $a=2,b=4$: ${\log }_{2}4=2$ còn $-{\log }_{4}2=-\frac{1}{2}$, sai. Vậy A là khẳng định sai.
- B: ${\log }_{a}b.{\log }_{b}a={\log }_{a}b.\frac{1}{{\log }_{a}b}=1$, đúng.
- C: Công thức đổi cơ số ${\log }_{a}c=\frac{{\log }_{b}c}{{\log }_{b}a}$, đúng.
- D: Tính chất hiệu hai logarit cùng cơ số ${\log }_a\left(\frac{b}{c}\right)={\log }_{a}b-{\log }_{a}c$, đúng.
Khẳng định sai là A, trùng với đáp án nguồn (mã đề 102, Câu 2: A).

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị trong hình: hàm số xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$ (nên loại A, C là hàm logarit, chỉ xác định khi $x>0$), hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ và đi qua điểm $(1;2)$, cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1. Với $y=2^x$: $y(0)=1$, $y(1)=2$, đồng biến trên $\mathbb{R}$ — khớp hoàn toàn với đồ thị. Với $y={\left(\frac{1}{2}\right)}^x$ thì hàm nghịch biến, không khớp. Vậy đồ thị là của hàm số $y=2^x$, đáp án B (khớp với đáp án nguồn: mã đề 102, câu 3 = B).

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị đi qua điểm $(2;-1)$ và có tiệm cận đứng là trục $Oy$, nghịch biến trên $(0;+\infty )$, nên đó là đồ thị hàm số $y={\log }_{\frac{1}{2}}x$ vì ${\log }_{\frac{1}{2}}2=-1$. Hàm $y=2^x$ và $y={\left(\frac{1}{2}\right)}^x$ có tiệm cận ngang, còn $y={\log }_{2}x$ đồng biến và ${\log }_{2}2=1\ne -1$. Đáp án khớp với mã đề 101: C.

(AI giải đề cho tôi)
Từ năm 2022 đến năm 2035 là $t=2035-2022=13$ năm, với $A=8,4$ (triệu người) và $r=1,04\%=0,0104$. Theo công thức $S=A{e}^{rt}$: $S=8,4\cdot e^{0,0104\cdot 13}=8,4\cdot e^{0,1352}\approx 8,4\cdot 1,14478\approx 9,6162$ triệu người. Làm tròn đến hàng phần trăm ta được $S\approx 9,62$ triệu người, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Từ năm 2022 đến năm 2037 là $t=15$ năm. Dân số năm 2022: $A=8,4$ triệu người, $r=1,04\%=0,0104$.

Áp dụng công thức $S=A{e}^{rt}$:
$$S=8,4\cdot e^{0,0104\cdot 15}=8,4\cdot e^{0,156}$$

Tính $e^{0,156}\approx 1,16885$, nên:
$$S\approx 8,4\cdot 1,16885\approx 9,8183\approx 9,82$$

Vậy đến năm 2037 dân số Hà Nội khoảng $9,82$ triệu người, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y={\log }_2(5x+1)$. a) Đúng: điều kiện xác định của logarit là $5x+1>0$. b) Sai: từ $5x+1>0$ suy ra $x>-\frac{1}{5}$, tập xác định là $\left(-\frac{1}{5};+\infty \right)$, không phải $\left(\frac{1}{5};+\infty \right)$. c) Sai: đạo hàm đúng là $y^{\prime }=\frac{5}{(5x+1)\ln 2}$, thiếu thừa số $\ln 2$. d) Sai: trên tập xác định $5x+1>0$ nên $y^{\prime }=\frac{5}{(5x+1)\ln 2}>0$ tại mọi điểm, do đó không tồn tại tiếp tuyến nào có hệ số góc âm. Kết quả Đ S S S khớp bảng đáp án mã đề 0102, Phần II Câu 2.
a) (AI giải đề cho tôi)
Biểu thức ${\log }_2(5x+1)$ xác định khi và chỉ khi $5x+1>0$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Từ $5x+1>0$ suy ra $x>-\frac{1}{5}$, tập xác định là $\left(-\frac{1}{5};+\infty \right)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Đạo hàm đúng là $y^{\prime }=\frac{5}{(5x+1)\ln 2}$, thiếu thừa số $\ln 2$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Vì $5x+1>0$ trên tập xác định nên $y^{\prime }=\frac{5}{(5x+1)\ln 2}>0$ tại mọi điểm, không có tiếp tuyến nào có hệ số góc âm.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị trong hình là đường cong đi qua điểm $(0;1)$ và $(-1;3)$, giảm dần trên toàn trục hoành — đặc điểm của hàm số mũ $y=a^x$ với $0<a<1$. Kiểm tra với $y={\left(\frac{1}{3}\right)}^x$: $y(0)=1$, $y(-1)={\left(\frac{1}{3}\right)}^{-1}=3$, khớp với hình vẽ. Các phương án khác: $y=3^x$ đồng biến; $y=-3^x$ nhận giá trị âm và đi qua $(0;-1)$; $y=-3x$ là đường thẳng. Kết quả trùng với bảng đáp án chính thức (Mã đề 0102, Câu 7: C).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y={\log }_{a}x$ đồng biến trên $(0;+\infty )$ khi và chỉ khi cơ số $a>1$. Xét các phương án: A có $a=0,5<1$ (nghịch biến); B có $y=\log x={\log }_{10}x$ với $a=10>1$ (đồng biến); C có $a=\frac{1}{3}<1$ (nghịch biến); D có $a=\frac{\pi }{4}\approx 0,785<1$ (nghịch biến). Vậy chỉ có $y=\log x$ đồng biến trên $(0;+\infty )$, khớp với đáp án chính thức Mã đề 0102, Câu 8: B.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y={\log }_5(2x-1)$. a) Đúng: điều kiện xác định của logarit là $2x-1>0$. b) Đúng: $2x-1>0\iff x>\frac{1}{2}$, tập xác định là $\left(\frac{1}{2};+\infty \right)$. c) Sai: theo quy tắc đạo hàm hàm hợp, $y^{\prime }=\frac{(2x-1{)}^{\prime }}{(2x-1)\ln 5}=\frac{2}{(2x-1)\ln 5}$, không phải $\frac{1}{(2x-1)\ln 5}$ (thiếu thừa số 2). d) Sai: với mọi $x>\frac{1}{2}$, $y^{\prime }=\frac{2}{(2x-1)\ln 5}>0$ nên mọi tiếp tuyến đều có hệ số góc dương; không tồn tại tiếp tuyến nào có hệ số góc âm. Kết quả Đ Đ S S khớp bảng đáp án mã đề 0101.
a) (AI giải đề cho tôi)
Biểu thức ${\log }_5(2x-1)$ xác định khi và chỉ khi $2x-1>0$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$2x-1>0\iff x>\frac{1}{2}$, tập xác định là $\left(\frac{1}{2};+\infty \right)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Đạo hàm đúng là $y^{\prime }=\frac{2}{(2x-1)\ln 5}$ vì $(2x-1{)}^{\prime }=2$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{2}{(2x-1)\ln 5}>0$ với mọi $x>\frac{1}{2}$, nên không có tiếp tuyến nào có hệ số góc âm.