Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hàm mũ/logarit (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=f(x)={\log }_{0,5}x$ có cơ số $0<0,5<1$ nên nghịch biến, tập xác định $D=(0;+\infty )$, đồ thị đi qua điểm $(1;0)$ và nằm về phía phải trục tung, giảm dần — đúng như hình vẽ trong đề. a) Sai vì tập xác định là $D=(0;+\infty )$, không phải $\mathbb{R}$. b) Sai vì hàm số nghịch biến trên khoảng $(0;+\infty )$ (không đồng biến, và không nói 'trên R' được). c) Đúng vì đồ thị hàm ${\log }_{0,5}x$ giảm dần, qua $(1;0)$, tiệm cận dọc trục $Oy$ — khớp hình bên. d) $f(x)\ge -2\iff {\log }_{0,5}x\ge -2$. Vì cơ số $0,5<1$: $x\le (0,5{)}^{-2}=4$, kết hợp $x>0$ nên tập nghiệm là $(0;4]$, không phải $[4;+\infty )$ → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tập xác định của hàm logarit là $D=(0;+\infty )$, không phải $\mathbb{R}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì cơ số $0,5<1$ nên hàm số nghịch biến trên $(0;+\infty )$, không đồng biến trên $\mathbb{R}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị $y={\log }_{0,5}x$ giảm dần, đi qua $(1;0)$, tiệm cận dọc là trục $Oy$, nằm bên phải trục $Oy$ — đúng như hình vẽ.
d) (AI giải đề cho tôi)
${\log }_{0,5}x\ge -2\iff x\le (0,5{)}^{-2}=4$ và $x>0$, nên tập nghiệm là $(0;4]$, không phải $[4;+\infty )$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng hàm số: A) $y={\left(\frac{e}{3}\right)}^x$ là hàm số mũ với cơ số $0<\frac{e}{3}<1$ nên nghịch biến trên $\mathbb{R}$. B) $y={\log }_{\frac{1}{2}}x$ nghịch biến nhưng chỉ trên tập xác định $(0;+\infty )$, không phải trên $\mathbb{R}$. C) $y={\left(\frac{2}{3}\right)}^{-x}={\left(\frac{3}{2}\right)}^x$ với cơ số $\frac{3}{2}>1$ nên đồng biến trên $\mathbb{R}$. D) $y={\log }_{3}x$ đồng biến trên $(0;+\infty )$. Vậy hàm nghịch biến trên $\mathbb{R}$ là $y={\left(\frac{e}{3}\right)}^x$.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị chỉ nằm ở nửa mặt phẳng $x>0$, đi qua điểm $(1;0)$ và đồng biến, tiến lên $+\infty$ khi $x\to +\infty$ và tiến xuống $-\infty$ khi $x\to 0^{+}$. Đó là đặc điểm của hàm số logarit $y={\log }_{a}x$ với $a>1$. Trong các phương án, chỉ có $y={\log }_{2}x$ thỏa mãn ($y={\log }_{1/2}x$ nghịch biến; $y=2^x$ và $y=\frac{1}{2^x}$ có tập xác định $\mathbb{R}$ và đi qua $(0;1)$). Vậy đáp án là A.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị trong hình là một đường cong nằm phía trên trục hoành, đi qua điểm $(0;1)$, giảm dần từ trái sang phải và tiệm cận ngang với trục hoành khi $x\to +\infty$ — đây là đặc trưng của hàm số mũ $y=a^x$ với $0<a<1$. Loại C, D vì hàm logarit có tập xác định $(0;+\infty )$ và đi qua điểm $(1;0)$, không phù hợp đồ thị. Loại B vì $y=(\sqrt{2}{)}^x$ với cơ số $\sqrt{2}>1$ là hàm đồng biến. Vậy đồ thị là của $y=(0,4{)}^x$ với $0<0,4<1$ (nghịch biến trên $\mathbb{R}$, đi qua $(0;1)$). Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y={\left(\frac{1}{3}\right)}^x$ nghịch biến. Theo hình vẽ, giá trị hàm số thuộc $(1;9)$ khi $1<{\left(\frac{1}{3}\right)}^x<9$, tức $3^0<3^{-x}<3^2$, suy ra $0<-x<2$, tức $x\in (-2;0)$. Vậy $m=-2$, $n=0$. Khi đó $A=2021+m^2+mn=2021+4+0=2025$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 1 (Phần IV). Hàm số $y={\log }_3(x+1)-{\log }_3(x^2-1)$.

a) Tại $x=2$: $y={\log }_3(2+1)-{\log }_3(2^2-1)={\log }_{3}3-{\log }_{3}3=1-1=0$.

b) Tập xác định: yêu cầu $x+1>0$ và $x^2-1>0$, tức $x>-1$ và $x^2>1\iff x>1$ (do $x>-1$ nên loại $x<-1$). Vậy tập xác định là $D=(1;+\infty )$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y={\log }_3(2x-1)-{\log }_{\frac{1}{3}}(x-2)$.

a) Tại $x=5$: $y={\log }_3(2\cdot 5-1)-{\log }_{\frac{1}{3}}(5-2)={\log }_{3}9-{\log }_{\frac{1}{3}}3=2-(-1)=3$.

b) Tập xác định: cần $2x-1>0$ và $x-2>0$, tức $x>\frac{1}{2}$ và $x>2$, suy ra $x>2$. Vậy tập xác định là $D=(2;+\infty )$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ: $y=a^x$ nghịch biến nên $0<a<1$; $y={\log }_{b}x$ đồng biến nên $b>1$. Vậy $0<a<1<b$, đáp án A (khớp đáp án nguồn mã đề 112).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có ${\log }_a\left(\frac{1}{a^3}\right)={\log }_a{a}^{-3}=-3$ và ${\log }_a\left(a\sqrt{a}\right)={\log }_a{a}^{3/2}=\frac{3}{2}$. Do đó $T=-3+20\cdot \frac{3}{2}=-3+30=27$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (27).

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị là đường cong đồng biến, chỉ xác định với $x>0$, có tiệm cận dọc là trục $Oy$, và đi qua điểm $(2;1)$ (theo đường chấm trong hình). Loại A vì $y=x-1$ là đường thẳng; loại C vì $y=2^x$ xác định với mọi $x$ và đi qua $(0;1)$; loại D vì $y={\log }_{\frac{1}{2}}x$ nghịch biến. Với $y={\log }_{2}x$: ${\log }_{2}2=1$ khớp điểm $(2;1)$, hàm đồng biến trên $(0;+\infty )$. Vậy đáp án là B, trùng với đáp án nguồn (mã đề 112, câu 3: B).

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị trong hình có tập xác định $(0;+\infty )$, đi qua điểm $(1;0)$ và đồng biến, tăng chậm dần — đây là đồ thị hàm số $y={\log }_{a}x$ với cơ số $a>1$. Loại A và C vì $y=e^{-x}$ và $y=e^x$ có tập xác định $\mathbb{R}$, đi qua điểm $(0;1)$. Loại B vì $y={\log }_{0,5}x$ có cơ số $0<0,5<1$ nên nghịch biến. Hàm $y={\log }_{\sqrt{7}}x$ có $\sqrt{7}>1$ nên đồng biến trên $(0;+\infty )$, phù hợp với hình vẽ. Kết quả khớp với đáp án nguồn: D.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ: $y={\log }_{a}x$ và $y={\log }_{b}x$ đồng biến nên $a>1,b>1$; $y={\log }_{c}x$ nghịch biến nên $0<c<1$.
a) Vì ${\log }_{a}1={\log }_{b}1={\log }_{c}1=0$ nên cả ba đồ thị đều đi qua $I(1;0)$ → Đúng.
b) $y={\log }_{b}x$ đồng biến trên $(0;+\infty )$ khi $b>1$; từ đồ thị $b>1$ → Đúng.
c) Khẳng định $0<a<b<1<c$ sai vì thực tế $a>1,b>1,0<c<1$ (đúng là $0<c<1<a<b$) → Sai.
d) Với $x=k>1$: $AM={\log }_{a}k=\frac{\ln k}{\ln a}$, $AN={\log }_{b}k=\frac{\ln k}{\ln b}$. $AM=2AN\Rightarrow \ln b=2\ln a\Rightarrow b=a^2$. Khi đó $a\sqrt{b}=a\cdot a=a^2\ne 1$ vì $a>1$ → Sai. Khớp đáp án mã đề 111: Đ, Đ, S, S.
a) (AI giải đề cho tôi)
${\log }_{a}1={\log }_{b}1={\log }_{c}1=0$ nên cả ba đồ thị đi qua $I(1;0)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị $y={\log }_{b}x$ đồng biến nên $b>1$, do đó hàm đồng biến trên $(0;+\infty )$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: $a>1,b>1,0<c<1$, nên khẳng định $0<a<b<1<c$ sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
$AM={\log }_{a}k$, $AN={\log }_{b}k$. $AM=2AN\Rightarrow \ln b=2\ln a\Rightarrow b=a^2$. Suy ra $a\sqrt{b}=a^2\ne 1$ vì $a>1$.

Từ giả thiết ta có: $\{\begin{array}{l}f(0)=300\\ f(1)=705\end{array}\iff \{\begin{array}{l}C\cdot e^0=300\\ C\cdot e^k=705\end{array}\iff \{\begin{array}{l}C=300\\ e^k=\frac{47}{20}\end{array}.$

Vậy $f(x)=300\cdot {\left(e^k\right)}^x=300\cdot {\left(\frac{47}{20}\right)}^x$.

Số vi khuẩn sau 5 giờ là $f(5)=300\cdot {\left(\frac{47}{20}\right)}^5\approx 21501$ con.

(Thang điểm: 0.5 | 0.3 | 0.2)

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị là hàm số mũ tăng ($a>1$), đi qua điểm $(1;3)$. Với $y=3^x$ thì $y(1)=3$, khớp với đồ thị. Các hàm $y=(1/3{)}^x$ và $y=(1/2{)}^x$ nghịch biến nên loại; $y=2^x$ cho $y(1)=2\ne 3$ nên loại. Đáp án khớp với key: B.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị đi qua điểm $(\frac{1}{2},-1)$ và là đường cong tăng dần, xác định trên $(0,+\infty )$, nên đó là đồ thị hàm số logarit với cơ số lớn hơn 1. Kiểm tra: $y={\log }_{2}x$ tại $x=\frac{1}{2}$ cho $y={\log }_2\frac{1}{2}=-1$ (khớp điểm trên đồ thị), đồng thời hàm đồng biến. Hàm $y={\log }_{\frac{1}{2}}x$ nghịch biến nên loại; $y=(\frac{1}{2}{)}^x$ xác định trên $\mathbb{R}$ và nghịch biến nên loại; $y=x^2$ là parabol nên loại. Vậy đồ thị là của hàm số $y={\log }_{2}x$, khớp với đáp án B trong bảng đáp án (mã đề 102, câu 5: B).

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng hàm số trên khoảng $(0;+\infty )$:
- $y={\log }_{9}x$: cơ số $9>1$ nên hàm số đồng biến trên $(0;+\infty )$.
- $y={\log }_{0,7}x$: cơ số $0<0,7<1$ nên hàm số nghịch biến.
- $y=(0,6{)}^x$: cơ số $0<0,6<1$ nên hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$.
- $y=(\sqrt{3}-1{)}^x$: $\sqrt{3}-1\approx 0,732\in (0;1)$ nên hàm số nghịch biến.
Vậy chỉ hàm $y={\log }_{9}x$ đồng biến trên $(0;+\infty )$. Kết quả khớp với đáp án A trong bảng đáp án của đề 101.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị đi qua điểm $(0;1)$ và $(1;3)$, đồng biến trên $\mathbb{R}$, có tiệm cận ngang $y=0$ khi $x\to -\infty$, nên là hàm số mũ $y=3^x={\left(\frac{1}{3}\right)}^{-x}$. Kiểm tra: $y(0)=1$, $y(1)=3$ đúng theo đồ thị. Đáp án B, khớp với đáp án nguồn (đề 101, câu 8 = B).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số y=f(x)=log_2(x-2). a) Sai: điều kiện xác định là x-2>0 nên D=(2;+∞), không phải [2;+∞). b) Sai: hàm số logarit cơ số 2>1 nên đồng biến trên (2;+∞). c) Đúng: f(6)=log_2(6-2)=log_2 4=2. d) Đúng: f(x)≤0 ⇔ log_2(x-2)≤0 ⇔ 0<x-2≤1 ⇔ 2<x≤3 (do cơ số 2>1, hàm đồng biến). Kết quả khớp với đáp án nguồn: a) S, b) S, c) Đ, d) Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hàm logarit xác định khi x-2>0, tức D=(2;+∞), không phải [2;+∞).
b) (AI giải đề cho tôi)
Cơ số 2>1 nên hàm số đồng biến trên (2;+∞), không nghịch biến.
c) (AI giải đề cho tôi)
f(6)=log_2(6-2)=log_2 4=2.
d) (AI giải đề cho tôi)
log_2(x-2)≤0 ⇔ 0<x-2≤1 ⇔ 2<x≤3.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có ${\log }_{9}2=\frac{1}{{\log }_{2}9}=\frac{1}{2{\log }_{2}3}=\frac{1}{2\alpha }$. Vậy đáp án C, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1002, câu 6: C).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=f(x)={\log }_3(x-1)$.
a) Tập xác định: $x-1>0⟺x>1$, nên $D=(1;+\infty )$, không phải $(3;+\infty )$ → Sai.
b) Cơ số $3>1$ nên hàm ${\log }_3(x-1)$ đồng biến trên $(1;+\infty )$ → Đúng.
c) $f(10)={\log }_3(10-1)={\log }_{3}9=2$ → Đúng.
d) $f(x)<0⟺{\log }_3(x-1)<0⟺0<x-1<1⟺1<x<2$, không phải $x<2$ → Sai.
Kết quả khớp với đáp án nguồn: a) S, b) Đ, c) Đ, d) S.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tập xác định là $D=(1;+\infty )$ vì $x-1>0⟺x>1$, không phải $(3;+\infty )$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Cơ số $3>1$ nên ${\log }_3(x-1)$ đồng biến trên tập xác định $(1;+\infty )$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f(10)={\log }_{3}9=2$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$f(x)<0⟺0<x-1<1⟺1<x<2$, không phải $x<2$.